التسرب الطيفي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

تحويل فورييه لدالة زمنية،s(ت){\displaystyle s(t)}، هي دالة ذات قيم مركبة للتردد،S(و){\displaystyle S(f)}، والتي يشار إليها غالبًا باسم طيف التردد . أي عملية خطية ثابتة مع الزمن علىs(ت){\displaystyle s(t)}ينتج طيفًا جديدًا من الشكلح(و)*S(و){\displaystyle H(f)*S(f)}، مما يغير المقادير النسبية و/أو الزوايا ( الطور ) للقيم غير الصفرية لـS(و){\displaystyle S(f)}أي نوع آخر من العمليات يُنشئ مكونات ترددية جديدة يُمكن الإشارة إليها بالتسرب الطيفي بمعناه الأوسع. على سبيل المثال، تُنتج عملية أخذ العينات تسربًا، والذي نسميه التداخلات للمكون الطيفي الأصلي. لأغراض تحويل فورييه ، يتم نمذجة أخذ العينات كحاصل ضرب بينs(ت){\displaystyle s(t)}ودالة ديراك المشطية . طيف الناتج هو عملية الالتفاف بينS(و){\displaystyle S(f)}ووظيفة أخرى، تُنشئ حتمًا مكونات التردد الجديدة. لكن مصطلح "التسريب" يشير عادةً إلى تأثير التقطيع ، وهو نتاجs(ت){\displaystyle s(t)}باستخدام نوع مختلف من الدوال، وهي دالة النافذة . تتميز دوال النافذة بمدة زمنية محدودة، ولكن هذا ليس شرطًا لحدوث تسريب. يكفي الضرب بدالة متغيرة مع الزمن.

التحليل الطيفي

تحويل فورييه للدالة cos ( ωt ) يساوي صفرًا، باستثناء التردد  ± ω . مع ذلك، لا تمتلك العديد من الدوال والأشكال الموجية الأخرى تحويلات مغلقة مناسبة. بدلاً من ذلك، قد يكون المرء مهتمًا بمحتواها الطيفي خلال فترة زمنية محددة فقط. في كلتا الحالتين، يمكن تطبيق تحويل فورييه (أو تحويل مشابه) على فترة زمنية واحدة أو أكثر من فترات الموجة المحدودة. بشكل عام، يُطبق التحويل على حاصل ضرب الموجة في دالة نافذة. أي نافذة (بما في ذلك النافذة المستطيلة) تؤثر على التقدير الطيفي المحسوب بهذه الطريقة.

يمكن وصف هذه التأثيرات بسهولة من خلال تأثيرها على دالة جيبية s(t)، والتي يكون تحويل فورييه الخاص بها بدون نافذة صفراً لجميع الترددات باستثناء تردد واحد. التردد المعتاد هو 0  هرتز، لأن تحويل فورييه الخاص بها مع نافذة هو ببساطة تحويل فورييه لدالة النافذة نفسها (انظر §  أمثلة على دوال النافذة ) .

F{w(ت)⋅كوس⁡(2π0ت)⏟1}=F{w(ت)}.{\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}

عند تطبيق كل من أخذ العينات والتقسيم على s(t)، بأي ترتيب، يكون التسرب الناتج عن التقسيم عبارة عن انتشار موضعي نسبيًا لمكونات التردد، مع تأثير ضبابي في كثير من الأحيان، في حين أن التداخل الناتج عن أخذ العينات هو تكرار دوري للطيف الضبابي بأكمله.

