مرشح غاوسي

في مجال الإلكترونيات ومعالجة الإشارات ، وخاصةً في معالجة الإشارات الرقمية ، يُعرف مرشح غاوس بأنه مرشح تكون استجابته النبضية دالة غاوسية (أو تقريبًا لها، إذ أن الاستجابة النبضية الحقيقية لمرشح غاوس تكون لانهائية ). يتميز مرشح غاوس بعدم وجود تجاوز عند إدخال دالة خطوة، مع تقليل زمن الصعود والهبوط إلى أدنى حد. يرتبط هذا السلوك ارتباطًا وثيقًا بحقيقة أن مرشح غاوس يتميز بأقل تأخير ممكن للمجموعة . يوفر مرشح غاوس أفضل مزيج من كبح الترددات العالية مع تقليل الانتشار المكاني، وهو ما يمثل النقطة الحرجة لمبدأ عدم اليقين . تُعد هذه الخصائص مهمة في مجالات مثل راسمات الإشارة ^{[ 1 ]} وأنظمة الاتصالات الرقمية ^{[ 2 ] .}

رياضياً، يقوم مرشح غاوسي بتعديل إشارة الإدخال عن طريق الالتفاف مع دالة غاوسية ؛ يُعرف هذا التحويل أيضًا باسم تحويل فايرشتراس .

يتميز مرشح غاوس أحادي البعد باستجابة نبضية معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}}$

ويتم تحديد استجابة التردد بواسطة تحويل فورييه

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}}$

مع${\displaystyle f}$التردد العادي. ويمكن التعبير عن هذه المعادلات أيضًا باستخدام الانحراف المعياري كمعامل.

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

ويُعطى استجابة التردد بواسطة

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}}$

عن طريق الكتابة${\displaystyle a}$كدالة لـ${\displaystyle \sigma }$باستخدام المعادلتين لـ${\displaystyle g(x)}$وكوظيفة لـ${\displaystyle \sigma _{f}}$باستخدام المعادلتين لـ${\displaystyle {\hat {g}}(f)}$يمكن إثبات أن حاصل ضرب الانحراف المعياري والانحراف المعياري في مجال التردد يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}}$،

حيث يتم التعبير عن الانحرافات المعيارية بوحداتها الفيزيائية، على سبيل المثال في حالة الوقت والتردد بالثواني والهرتز، على التوالي.

في بعدين، هو ناتج ضرب دالتين غاوسيتين من هذا النوع، واحدة لكل اتجاه:

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}}$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

حيث x هي المسافة من نقطة الأصل على المحور الأفقي، و y هي المسافة من نقطة الأصل على المحور الرأسي، و σ هو الانحراف المعياري للتوزيع الغاوسي.

يمكن توليف كثيرات حدود دالة النقل الغاوسية باستخدام متسلسلة تايلور لتوسيع مربع دالة غاوسية بالشكل التالي:${\displaystyle \epsilon ^{-a\أوميغا ^{2}}}$أين${\displaystyle a}$يتم ضبطها بحيث${\displaystyle \epsilon ^{-a\omega ^{2}}={\sqrt {1/2}}}$ (ما يعادل -3.01  ديسيبل) عند${\displaystyle \omega =1}$[ ^{6 ]} قيمة^​${\displaystyle a}$يمكن حسابها مع مراعاة هذا القيد لتكون ${\displaystyle a=-\log {\bigg (}{\sqrt {1/2}}{\bigg )}}$أو 0.34657359 لتوهين قطع تقريبي قدره -3.010 ديسيبل. إذا رُغِبَ  في توهين مختلف عن -3.010 ديسيبل، ${\displaystyle a}$يمكن إعادة حسابها باستخدام توهين مختلف،${\displaystyle a=\log(10^{(|{\text{dB}}|/20)})}$.

لتحقيق جميع المعايير المذكورة أعلاه،${\displaystyle F(\omega )}$يجب أن يكون بالشكل الموضح أدناه، بدون أصفار في نطاق التوقف.

${\displaystyle F(\omega )=\epsilon ^{-a\omega ^{2}}{\sqrt {(\epsilon ^{-a\omega ^{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{\epsilon ^{2a\omega ^{2}}}}}}$

لإكمال دالة النقل،${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}}$يمكن تقريبها باستخدام متسلسلة تايلور حول 0. متسلسلة تايلور الكاملة لـ${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}}$كما هو موضح أدناه. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \epsilon ^{2a\omega ^{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}$

تعتمد قدرة المرشح على محاكاة دالة غاوسية حقيقية على عدد الحدود المأخوذة من المتسلسلة. ويحدد عدد الحدود المأخوذة بعد الصفر رتبة المرشح N.

${\displaystyle F_{N}(\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}}}}$

بالنسبة لمحور التردد،${\displaystyle \omega }$يتم استبدالها بـ${\displaystyle j\omega }$.

${\displaystyle F_{N}(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}(j\omega )^{2k}}{k!}}}}}{\bigg |}_{\text{left half plane}}}$

بما أن نصف الأقطاب فقط تقع في النصف الأيسر من المستوى، فإن اختيار تلك الأقطاب فقط لبناء دالة النقل يعمل أيضًا على حساب الجذر التربيعي للمعادلة، كما هو موضح أعلاه.

