فلتر باترورث

مرشح باترورث هو نوع من مرشحات معالجة الإشارات، مصمم ليكون له استجابة ترددية مسطحة قدر الإمكان في نطاق التمرير . ويُشار إليه أيضًا باسم مرشح السعة المسطحة القصوى . وقد وصفه لأول مرة عام 1930 المهندس والفيزيائي البريطاني ستيفن باترورث في بحثه بعنوان "حول نظرية مضخمات المرشحات". ^{[ 1 ]}

في ذلك الوقت، تطلّب تصميم المرشح خبرةً كبيرةً من المصممين نظرًا لقيود النظرية المستخدمة آنذاك . ولم يُستخدم المرشح على نطاق واسع لأكثر من 30 عامًا بعد نشره. وقد ذكر باتروورث ما يلي:

"يجب ألا يقتصر المرشح الكهربائي المثالي على رفض الترددات غير المرغوب فيها تمامًا فحسب، بل يجب أن يتمتع أيضًا بحساسية موحدة للترددات المطلوبة".

لا يمكن تحقيق مرشح مثالي كهذا، لكن باتروورث أثبت أنه يمكن الحصول على تقريبات أدق تدريجيًا بزيادة عدد عناصر المرشح ذات القيم الصحيحة. في ذلك الوقت، كانت المرشحات تُحدث تموجًا كبيرًا في نطاق التمرير، وكان اختيار قيم المكونات تفاعليًا للغاية. أثبت باتروورث أنه يمكن تصميم مرشح تمرير منخفض يكون كسبه كدالة للتردد (أي مقدار استجابته الترددية ) كما يلي:

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

أين${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي بالراديان في الثانية و${\displaystyle n}$يمثل عدد الأقطاب في المرشح، وهو يساوي عدد العناصر التفاعلية في المرشح السلبي. يتم تطبيع تردد القطع ( نقطة نصف القدرة التي تبلغ حوالي -3 ديسيبل أو كسب جهد مقداره 1/ √2 ≈ 0.7071) إلى 𝜔 = 1 راديان في الثانية . اقتصرت دراسة باترورث في بحثه على المرشحات ذات عدد الأقطاب الزوجي، مع العلم أنه يمكن إنشاء مرشحات ذات رتبة فردية بإضافة مرشح أحادي القطب إلى خرج المرشح ذي الرتبة الزوجية. وقد بنى مرشحاته ذات الرتب الأعلى من مرشحات ثنائية الأقطاب مفصولة بمضخمات صمامات مفرغة. يظهر رسمه البياني لاستجابة التردد لمرشحات ثنائية، ورباعية، وسداسية، وثمانية، وعشرية الأقطاب على شكل A، وB، وC، وD، وE في الرسم البياني الأصلي. 

حلّ باتروورث معادلات المرشحات ثنائية القطب ورباعية القطب، موضحًا كيف يمكن توصيل الأخيرة على التوالي عند فصلها بواسطة مضخمات الصمامات المفرغة ، مما مكّن من بناء مرشحات ذات رتبة أعلى على الرغم من فقدان المحاثات . في عام 1930، لم تكن مواد القلب منخفضة الفقد مثل الموليبرمالوي قد اكتُشفت بعد، وكانت محاثات الصوت ذات القلب الهوائي ذات فقد عالٍ. اكتشف باتروورث أنه من الممكن ضبط قيم مكونات المرشح لتعويض مقاومة لفات المحاثات.

استخدم ملفات لولبية بقطر 32 مم (1.25 بوصة) وطول 76 مم (3 بوصات) مزودة بأطراف توصيل. احتوت الملفات اللولبية على مكثفات ومقاومات. شكل الملف جزءًا من مقاومة الحمل اللوحي. استُخدم قطبان لكل صمام مفرغ، واستُخدم اقتران RC مع شبكة الصمام التالي.  

كما أظهر باترورث أنه يمكن تعديل مرشح التمرير المنخفض الأساسي لإعطاء وظائف التمرير المنخفض ، والتمرير العالي ، وتمرير النطاق ، وإيقاف النطاق .