الشكل 1: مقارنة بين دالتين نافذتين من حيث تأثيرهما على موجات جيبية متساوية الشدة مع ضوضاء مضافة. لا تعاني الموجة الجيبية عند الخانة -20 من أي تموج، بينما تُظهر الموجة عند الخانة +20.5 أسوأ حالة من التموج. تُنتج النافذة المستطيلة أكبر قدر من التموج، ولكنها تُنتج أيضًا قممًا أضيق ومستوى ضوضاء أقل. ستكون موجة جيبية ثالثة بسعة -16 ديسيبل ملحوظة في الطيف العلوي، ولكن ليس في الطيف السفلي.
الشكل 2: يؤدي تطبيق نافذة على إشارة جيبية إلى تسرب طيفي، حتى لو كان عدد دورات الإشارة الجيبية داخل النافذة المستطيلة عددًا صحيحًا. يظهر التسرب بوضوح في الصف الثاني، المنحنى الأزرق. وهو بنفس مقدار التسرب في المنحنى الأحمر، الذي يمثل ترددًا أعلى قليلًا لا يحتوي على عدد صحيح من الدورات. عند أخذ عينات من الإشارة الجيبية وتطبيق نافذة عليها، يُظهر تحويل فورييه المنفصل زمنيًا لها نفس نمط التسرب (الصفان 3 و4). ولكن عند أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل زمنيًا بشكل متفرق فقط، على فترات زمنية محددة، فمن الممكن (بحسب وجهة النظر) إما: (1) تجنب التسرب، أو (2) إيهام العينة بعدم وجود تسرب. في حالة تحويل فورييه المنفصل زمنيًا للإشارة الجيبية الزرقاء (الصف الثالث من الرسومات، على اليمين)، تمثل هذه العينات مخرجات تحويل فورييه المنفصل. يحتوي مخطط DTFT ذو الموجة الجيبية الحمراء (الصف الرابع) على نفس الفترة الزمنية لتقاطعات الصفر، لكن عينات DFT تقع بينها، ويتم الكشف عن التسرب.

اختيار دالة النافذة

يؤدي تطبيق نافذة على شكل موجة بسيطة مثل cos( ωt ) إلى ظهور قيم غير صفرية في تحويل فورييه الخاص بها (تُعرف عادةً باسم التسرب الطيفي) عند ترددات أخرى غير ω . ويكون التسرب في أسوأ حالاته (أعلى مستوياته) بالقرب من ω ، وفي أدنى مستوياته عند الترددات الأبعد عن ω . 

إذا كانت الموجة قيد التحليل تتألف من موجتين جيبيتين بترددين مختلفين، فقد يؤثر التسرب على قدرتنا على تمييزهما طيفيًا. غالبًا ما تُصنف أنواع التداخل المحتملة إلى فئتين متقابلتين كما يلي: إذا كانت ترددات المكونات غير متشابهة وكان أحدها أضعف، فقد يحجب التسرب من المكون الأقوى وجود المكون الأضعف. أما إذا كانت الترددات متقاربة جدًا، فقد يجعل التسرب التمييز بينهما مستحيلاً حتى عندما تكون الموجتان متساويتين في القوة. تُسمى النوافذ الفعالة ضد النوع الأول من التداخل، أي عندما تكون المكونات ذات ترددات وسعات مختلفة، بنطاق ديناميكي عالٍ . في المقابل، تُسمى النوافذ التي يمكنها تمييز المكونات ذات الترددات والسعات المتشابهة بنطاق دقة عالٍ .

تُعدّ النافذة المستطيلة مثالاً على نافذة ذات دقة عالية ولكن بنطاق ديناميكي منخفض ، ما يعني أنها جيدة في تمييز المكونات ذات السعات المتقاربة حتى عندما تكون الترددات متقاربة، ولكنها ضعيفة في تمييز المكونات ذات السعات المختلفة حتى عندما تكون الترددات متباعدة. تتميز النوافذ ذات الدقة العالية والنطاق الديناميكي المنخفض، مثل النافذة المستطيلة، بحساسية عالية ، أي قدرتها على كشف الموجات الجيبية الضعيفة نسبيًا في وجود ضوضاء عشوائية مضافة. ويعود ذلك إلى أن الضوضاء تُنتج استجابة أقوى مع النوافذ ذات النطاق الديناميكي العالي مقارنةً بالنوافذ ذات الدقة العالية.

على النقيض تمامًا، توجد نوافذ ذات نطاق ديناميكي عالٍ ولكن بدقة وحساسية منخفضتين. غالبًا ما تُستخدم النوافذ ذات النطاق الديناميكي العالي في تطبيقات النطاق العريض ، حيث يُتوقع أن يحتوي الطيف المُحلل على العديد من المكونات المختلفة ذات السعات المتنوعة.

وبين هذين النقيضين توجد نوافذ متوسطة ، مثل هان وهامينغ . وهي شائعة الاستخدام في تطبيقات النطاق الضيق ، مثل طيف قناة الهاتف.

