رول أوف

يُعرف التضاؤل ​​بأنه انحدار دالة النقل مع التردد ، لا سيما في تحليل الشبكات الكهربائية ، وبالأخص في دوائر الترشيح عند الانتقال بين نطاق التمرير ونطاق الإيقاف . يُستخدم عادةً لوصف فقد الإدخال في الشبكة، ولكن من حيث المبدأ، يمكن تطبيقه على أي دالة تردد ذات صلة، وفي أي تقنية، وليس الإلكترونيات فقط. من المعتاد قياس التضاؤل ​​كدالة للتردد اللوغاريتمي ؛ وبالتالي، تكون وحدات التضاؤل ​​إما ديسيبل لكل عقد (dB/decade)، حيث يمثل العقد زيادة عشرة أضعاف في التردد، أو ديسيبل لكل أوكتاف (dB/octave)، حيث يمثل الأوكتاف زيادة ضعفين في التردد.

ينبع مفهوم التضاؤل ​​التدريجي من حقيقة أن التضاؤل ​​التدريجي في العديد من الشبكات يميل إلى تدرج ثابت عند الترددات البعيدة عن نقطة القطع لمنحنى التردد. يُمكّن التضاؤل ​​التدريجي من اختزال أداء القطع لشبكة الترشيح هذه إلى قيمة واحدة. تجدر الإشارة إلى أن التضاؤل ​​التدريجي قد يحدث مع انخفاض التردد أو ارتفاعه، وذلك تبعًا لنطاق تردد المرشح قيد الدراسة: على سبيل المثال، يتضاؤل ​​أداء مرشح التمرير المنخفض مع ارتفاع التردد، بينما يتضاؤل ​​أداء مرشح التمرير العالي أو نطاق الإيقاف السفلي لمرشح تمرير النطاق مع انخفاض التردد. وللاختصار، يقتصر هذا المقال على وصف مرشحات التمرير المنخفض فقط. ويُقصد بذلك وصف مرشحات النماذج الأولية ؛ إذ يمكن تطبيق المبادئ نفسها على مرشحات التمرير العالي عن طريق تبديل عبارات مثل "أعلى من تردد القطع" و"أسفل من تردد القطع".

تتميز شبكة بسيطة من الدرجة الأولى ، مثل دائرة RC، بانخفاض في الاستجابة بمقدار 20  ديسيبل/عقد. وهذا يعادل ما يزيد قليلاً عن 6  ديسيبل/أوكتاف، وهو الوصف الأكثر شيوعًا لهذا الانخفاض. ويمكن إثبات ذلك من خلال النظر في دالة نقل الجهد ، A ، لشبكة RC: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

بتطبيق مقياس التردد هذا على ωc = 1/ RC = 1 وتكوين نسبة القدرة، نحصل على _:    

${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$

يصبح هذا بالديسيبل،

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

أو معبراً عنها كخسارة،

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

عند الترددات الأعلى بكثير من ω = 1، يتبسط هذا إلى،

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

يُعطى معدل الانحدار بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}} }$

هذا هو الحال لعقد من الزمان؛

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade} }$

ولمدة أوكتاف،

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 6.0206\ \mathrm {dB/8ve} }$

يمكن إنشاء شبكة ذات رتبة أعلى عن طريق توصيل أقسام من الرتبة الأولى على التوالي. إذا وُضع مُضخِّم عازل ذو كسب موحد بين كل قسم (أو استُخدمت أي بنية فعالة أخرى)، فلن يكون هناك تفاعل بين المراحل. في هذه الحالة، بالنسبة لـ n قسمًا متطابقًا من الرتبة الأولى على التوالي، تُعطى دالة نقل الجهد للشبكة الكاملة بالصيغة التالية: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

وبالتالي، فإن إجمالي الانخفاض يُعطى بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=20n{\text{ dB/decade}}\approx 6n{\text{ dB/octave}}}$

يمكن تحقيق تأثير مماثل في المجال الرقمي من خلال تطبيق خوارزمية الترشيح نفسها على الإشارة بشكل متكرر. ^{[ 2 ]}

يصبح حساب دالة النقل أكثر تعقيدًا عندما لا تكون جميع الأقسام متطابقة، أو عند استخدام بنية السلم الشائعة لتصميم المرشح. في مرشح السلم، يؤثر كل قسم على جيرانه المباشرين، ويكون تأثيره أقل على الأقسام الأبعد، لذا فإن الاستجابة ليست بسيطة (A ⁿ⁾ حتى عندما تكون جميع الأقسام متطابقة. بالنسبة لبعض أنواع المرشحات، مثل مرشح باترورث ، يظل فقد الإدخال متزايدًا بشكل رتيب مع التردد، ويتقارب بسرعة إلى معدل انخفاض قدره 20 نانو  ديسيبل/عقد، بينما في أنواع أخرى، مثل مرشح تشيبيشيف أو المرشح الإهليلجي، يكون الانخفاض بالقرب من تردد القطع أسرع بكثير، وفي غير ذلك تكون الاستجابة غير رتيبة. مع ذلك، تتقارب جميع أنواع المرشحات نظريًا إلى معدل انخفاض قدره 20 نانو  ديسيبل/عقد عند تردد عالٍ معين، ولكن في العديد من التطبيقات، يحدث هذا في نطاق ترددي غير ذي صلة بالتطبيق، وقد تبدأ التأثيرات الطفيلية بالهيمنة قبل حدوث ذلك بوقت طويل. ^{[ 3 ]}

طُوِّرت المرشحات ذات معدل الانحدار العالي في البداية لمنع التداخل بين القنوات المتجاورة في أنظمة الهاتف بتقنية تقسيم التردد (FDM) . ^{[ 4 ]} يُعدّ معدل الانحدار مهمًا أيضًا في مرشحات التقاطع لمكبرات الصوت : فالحاجة هنا لا تكمن في معدل انحدار عالٍ بقدر ما تكمن في أن يكون انحدار قسمي التردد العالي والمنخفض متناظرًا ومتكاملًا. وتبرز حاجة غير معتادة لمعدل انحدار عالٍ في أجهزة تخطيط كهربية الدماغ (EEG) . في هذه الأجهزة، تكتفي المرشحات في الغالب بمعدل  انحدار أساسي قدره 20 ديسيبل/عقد، ومع ذلك، توفر بعض الأجهزة مرشحًا قابلًا للتبديل بتردد 35 هرتز عند طرف التردد العالي بمعدل انحدار أسرع للمساعدة في تصفية الضوضاء الناتجة عن نشاط العضلات. ^{[ 5 ]}

• مخطط بود

• ج. ويليام هيلتون، أورلاندو ميرينو، التحكم الكلاسيكي باستخدام طرق H [∞]: مقدمة في التصميم ، الصفحات 23-25، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية 1998، رقم ISBN 0-89871-424-9.
• تود سي. هاندي، الكمونات المرتبطة بالحدث: دليل منهجيات ، الصفحات 89-92، 107-109، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 2004، رقم ISBN 0-262-08333-7