يتميز استجابة التردد لمرشح باترورث بسطحية قصوى (أي بدون تموجات ) في نطاق التمرير، ثم تتلاشى تدريجيًا نحو الصفر في نطاق الإيقاف . ^{[ 2 ]} عند تمثيلها بيانيًا على مخطط بود اللوغاريتمي ، ينحدر منحنى الاستجابة خطيًا نحو سالب ما لا نهاية. يتلاشى استجابة مرشح من الدرجة الأولى بمعدل -6  ديسيبل لكل أوكتاف (-20  ديسيبل لكل عقد ) (جميع مرشحات التمرير المنخفض من الدرجة الأولى لها نفس استجابة التردد المعيارية). يتناقص استجابة مرشح من الدرجة الثانية بمعدل -12  ديسيبل لكل أوكتاف، ومرشح من الدرجة الثالثة بمعدل -18  ديسيبل، وهكذا. تتميز مرشحات باترورث بدالة سعة متغيرة بشكل رتيب.${\displaystyle \omega }$، على عكس أنواع المرشحات الأخرى التي تحتوي على تموج غير رتيب في نطاق التمرير أو نطاق الإيقاف.

بالمقارنة مع مرشح تشيبيشيف من النوع الأول/النوع الثاني أو المرشح الإهليلجي ، فإن مرشح باترورث يتميز بانخفاض أبطأ ، وبالتالي سيتطلب رتبة أعلى لتنفيذ مواصفات نطاق إيقاف معينة ، ولكن مرشحات باترورث تتمتع باستجابة طورية أكثر خطية في نطاق التمرير مقارنة بما يمكن أن تحققه مرشحات تشيبيشيف من النوع الأول/النوع الثاني والمرشحات الإهليلجية.

تبدو دالة النقل لتصميم مرشح Butterworth منخفض التمرير من الدرجة الثالثة الموضح في الشكل على اليمين كما يلي:

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

يُعد تصميم مرشح التمرير المنخفض من الدرجة الثالثة الموضح في الشكل على اليمين مثالاً بسيطاً على مرشح باترورث، مع${\displaystyle C_{2}}$ = 4/3  فهرنهايت،${\displaystyle R_{4}}$ = 1  أوم،${\displaystyle L_{1}}$ = 3/2  H، و${\displaystyle L_{3}}$ = 1/2  H. ^{[ 3 ]} أخذ معاوقة المكثفات${\displaystyle C}$يكون${\displaystyle 1/(Cs)}$ومعاوقة المحاثات${\displaystyle L}$يكون${\displaystyle Ls}$، أين${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$بما أن هو التردد المركب، فإن معادلات الدائرة تعطي دالة النقل لهذا الجهاز:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

مقدار استجابة التردد (الكسب)${\displaystyle G(\omega )}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

تم الحصول عليه من

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

ويتم تحديد الطور بواسطة

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

يُعرَّف تأخير المجموعة بأنه المشتق السالب لإزاحة الطور بالنسبة للتردد الزاوي، وهو مقياس للتشوه في الإشارة الناتج عن فروق الطور عند الترددات المختلفة. يوضح الرسم البياني على اليسار كسب وتأخير هذا المرشح. لا توجد تموجات في منحنى الكسب في نطاق التمرير أو نطاق الإيقاف.

لوغاريتم القيمة المطلقة لدالة التحويل${\displaystyle H(s)}$يتم تمثيلها بيانيًا في فضاء التردد المركب في الرسم البياني الثاني على اليمين. وتُعرَّف الدالة بالأقطاب الثلاثة في النصف الأيسر من مستوى التردد المركب.

يتم ترتيب هذه العناصر على دائرة نصف قطرها وحدة واحدة ، وهي متناظرة حول محور حقيقي.${\displaystyle s}$المحور. سيكون لدالة الكسب ثلاثة أقطاب أخرى على النصف الأيمن من المستوى لإكمال الدائرة.