باختصار، ينطوي التحليل الطيفي على مفاضلة بين فصل مكونات القوة المتشابهة ذات الترددات المتقاربة ( دقة/حساسية عالية ) وفصل مكونات القوة المتباينة ذات الترددات المختلفة ( نطاق ديناميكي عالٍ ). وتحدث هذه المفاضلة عند اختيار دالة النافذة. [ 1 ] : ص 90

إشارات زمنية منفصلة

عندما تكون إشارة الإدخال مُقاسة زمنيًا، بدلًا من كونها متصلة، يُجرى التحليل عادةً بتطبيق دالة نافذة ثم تحويل فورييه منفصل (DFT). لكن تحويل فورييه المنفصل لا يُوفر سوى عينة متفرقة من طيف تحويل فورييه المنفصل الزمني (DTFT) الفعلي. يُظهر الشكل 2، الصف 3، تحويل فورييه المنفصل الزمني لموجة جيبية ذات نافذة مستطيلة. يُشار إلى التردد الفعلي للموجة الجيبية بالرقم "13" على المحور الأفقي. أما باقي القيم فهي تسرب، مُبالغ فيها باستخدام عرض لوغاريتمي. وحدة التردد هي "خانات تحويل فورييه المنفصل الزمني"؛ أي أن القيم الصحيحة على محور التردد تُقابل الترددات التي تم أخذ عينات منها بواسطة تحويل فورييه المنفصل الزمني. [ 2 ] : ص 56، معادلة (16). لذا، يُوضح الشكل حالة يتطابق فيها التردد الفعلي للموجة الجيبية مع عينة من تحويل فورييه المنفصل الزمني، ويتم قياس القيمة القصوى للطيف بدقة بواسطة تلك العينة. في الصف الرابع، يخطئ القياس القيمة القصوى بمقدار نصف خانة ، ويُشار إلى خطأ القياس الناتج بفقدان التموج (المستوحى من شكل الذروة). بالنسبة لتردد معروف، مثل نغمة موسيقية أو إشارة اختبار جيبية، يمكن ضبط مطابقة التردد مع خانة تحويل فورييه المنفصل مسبقًا عن طريق اختيار معدل أخذ العينات وطول النافذة بحيث ينتج عنه عدد صحيح من الدورات داخل النافذة.

الشكل 3: يقارن هذا الشكل خسائر المعالجة لثلاث وظائف نافذة للمدخلات الجيبية، مع كل من الحد الأدنى والحد الأقصى لخسارة التموج.

عرض نطاق الضوضاء

تميل مفاهيم الدقة والنطاق الديناميكي إلى أن تكون ذاتية إلى حد ما، اعتمادًا على ما يحاول المستخدم فعله. لكنها أيضًا ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالتسريب الكلي، وهو قابل للقياس الكمي. يُعبر عنه عادةً بعرض نطاق مكافئ، B. يمكن تصوره على أنه إعادة توزيع تحويل فورييه المنفصل (DTFT) إلى شكل مستطيل ارتفاعه يساوي الحد الأقصى للطيف وعرضه B. [ A ] [ 3 ] كلما زاد التسريب، زاد عرض النطاق. يُطلق عليه أحيانًا عرض النطاق المكافئ للضوضاء ، لأنه يتناسب مع متوسط ​​القدرة التي ستسجلها كل خانة من خانات تحويل فورييه المنفصل عندما تحتوي إشارة الإدخال على مكون ضوضاء عشوائي (أو تكون مجرد ضوضاء عشوائية). يُظهر رسم بياني لطيف القدرة ، مُعدَّلًا بمرور الوقت، عادةً مستوى ضوضاء مسطحًا ، ناتجًا عن هذا التأثير. يتناسب ارتفاع مستوى الضوضاء مع B. لذلك، يمكن لدالتين مختلفتين للنافذة أن تُنتجا مستويات ضوضاء مختلفة، كما هو موضح في الشكلين 1 و3.