على الرغم من أن مرشحات غاوس تُظهر تأخيرًا جماعيًا مرغوبًا فيه، كما هو موضح في الوصف الافتتاحي، إلا أن حدة التوهين عند الترددات المنخفضة قد تكون أقل من المطلوب. ^{[ 9 ]} وللتغلب على هذه المشكلة، تم تطوير ونشر جداول تحافظ على استجابة التأخير الجماعي المرغوبة لمرشحات غاوس والترددات المنخفضة والمتوسطة، ولكنها تتحول إلى توهين تشيبيشيف ذي حدة أعلى عند الترددات العالية. ^{[ 9 ]}

دالة غاوس هي لـ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$ويتطلب ذلك نظريًا طول نافذة لا نهائي. مع ذلك، نظرًا لتضاؤلها السريع، فمن المنطقي غالبًا اقتطاع نافذة المرشح وتطبيق المرشح مباشرةً للنوافذ الضيقة، وذلك باستخدام دالة نافذة مستطيلة بسيطة. في حالات أخرى، قد يُؤدي الاقتطاع إلى أخطاء كبيرة. يُمكن تحقيق نتائج أفضل باستخدام دالة نافذة مختلفة ؛ راجع تطبيق فضاء المقياس لمزيد من التفاصيل.

تتضمن عملية الترشيح عملية الالتفاف . تُعرف دالة الترشيح بأنها نواة تحويل تكاملي. نواة غاوس متصلة. في أغلب الأحيان، يكون المكافئ المتقطع هو نواة غاوس المأخوذة عينات منها ، والتي تُنتج عن طريق أخذ عينات من نقاط من دالة غاوس المتصلة. ثمة طريقة بديلة تتمثل في استخدام نواة غاوس المتقطعة ^{[ 10 ]،} والتي تتميز بخصائص أفضل لبعض الأغراض. على عكس نواة غاوس المأخوذة عينات منها، فإن نواة غاوس المتقطعة هي حل لمعادلة الانتشار المتقطعة .

عند تطبيقها في بُعدين، تتكون نواة مرشح غاوسي من سطح غاوسي له قيمة عظمى عند نقطة الأصل، وتكون حدوده عبارة عن دوائر متحدة المركز مركزها نقطة الأصل. يمكن حساب مصفوفة الالتفاف ثنائية الأبعاد مسبقًا من الصيغة، ثم تطبيق الالتفاف عليها مع البيانات ثنائية الأبعاد. تُعيّن القيمة الجديدة لكل عنصر في المصفوفة الناتجة كمتوسط ​​مرجح لقيم العناصر المجاورة له. يحصل العنصر المحوري على أعلى وزن (لأنه يمتلك أعلى قيمة غاوسية)، بينما تحصل العناصر المجاورة على أوزان أقل كلما زادت المسافة بينها وبين العنصر المحوري. في معالجة الصور، يُمثل كل عنصر في المصفوفة سمة بكسل، مثل السطوع أو شدة اللون، ويُطلق على التأثير الكلي اسم التمويه الغاوسي .

• تنعيم الصور : يتمثل التطبيق الأساسي لمرشحات غاوس في تقليل التشويش في الصور. من خلال حساب متوسط ​​قيم البكسل باستخدام توزيع غاوسي مرجح، يعمل المرشح على تمويه الصورة بشكل فعال، مما يقلل من التشويش عالي التردد. ^{[ 15 ]}
• كشف الحواف : تُستخدم مرشحات غاوس غالبًا كخطوة تمهيدية في خوارزميات كشف الحواف. فهي تُساعد على تقليل تأثير التشويش قبل تطبيق طرق مثل كاشفات حواف سوبل أو كاني ، وذلك من خلال تنعيم الصورة .
• تغيير حجم الصور : في مهام تغيير حجم الصور، يمكن لمرشحات غاوس منع تشوهات التعرج. يضمن تنعيم الصورة قبل تقليل حجمها الحفاظ على جودة أفضل ودقة بصرية عالية للصورة الناتجة. ^{[ 16 ]}
• الرؤية الحاسوبية : يُعد استخدام مرشحات غاوس في الرؤية الحاسوبية واسع النطاق، بما في ذلك تطبيقات في اكتشاف الكائنات، وتجزئة الصور، واستخراج الميزات، حيث يُعد تقليل التشويش أمرًا بالغ الأهمية لإجراء تحليل دقيق. ^{[ 17 ]}
• التصوير الطبي : في تقنيات التصوير الطبي مثل التصوير بالرنين المغناطيسي والتصوير المقطعي المحوسب ، تعمل مرشحات غاوس على تحسين جودة الصورة عن طريق تقليل الضوضاء، مما يساعد في التشخيص والتحليل بشكل أوضح.
• الرسومات والعرض : في رسومات الحاسوب، تُستخدم مرشحات غاوس لإنشاء تأثيرات مثل عمق المجال وضبابية الحركة، مما يعزز واقعية المشاهد المعروضة.
• التعلم الآلي : في مجال التعلم الآلي، وخاصة في الشبكات العصبية الالتفافية (CNNs)، تُستخدم مرشحات غاوس لمعالجة الصور مسبقًا لتحسين أداء النماذج في مهام مثل تصنيف الصور والتعرف على الأشياء. في مجال كشف العيوب، يمكن للمرشح أن يساعد في إبراز عيوب معينة للنموذج، مما يعزز أداءه في الكشف. ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• نظام GSM لأنه يستخدم تعديل GMSK
• يُستخدم مرشح غاوسي أيضًا في تقنية GFSK .
• يُستخدم كاشف حواف كاني في معالجة الصور.