عن طريق استبدال كل محث بمكثف وكل مكثف بمحث، يتم الحصول على مرشح تمرير عالي من نوع Butterworth.

يُصنع مرشح تمرير النطاق من نوع Butterworth بوضع مكثف على التوالي مع كل محث، ومحث آخر على التوازي مع كل مكثف، لتشكيل دوائر رنانة. يجب اختيار قيمة كل مكون جديد بحيث يرن مع المكون القديم عند التردد المطلوب.

يُصنع مرشح باترورث ذو نطاق الحجب بوضع مكثف بالتوازي مع كل محث، ومحث آخر بالتوالي مع كل مكثف، لتشكيل دوائر رنانة. يجب اختيار قيمة كل مكون جديد بحيث يرن مع المكون القديم عند التردد المراد حجبه.

مثل جميع المرشحات، فإن النموذج الأولي النموذجي هو مرشح التمرير المنخفض، والذي يمكن تعديله ليصبح مرشح تمرير عالي، أو وضعه على التوالي مع مرشحات أخرى لتشكيل مرشحات تمرير النطاق ومرشحات إيقاف النطاق ، وإصدارات أعلى من هذه المرشحات.

المكسب${\displaystyle G(\omega )}$من${\displaystyle n}$يُعطى مرشح تمرير منخفض من نوع Butterworth من الرتبة n بدلالة دالة التحويل${\displaystyle H(s)}$مثل

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

أين${\displaystyle n}$ترتيب المرشح،${\displaystyle \omega _{c}}$يمثل تردد القطع (تقريبًا تردد -3  ديسيبل)، و${\displaystyle G_{0}}$هو كسب التيار المستمر (الكسب عند التردد الصفري).

يمكن ملاحظة ذلك كما${\displaystyle n}$عندما يقترب الكسب من اللانهاية، يصبح دالة مستطيلة وتكون الترددات أقل من${\displaystyle \omega _{c}}$سيتم تمريرها مع تحقيق مكاسب${\displaystyle G_{0}}$بينما الترددات أعلى${\displaystyle \omega _{c}}$سيتم كبحها. بالنسبة للقيم الأصغر من${\displaystyle n}$، سيكون القطع أقل حدة.

نريد تحديد دالة التحويل${\displaystyle H(s)}$أين${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$(من تحويل لابلاس ). لأن${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$وكخاصية عامة لتحويلات لابلاس عند${\displaystyle s=j\omega }$،${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$إذا اخترنا${\displaystyle H(s)}$بحيث:

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

ثم، مع${\displaystyle s=j\omega }$، لدينا استجابة التردد لمرشح باترورث.

ال${\displaystyle n}$تقع أقطاب هذا التعبير على دائرة نصف قطرها${\displaystyle \omega _{c}}$عند نقاط متساوية التباعد، ومتناظرة حول المحور الحقيقي السالب. ولضمان الاستقرار، فإن دالة النقل،${\displaystyle H(s)}$لذلك يتم اختيارها بحيث تحتوي فقط على الأقطاب الموجودة في النصف الحقيقي السالب من المستوى لـ${\displaystyle s}$. ال${\displaystyle k}$يتم تحديد القطب رقم - بواسطة

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

وبالتالي

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

يمكن كتابة دالة التحويل (أو دالة النظام) بدلالة هذه الأقطاب على النحو التالي:

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$.

أين${\displaystyle \textstyle {\prod }}$هو ناتج عملية متسلسلة . المقام هو متعدد حدود باترورث في${\displaystyle s}$.

كثيرات حدود باترورث المعيارية

يمكن كتابة كثيرات حدود باترورث في صورة مركبة كما هو موضح أعلاه، ولكنها عادةً ما تُكتب بمعاملات حقيقية عن طريق ضرب أزواج الأقطاب المترافقة المركبة، مثل${\displaystyle s_{1}}$و${\displaystyle s_{n}}$يتم تطبيع كثيرات الحدود عن طريق ضبط ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ثم تأخذ كثيرات حدود باترورث المعيارية الشكل العام للمنتج

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

تظهر عوامل كثيرات حدود Butterworth من الدرجة 1 إلى 10 في الجدول التالي (إلى ستة منازل عشرية).