مكاسب وخسائر المعالجة

في معالجة الإشارات ، تُختار العمليات لتحسين جانبٍ من جودة الإشارة من خلال استغلال الاختلافات بين الإشارة والمؤثرات المُشوِّهة. عندما تكون الإشارة جيبية مُشوَّهة بضوضاء عشوائية مُضافة، يُوزِّع التحليل الطيفي مُكوِّنات الإشارة والضوضاء بشكلٍ مُختلف، مما يُسهِّل غالبًا اكتشاف وجود الإشارة أو قياس خصائص مُعينة، مثل السعة والتردد. في الواقع، تتحسن نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) من خلال توزيع الضوضاء بشكلٍ مُنتظم، مع تركيز مُعظم طاقة الإشارة الجيبية حول تردد واحد. يُستخدم مُصطلح "مكسب المعالجة " لوصف تحسين نسبة الإشارة إلى الضوضاء. يعتمد مكسب المعالجة للتحليل الطيفي على دالة النافذة، كلاً من عرض نطاق الضوضاء (B) وفقدان التذبذب المُحتمل. تُعادل هذه التأثيرات جزئيًا، لأن النوافذ ذات أقل تذبذب تحتوي بطبيعتها على أكبر قدر من التسريب.

يوضح الشكل 3 تأثير ثلاث دوال نافذة مختلفة على نفس مجموعة البيانات ، والتي تتألف من موجتين جيبيتين متساويتين في القوة مع ضوضاء مضافة. تم اختيار ترددات الموجتين بحيث لا تواجه إحداهما أي تذبذب، بينما تواجه الأخرى أقصى تذبذب. تعاني كلتا الموجتين من فقدان أقل في نسبة الإشارة إلى الضوضاء تحت تأثير نافذة هان مقارنةً بنافذة بلاكمان-هاريس . بشكل عام (كما ذُكر سابقًا)، يُعد هذا عائقًا أمام استخدام نوافذ ذات نطاق ديناميكي عالٍ في التطبيقات ذات النطاق الديناميكي المنخفض.

الشكل 4: طريقتان مختلفتان لتوليد متتالية نافذة غاوسية من 8 نقاط ( σ  =  0.4) لتطبيقات التحليل الطيفي. يُطلق عليها في MATLAB اسم "متناظرة" و"دورية". وتُعرف الأخيرة تاريخيًا باسم DFT-even .
الشكل 5: خصائص التسرب الطيفي للوظائف الموضحة في الشكل 4

التناظر

تُنتج الصيغ الواردة في قسم "  أمثلة على دوال النافذة" متواليات منفصلة، ​​كما لو تم "أخذ عينات" من دالة نافذة متصلة. (انظر مثالًا في نافذة كايزر ). تكون متواليات النافذة المستخدمة في التحليل الطيفي إما متناظرة أو ناقصة عينة واحدة لتصبح متناظرة (تُسمى دورية ، [ 4 ] [ 5 ]، أو زوجية في تحويل فورييه المنفصل ، أو متناظرة في تحويل فورييه المنفصل [ 2 ] : ص 52 ). على سبيل المثال، تُولّد دالة MATLAB متواليةhann(9,'symmetric') متناظرة حقيقية، حيث تقع قيمتها القصوى عند نقطة مركزية واحدة. يؤدي حذف العينة الأخيرة إلى إنتاج متوالية مطابقة لها hann(8,'periodic'). وبالمثل، تحتوي المتوالية hann(8,'symmetric')على نقطتي مركز متساويتين. [ 6 ]

تحتوي بعض الدوال على نقطة نهاية واحدة أو اثنتين بقيمة صفرية، وهي غير ضرورية في معظم التطبيقات. لا يؤثر حذف نقطة نهاية بقيمة صفرية على تحويل فورييه المنفصل المتقطع (التسرب الطيفي). ولكن الدالة المصممة لعدد N  +  1 أو N  +  2 من العينات، تحسبًا لحذف إحدى نقطتي النهاية أو كلتيهما، عادةً ما يكون لها فص رئيسي أضيق قليلاً ، وفصوص جانبية أعلى قليلاً، وعرض نطاق ضوضاء أصغر قليلاً. [ 7 ]

