الالتفاف الدائري

الالتفاف الدائري ، المعروف أيضًا بالالتفاف الدوري ، هو حالة خاصة من الالتفاف الدوري ، وهو التفاف دالتين دوريتين لهما نفس الدورة. يظهر الالتفاف الدوري، على سبيل المثال، في سياق تحويل فورييه المتقطع (DTFT). على وجه الخصوص، فإن تحويل فورييه المتقطع لحاصل ضرب متتابعتين متقطعتين هو الالتفاف الدوري لتحويلات فورييه المتقطعة للمتتابعتين. وكل تحويل فورييه متقطع هو مجموع دوري لدالة تحويل فورييه متصلة (انظر تحويل فورييه المتقطع §  العلاقة بتحويل فورييه ). على الرغم من أن تحويلات فورييه المتقطعة عادةً ما تكون دوالًا متصلة للتردد، فإن مفاهيم الالتفاف الدوري والدائري قابلة للتطبيق مباشرةً على متتابعات البيانات المتقطعة. في هذا السياق، يلعب الالتفاف الدائري دورًا مهمًا في تعظيم كفاءة نوع معين من عمليات الترشيح الشائعة.

الالتفاف الدوري لدالتين دوريتين بفترة T،${\displaystyle h_{_{T}}(t)}$و${\displaystyle x_{_{T}}(t)}$يمكن تعريفها على النحو التالي :

${\displaystyle \int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau ,}$ ^{[ 1 ] [ 2 ]}

أين${\displaystyle t_{o}}$هو مُعامل اختياري. وينتج تعريف بديل، من حيث ترميز الالتفاف الخطي العادي أو الالتفاف غير الدوري ، من التعبير عن${\displaystyle h_{_{T}}(t)}$و${\displaystyle x_{_{T}}(t)}$باعتبارها مجاميع دورية لمكونات غير دورية${\displaystyle h}$و${\displaystyle x}$، أي :

${\displaystyle h_{_{T}}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT).}$

ثم :

يمكن تسمية كلا الشكلين بالالتفاف الدوري . ^{[ أ ]} ينشأ مصطلح الالتفاف الدائري ^{[ 2 ] [ 3 ]} من الحالة الخاصة المهمة المتمثلة في تقييد الأجزاء غير الصفرية من كليهما${\displaystyle h}$و${\displaystyle x}$إلى الفترة${\displaystyle [0,T].}$ ثم يصبح الجمع الدوري امتدادًا دوريًا ^{[ ب ]} ، والذي يمكن التعبير عنه أيضًا كدالة دائرية :

${\displaystyle x_{_{T}}(t)=x(t_{\mathrm {mod} \ T}),\quad t\in \mathbb {R} \,}$( أي عدد حقيقي ) ^{[ ج ]}

وتتقلص حدود التكامل إلى طول الدالة${\displaystyle h}$:

${\displaystyle (h*x_{_{T}})(t)=\int _{0}^{T}h(\tau )\cdot x((t-\tau )_{\mathrm {mod} \ T})\ d\tau .}$^{[ د ] [ هـ ]}

وبالمثل، بالنسبة للمتتاليات المنفصلة، ​​ومعامل N ، يمكننا كتابة التفاف دائري للدوال غير الدورية${\displaystyle h}$و${\displaystyle x}$ مثل :

${\displaystyle (h*x_{_{N}})[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot \underbrace {x_{_{N}}[nm]} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[nm-kN]}}$

هذه الدالة دورية من الدرجة N. ولها على الأكثر N قيمة فريدة. في الحالة الخاصة التي يكون فيها المدى غير الصفري لكل من x و h ≤ N ، يمكن اختزالها إلى ضرب المصفوفات حيث تكون نواة التحويل التكاملي مصفوفة دائرية .

يوضح الشكل حالة ذات أهمية عملية كبيرة. مدة متتالية x هي N (أو أقل)، ومدة متتالية h أقل بكثير. عندئذٍ، تتطابق العديد من قيم الالتفاف الدائري مع قيم x*h ، وهي النتيجة المرجوة عندما تكون متتالية h مرشح استجابة نبضية محدودة (FIR). علاوة على ذلك، يتميز الالتفاف الدائري بكفاءة حسابية عالية، باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT) ونظرية الالتفاف الدائري .

توجد أيضًا طرق للتعامل مع متتالية x أطول من قيمة عملية لـ N. تُقسّم المتتالية إلى أجزاء ( كتل ) وتُعالج كل جزء على حدة. ثم تُعاد تجميع الأجزاء المُفلترة بعناية. تُزال تأثيرات الحواف عن طريق تداخل كتل الإدخال أو كتل الإخراج. لتوضيح هذه الطرق ومقارنتها، نناقشها في سياق متتالية h بطول 201 وحجم تحويل فورييه السريع N = 1024.   

• نظرية الالتفاف
• مصفوفة دائرية
• تحويل هيلبرت المنفصل