ن عوامل كثيرات حدود باترورث${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+1.414214s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+0.765367s+1)(s^{2}+1.847759s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.618034s+1)(s^{2}+1.618034s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+0.517638s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.931852s+1)}$ 7 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.445042s+1)(s^{2}+1.246980s+1)(s^{2}+1.801938s+1)}$ 8 ${\displaystyle (s^{2}+0.390181s+1)(s^{2}+1.111140s+1)(s^{2}+1.662939s+1)(s^{2}+1.961571s+1)}$ 9 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.347296s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.532089s+1)(s^{2}+1.879385s+1)}$ 10 ${\displaystyle (s^{2}+0.312869s+1)(s^{2}+0.907981s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.782013s+1)(s^{2}+1.975377s+1)}$

يتم عرض عوامل كثيرات حدود Butterworth من الدرجة 1 إلى 6 في الجدول التالي (الدقيق).

ن عوامل كثيرات حدود باترورث${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+\varphi ^{-1}s+1)(s^{2}+\varphi s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1)}$

حيث الحرف اليوناني فاي (${\displaystyle \varphi }$أو${\displaystyle \phi }$يمثل ) النسبة الذهبية . وهو عدد غير نسبي يمثل حلاً للمعادلة التربيعية${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$بقيمة ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$( OEIS : A001622  )

يمكن كتابة متعددة حدود باترورث من الرتبة n أيضًا على شكل مجموع

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

بمعاملاتها${\displaystyle a_{k}}$معطاة بواسطة صيغة التكرار ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

وبصيغة المنتج

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

أين

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

إضافي،${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$المعاملات المقربة${\displaystyle a_{k}}$لأول 10 كثيرات حدود باترورث${\displaystyle B_{n}(s)}$نكون:

معاملات باترورث${\displaystyle a_{k}}$إلى أربعة منازل عشرية

ن	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle a_{5}}$	${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle a_{7}}$	${\displaystyle a_{8}}$	${\displaystyle a_{9}}$	${\displaystyle a_{10}}$
1	1	1
2	1	1.4142	1
3	1	2	2	1
4	1	2.6131	3.4142	2.6131	1
5	1	3.2361	5.2361	5.2361	3.2361	1
6	1	3.8637	7.4641	9.1416	7.4641	3.8637	1
7	1	4.4940	10.0978	14.5918	14.5918	10.0978	4.4940	1
8	1	5.1258	13.1371	21.8462	25.6884	21.8462	13.1371	5.1258	1
9	1	5.7588	16.5817	31.1634	41.9864	41.9864	31.1634	16.5817	5.7588	1
10	1	6.3925	20.4317	42.8021	64.8824	74.2334	64.8824	42.8021	20.4317	6.3925	1

يمكن استخدام كثيرات حدود باترورث المعيارية لتحديد دالة النقل لأي تردد قطع لمرشح تمرير منخفض${\displaystyle \omega _{c}}$، كما يلي

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$، أين${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

التحويل إلى أشكال نطاقية أخرى ممكن أيضًا، انظر إلى مرشح النموذج الأولي .

تتوفر عدة أنواع مختلفة من تصميمات المرشحات لتنفيذ مرشح تناظري خطي . التصميم الأكثر استخدامًا للتنفيذ السلبي هو تصميم كاوير، بينما التصميم الأكثر استخدامًا للتنفيذ النشط هو تصميم سالين-كي.

طوبولوجيا كاوير

تستخدم طوبولوجيا كاوير مكونات سلبية (مكثفات متوازية وملفات حث متسلسلة) لتنفيذ مرشح تناظري خطي. يمكن تحقيق مرشح باترورث ذي دالة نقل معينة باستخدام  شكل كاوير من الدرجة الأولى. يُعطى العنصر رقم k بالمعادلة ^{[ 10 ] .}

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

يمكن أن يبدأ المرشح بملف حث متسلسل إذا لزم الأمر، وفي هذه الحالة تكون قيمة L _k فردية وقيمة C _{_k} زوجية . يمكن دمج هذه الصيغ بسهولة بجعل كل من L _{_k} و C _{_k} مساوية لـ g_{_k} . أي أن g_{_k} هي المعاوقة مقسومة على s .