تناظر نظرية الكثافة الوظيفية

يُعدّ تحويل فورييه المحدود سلفًا لتحويل فورييه المنفصل (DFT) ، وكانت دوال النافذة "تحتوي دائمًا على عدد فردي من النقاط وتُظهر تناظرًا زوجيًا حول نقطة الأصل". [ 2 ] : ص 52. في هذه الحالة، يكون تحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) ذا قيم حقيقية بالكامل. عند إزاحة نفس المتتالية إلى نافذة بيانات تحويل فورييه المنفصل ،[0≤ن≤شمال]،{\displaystyle [0\leq n\leq N],}تصبح تحويلة فورييه المنفصلة ذات قيم مركبة باستثناء الترددات المتباعدة على فترات منتظمة من1/شمال.{\displaystyle 1/N.}[ أ ] تحويل فورييه المنفصل لـشمال+1{\displaystyle N+1}يقوم تسلسل الطول بأخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل المتقطع على فترات زمنية محددة.1/(شمال+1).{\displaystyle 1/(N+1).} لذا فإن أحد الإجراءات المعتادة هو ببساطة اقتطاع التسلسل (بشكل فعال)w[شمال]=0{\displaystyle w[N]=0}، وحسابشمال{\displaystyle N}DFT بطول . [ 2 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ ب ] يُطلق على المتتالية المقتطعة أحيانًا اسم DFT-زوجي أو دوري ، لأنها متناظرة زوجيًا ودورية حولن=0{\displaystyle n=0}عند تكرارها على فترات زمنية منشمال.{\displaystyle N.}

وغني عن القول، إن تحويلات فورييه المنفصلة المتتابعة المقتطعة والمتتابعة المتناظرة ليست متطابقة تمامًا. [ 13 ] [ ب ] يتمثل الحل الدقيق، الموصوف في قسم تحويل فورييه المنفصلة  L=N+1 ، في إجراءشمال{\displaystyle N}-طول DFT على دورة واحدة منشمال{\displaystyle N}-الجمع الدوري لـشمال+1{\displaystyle N+1}تسلسل الطول. وهذا يعني ببساطة إضافة w[شمال]{\displaystyle w[N]}ل w[0].{\displaystyle w[0].}يظل التسلسل زوجيًا من حيث DFT، ولا تزال العينات ذات قيم حقيقية.

لاحظ أن المخططات الطيفية مثل تلك الموجودة في §  أمثلة على دوال النافذة ، يتم إنتاجها عن طريق أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) على فترات زمنية أصغر بكثير من1/شمال{\displaystyle 1/N}وعرض مكون المقدار فقط للأعداد المركبة.

التفاف

تُعزى جاذبية النوافذ المتناظرة حول تحويل فورييه المنفصل (DFT) إلى شيوع خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) لتنفيذ تحويل فورييه المنفصل، إذ ينتج عن اقتطاع متتالية ذات طول فردي متتالية ذات طول زوجي. كما تُعدّ معاملات تحويل فورييه المنفصل ذات القيم الحقيقية ميزةً في بعض التطبيقات المتخصصة [ C ] حيث يتم تحقيق تقسيم البيانات إلى نوافذ عن طريق الالتفاف بين معاملات تحويل فورييه المنفصل وتحويل فورييه المنفصل غير المُقسّم إلى نوافذ للبيانات. [ 14 ] [ 2 ] : ص 62 [ 1 ] : ص 85. في هذه التطبيقات، تُفضّل النوافذ المتناظرة حول تحويل فورييه المنفصل (ذات الطول الزوجي أو الفردي) من عائلة مجموع جيب التمام، لأن معظم معاملات تحويل فورييه المنفصل فيها تساوي صفرًا، مما يجعل عملية الالتفاف فعّالة للغاية. [ D ] [ 1 ] : ص 85

بعض مقاييس النوافذ

مقارنة التسرب الطيفي لعدة دوال نافذة

عند اختيار دالة نافذة مناسبة لتطبيق ما، قد يكون هذا الرسم البياني المقارن مفيدًا. يُقاس محور التردد بوحدات "خانات" تحويل فورييه السريع (FFT) عند تطبيق نافذة بطول N على البيانات وحساب تحويل بطول N. على سبيل المثال، تمثل القيمة عند التردد 1/2 "خانة" الاستجابة التي تُقاس في الخانتين k و k + 1 لإشارة جيبية بتردد k + 1/2 . وهي نسبة إلى أقصى استجابة ممكنة ، والتي تحدث عندما  يكون تردد  الإشارة عددًا  صحيحًا من الخانات. تُعرف القيمة عند التردد 1/2 بفقدان التموج الأقصى للنافذة، وهو أحد المقاييس المستخدمة لمقارنة النوافذ. وتُظهر النافذة المستطيلة أداءً أسوأ بشكل ملحوظ من غيرها وفقًا لهذا المقياس. 

من بين المقاييس الأخرى التي يمكن ملاحظتها عرض الفص الرئيسي ومستوى ذروة الفصوص الجانبية، واللذان يحددان على التوالي القدرة على تمييز الإشارات ذات القوة المتقاربة والإشارات ذات القوة المتباينة. على سبيل المثال، تُعد النافذة المستطيلة الخيار الأمثل للأولى والأسوأ للثانية. ما لا يظهر في الرسوم البيانية هو أن النافذة المستطيلة تتمتع بأفضل نطاق ترددي للضوضاء، مما يجعلها خيارًا مناسبًا لاكتشاف الموجات الجيبية منخفضة المستوى في بيئة ضوضاء بيضاء . تتوفر تقنيات الاستيفاء، مثل إضافة الأصفار وتغيير التردد، للتخفيف من فقدان التردد الناتج عن التذبذب.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ رياضياً، يُعرَّف عرض النطاق الترددي المكافئ للضوضاء لدالة النقل H بأنه عرض نطاق مرشح مستطيل مثالي له نفس كسب الذروة لـ H والذي يمرر نفس القدرة مع مدخل ضوضاء بيضاء . بوحدات التردد f (مثل هرتز )، يُعطى بالعلاقة التالية :
    بضوضاء=1|ح(و)|الأعلى2∫0∞|ح(و)|2دو.{\displaystyle B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.}
  2. ↑ مثال على تأثير الاقتطاع على التسرب الطيفي هو الشكل الموضح في نوافذ غاوس . الرسم البياني المسمى DTFT periodic8 هو تحويل فورييه المنفصل (DTFT) للنافذة المقتطعة المسماة periodic DFT-even (كلاهما باللون الأزرق). الرسم البياني الأخضر المسمى DTFT symmetric9 يمثل نفس النافذة بعد استعادة تناظرها. عينات DTFT، المسماة DFT8 periodic summation ، هي مثال على استخدام الجمع الدوري لأخذ عينات منها عند نفس الترددات كما في الرسم البياني الأزرق.
  3. ↑ في بعض الأحيان تكون هناك حاجة إلى كل من DFT ذي النافذة وDFT بدون نافذة (ذو نافذة مستطيلة).
  4. ↑ على سبيل المثال، انظر إلى الشكلين DFT-even Hann window و Odd-length, DFT-even Hann window ، اللذين يوضحان أنشمال{\displaystyle N}تحويل فورييه المنفصل بطول - للتسلسل الناتج عن hann(شمال{\displaystyle N}تحتوي الدالة الدورية ('periodic') على ثلاث قيم غير صفرية فقط. تتطابق جميع العينات الأخرى مع نقاط عبور الصفر في تحويل فورييه المنفصل.

الاقتباسات من الصفحات

  1. ↑ هاريس 1978 ، ص 52، حيث Δω≜2πΔو.{\displaystyle \Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.}
  2. ↑ نوتال 1981 ، ص 85 (15أ).