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

تنطبق هذه الصيغ على مرشح ثنائي الإنهاء (أي أن معاوقة المصدر ومعاوقة الحمل تساويان واحدًا) مع ωc = 1. يمكن تعديل هذا المرشح النموذجي ليتناسب مع قيم أخرى للمعاوقة والتردد. أما بالنسبة للمرشح أحادي الإنهاء (أي المرشح الذي يُشغَّل بمصدر جهد أو تيار مثالي )، فتُعطى قيم العناصر بالمعادلة ^{[ 3 ]} _.

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

أين

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

و

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

يجب أن تبدأ المرشحات التي تعمل بالجهد بعنصر توصيل على التوالي، بينما يجب أن تبدأ المرشحات التي تعمل بالتيار بعنصر توصيل على التوازي. تُعد هذه الأشكال مفيدة في تصميم أجهزة الإرسال والاستقبال المزدوجة وأجهزة الإرسال والاستقبال المتعددة . ^{[ 3 ]}

طوبولوجيا سالين-كي

تستخدم بنية سالين -كي مكونات فعالة وغير فعالة (مُخفِّفات غير عاكسة، عادةً مُضخِّمات عملياتية ، ومقاومات، ومكثفات) لتنفيذ مُرشِّح تناظري خطي. تُنفِّذ كل مرحلة من مراحل سالين-كي زوجًا مترافقًا من الأقطاب؛ ويتم تنفيذ المُرشِّح الكلي عن طريق توصيل جميع المراحل على التوالي. إذا كان هناك قطب حقيقي (في حالة${\displaystyle n}$(وهو أمر فردي)، يجب تنفيذ ذلك بشكل منفصل، عادةً كدائرة RC ، وربطها على التوالي مع المراحل النشطة.

بالنسبة لدائرة سالين-كي من الدرجة الثانية الموضحة على اليمين، تُعطى دالة التحويل بالصيغة التالية:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

نريد أن يكون المقام أحد الحدود التربيعية في متعددة حدود باترورث. بافتراض أن${\displaystyle \omega _{c}=1}$وهذا يعني أن

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

و

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

وهذا يترك قيمتين غير محددتين للمكونات يمكن اختيارهما حسب الرغبة.

تم وصف مرشحات Butterworth ذات التمرير المنخفض مع طوبولوجيا Sallen-Key من الدرجة الثالثة والرابعة، باستخدام مكبر عمليات واحد فقط، بواسطة Huelsman، ^{[ 11 ] [ 12 ]} كما تم تقديم مرشحات Butterworth أحادية المكبر ذات رتبة أعلى بواسطة Jurišić et al. ^{[ 13 ].}

خصائص مرشح باترورث هي:

• استجابة السعة الرتيبة في كل من نطاق التمرير ونطاق الإيقاف
• انخفاض سريع حول تردد القطع، والذي يتحسن مع زيادة الرتبة
• يُلاحظ تجاوز كبير وتذبذب في استجابة الخطوة ، وهو ما يتفاقم مع زيادة الترتيب.
• استجابة طورية غير خطية قليلاً
• يعتمد تأخير المجموعة بشكل كبير على التردد

هذه صورة توضح كسب مرشح باترورث ذي الزمن المتقطع بجانب أنواع أخرى شائعة من المرشحات. جميع هذه المرشحات من الرتبة الخامسة.

يتلاشى مرشح Butterworth بشكل أبطأ حول تردد القطع مقارنة بمرشح Chebyshev أو المرشح الإهليلجي ، ولكن بدون تموج.

• مرشح بيسل
• مرشح تشيبيشيف
• فلتر مشط
• مرشح إهليلجي
• تصميم الفلتر