مراجع

  1. 1 2 3 نوتال، ألبرت هـ. (فبراير 1981). "بعض النوافذ ذات سلوك الفصوص الجانبية الجيد جدًا" . معاملات IEEE في الصوتيات والكلام ومعالجة الإشارات . 29 (1): 84-91 . Bibcode : 1981ITASS..29...84N . doi : 10.1109/TASSP.1981.1163506 .يوسع هذا البحث ورقة هاريس، ويغطي جميع وظائف النافذة المعروفة في ذلك الوقت، إلى جانب مقارنات المقاييس الرئيسية.
  2. 1 2 3 4 5 هاريس، فريدريك ج. (يناير 1978). "حول استخدام ويندوز للتحليل التوافقي باستخدام تحويل فورييه المنفصل" (ملف PDF) . وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 66 (1): 51-83 . Bibcode : 1978IEEEP..66...51H . CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi : 10.1109/PROC.1978.10837 . S2CID 426548 .  الورقة البحثية الأساسية لعام 1978 حول نوافذ FFT لهاريس، والتي حددت العديد من النوافذ وقدمت المقاييس الرئيسية المستخدمة لمقارنتها.
  3. ↑ كارلسون، أ. بروس (1986). أنظمة الاتصالات: مقدمة في الإشارات والضوضاء في الاتصالات الكهربائية . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-009960-9.
  4. ^ "نافذة هان (هانينج) - MATLAB هان" . www.mathworks.com . تم الاسترجاع 2020-02-12 .
  5. ↑ "دالة النافذة" . www.mathworks.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 أبريل 2019 .
  6. ↑ روبرتسون، نيل (18 ديسمبر 2018). "تقييم دوال النافذة لتحويل فورييه المنفصل" . DSPRelated.com . مجموعة الوسائط ذات الصلة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 أغسطس 2020 .تمت المراجعة في 22 فبراير 2020.
  7. ↑ "Matlab for the Hann Window" . ccrma.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 سبتمبر 2020 .
  8. ↑ هاينزل، ج.؛ روديجر، أ.؛ شيلينغ، ر. (2002). تقدير الطيف والكثافة الطيفية باستخدام تحويل فورييه المنفصل (DFT)، بما في ذلك قائمة شاملة لوظائف النافذة وبعض النوافذ المسطحة الجديدة (تقرير فني). معهد ماكس بلانك (MPI) لفيزياء الجاذبية / قياس التداخل بالليزر وعلم فلك موجات الجاذبية. 395068.0 . تاريخ الاسترجاع: 10 فبراير 2013 .متوفر أيضًا على الرابط التالي: https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/component/file_152163/content
  9. ↑ ليونز، ريتشارد (1 يونيو 1998). "وظائف النوافذ تُحسّن نتائج تحويل فورييه السريع" . EDN . صني فيل، كاليفورنيا: TRW . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 أغسطس 2020 .
  10. ↑ فولتون، تريفور (4 مارس 2008). "مجموعة أدوات التحويل العددي DP" . herschel.esac.esa.int . معالجة بيانات هيرشل . تم الاطلاع عليه في 8 أغسطس 2020 .
  11. ↑ بولاريكاس، أ.د. (1999). "7.3.1". في بولاريكاس، ألكسندر د. (محرر). دليل الصيغ والجداول لمعالجة الإشارات (ملف PDF) . بوكا راتون: سي آر سي برس ذ.م.م. رقم ISBN 0849385792تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 أغسطس 2020. النوافذ عبارة عن متواليات زوجية (حول نقطة الأصل) ذات عدد فردي من النقاط. سيتم تجاهل النقطة الموجودة في أقصى يمين النافذة.
  12. ↑ بوكيت، ميلر (30 ديسمبر 2006). "تحليل فورييه للإشارات غير الدورية" . msp.ucsd.edu . جامعة كاليفورنيا في سان دييغو . تم الاطلاع عليه في 9 أغسطس 2020 .
  13. ↑ رولينغ، هـ.؛ شويرمان، ج. (مارس 1983). "دوال نافذة زمنية منفصلة بمستوى فصوص جانبية منخفض بشكل تعسفي" . معالجة الإشارات . 5 (2). معهد أبحاث أولم، سيدانشتراس، ألمانيا: AEG-Telefunken: 127-138 . Bibcode : 1983SigPr...5..127R . doi : 10.1016/0165-1684(83)90019-1 . تم الاسترجاع في 8 أغسطس 2020. يمكن إثبات أن تقنية أخذ العينات المتسلسلة المتكافئة (DFT-even sampling ) كما اقترحها هاريس ليست الأنسب.
  14. ↑ براءة الاختراع الأمريكية رقم 6898235 ، كارلين، جو؛ كولينز، تيري ؛ هايز، بيتر وآخرون، "جهاز اعتراض وتحديد اتجاه الاتصالات واسعة النطاق باستخدام تقنية القنوات الفائقة"، نُشرت في 10 ديسمبر 1999، وصدرت في 24 مايو 2005 ، وهي متاحة أيضًا على الرابط التالي: https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf