مخطط بود

في الهندسة الكهربائية ونظرية التحكم ، يُعد مخطط بود رسمًا بيانيًا لاستجابة التردد لنظام ما. وهو عادةً ما يكون مزيجًا من مخطط بود للمقدار ، الذي يعبر عن مقدار استجابة التردد (عادةً بالديسيبل )، ومخطط بود للطور ، الذي يعبر عن إزاحة الطور .

كما تم تصوره في الأصل من قبل هندريك ويد بود في ثلاثينيات القرن العشرين، فإن الرسم البياني هو تقريب تقاربي لاستجابة التردد، باستخدام أجزاء خطية مستقيمة . ^[¹^]

ملخص

من بين إسهاماته العديدة الهامة في نظرية الدوائر الكهربائية ونظرية التحكم ، ابتكر المهندس هندريك ويد بود ، أثناء عمله في مختبرات بيل في ثلاثينيات القرن العشرين، طريقةً بسيطةً ودقيقةً لرسم منحنيات الكسب وإزاحة الطور. تحمل هذه المنحنيات اسمه، وهي منحنيات كسب بود ومنحنيات طور بود . يُنطق اسم "بود" في الإنجليزية غالبًا / ˈboʊdi / (بو - دي ) ، بينما يُنطق في الهولندية عادةً [ ˈboːdə ] ، وهو أقرب إلى النطق الإنجليزي / ˈboʊdə / (بو-دا ) ، وهو النطق الذي تفضله عائلته، ولكنه أقل شيوعًا بين الباحثين. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

واجه بودي مشكلة تصميم مضخمات مستقرة مزودة بتغذية راجعة لاستخدامها في شبكات الهاتف. وقد طور تقنية التصميم البياني لمخططات بودي لإظهار هامش الكسب وهامش الطور اللازمين للحفاظ على الاستقرار في ظل تغيرات خصائص الدائرة التي تحدث أثناء التصنيع أو التشغيل. ^{[ 4 ]} طُبقت المبادئ المطورة على مشاكل تصميم آليات المؤازرة وأنظمة التحكم بالتغذية الراجعة الأخرى. يُعد مخطط بودي مثالًا على التحليل في مجال التردد .

تعريف

مخطط بود لنظام خطي ثابت مع الزمن ذي دالة نقل $H(s)$ ( $s$ (حيث يمثل التردد المركب في مجال لابلاس ) يتكون من مخطط المقدار ومخطط الطور.

مخطط بود للمقدار هو رسم بياني للدالة $|H(s=j\omega )|$ التردد $\omega$ (مع $j$ ( كونها الوحدة التخيلية ). $\omega$ المحور السيني في مخطط المقدار لوغاريتمي، ويُعطى المقدار بالديسيبل ، أي قيمة للمقدار. $|H|$ يتم رسمها على المحور عند $20\log _{10}|H|$ .

مخطط طور بود هو رسم بياني لطور دالة الوسيط ، والذي يُعبر عنه عادةً بالدرجات. $\arg \left(H(s=j\omega )\right)$ كدالة لـ $\omega$ يتم رسم الطور على نفس المقياس اللوغاريتمي $\omega$ المحور - هو رسم بياني للمقدار، ولكن يتم رسم قيمة الطور على محور رأسي خطي.

استجابة التردد

يوضح هذا القسم أن مخطط بود هو تمثيل مرئي لاستجابة التردد لنظام ما.

لنفترض نظامًا خطيًا ثابتًا مع الزمن ذو دالة نقل $H(s)$ افترض أن النظام يخضع لإشارة دخل جيبية بتردد $\omega$ ،

u(t)=\sin(\omega t),

يتم تطبيق ذلك باستمرار، أي من وقت $-\infty$ إلى وقت $t$ سيكون الرد على النحو التالي:

y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi ),

أي، إشارة جيبية ذات سعة $y_{0}$ تم تغييرها بمقدار طور $\varphi$ فيما يتعلق بالمدخلات.

يمكن إثبات ^{[ 5 ]} أن مقدار الاستجابة هو

y_{0}=|H(\mathrm {j} \omega )|

1

وأن إزاحة الطور هي

\varphi =\arg H(\mathrm {j} \omega ).

2

باختصار، يتعرض لمدخل بتردد $\omega$ يستجيب النظام بنفس التردد بإشارة خرج يتم تضخيمها بمعامل معين. $|H(\mathrm {j} \omega )|$ وتم تغيير طورها بواسطة $\arg H(\mathrm {j} \omega )$ وبالتالي، فإن هذه الكميات تميز استجابة التردد وتظهر في مخطط بود.

قواعد رسم مخطط بود اليدوي

في العديد من المسائل العملية، يمكن تقريب مخططات بود التفصيلية بقطع مستقيمة تمثل خطوط تقارب الاستجابة الدقيقة. ويمكن تقريب تأثير كل حد من حدود دالة نقل العناصر المتعددة بمجموعة من الخطوط المستقيمة على مخطط بود. وهذا يتيح إيجاد حل بياني لدالة استجابة التردد الكلية. قبل انتشار الحواسيب الرقمية على نطاق واسع، كانت الطرق البيانية تُستخدم بكثرة لتقليل الحاجة إلى الحسابات المعقدة؛ إذ كان بالإمكان استخدام الحل البياني لتحديد النطاقات الممكنة للمعاملات في تصميم جديد.

تقوم فكرة مخطط بود على إمكانية اعتبار لوغاريتم دالة ما بالشكل التالي:

f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}

كمجموع لوغاريتمات أصفارها وأقطابها :

\log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n}).

تُستخدم هذه الفكرة صراحةً في طريقة رسم مخططات الطور. أما طريقة رسم مخططات السعة فتستخدمها ضمنيًا، ولكن نظرًا لأن لوغاريتم سعة كل قطب أو صفر يبدأ دائمًا من الصفر ولا يمر إلا بتغير واحد في خط التقارب (الخطوط المستقيمة)، يمكن تبسيط الطريقة.

رسم بياني لسعة الخط المستقيم

يتم قياس سعة الصوت بالديسيبل عادةً باستخدام ${\text{dB}}=20\log _{10}(X)$ لتعريف الديسيبل. بالنظر إلى دالة نقل على الصورة

H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},

أين $x_{n}$ و $y_{n}$ هي ثوابت، $s=\mathrm {j} \omega$ ، $a_{n},b_{n}>0$ ، و $H$ هي دالة التحويل:

عند كل قيمة لـ s حيث $\omega =x_{n}$ (صفر)، قم بزيادة ميل الخط بمقدار $20a_{n}\ {\text{dB}}$ لكل عقد .
عند كل قيمة لـ s حيث $\omega =y_{n}$ (عمود)، قلل ميل الخط بمقدار $20b_{n}\ {\text{dB}}$ لكل عقد.
تعتمد القيمة الابتدائية للرسم البياني على الحدود. ويتم إيجاد النقطة الابتدائية بوضع التردد الزاوي الابتدائي. $\omega$ في الوظيفة وإيجاد $|H(\mathrm {j} \omega )|$ .
يعتمد الميل الأولي للدالة عند القيمة الأولية على عدد وترتيب الأصفار والأقطاب الموجودة عند قيم أقل من القيمة الأولية، ويتم إيجاده باستخدام القاعدتين الأوليين.

للتعامل مع كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال من الدرجة الثانية، $ax^{2}+bx+c$ يمكن تقريبها في كثير من الحالات على النحو التالي $({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}$ .

لاحظ أن الأصفار والأقطاب تحدث عندما $\omega$ يساوي قيمة معينة $x_{n}$ أو $y_{n}$ وذلك لأن الدالة المعنية هي مقدار $H(\mathrm {j} \omega )$ وبما أنها دالة مركبة، $|H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}$ وبالتالي، في أي مكان يوجد فيه صفر أو قطب يتضمن المصطلح $(s+x_{n})$ ، مقدار هذا المصطلح هو ${\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\أوميغا ^{2}}}$ .

مخطط السعة المصحح

لتصحيح رسم بياني لسعة خط مستقيم:

ضع نقطة عند كل صفر $3a_{n}\ {\text{dB}}$ فوق الخط.
ضع نقطة عند كل عمود $3b_{n}\ {\text{dB}}$ أسفل الخط.
ارسم منحنى سلسًا يمر بتلك النقاط باستخدام الخطوط المستقيمة كخطوط تقارب (خطوط يقترب منها المنحنى).

لاحظ أن طريقة التصحيح هذه لا تتضمن كيفية التعامل مع القيم المعقدة لـ $x_{n}$ أو $y_{n}$ في حالة كثير الحدود غير القابل للاختزال ، فإن أفضل طريقة لتصحيح الرسم البياني هي حساب مقدار دالة النقل عند القطب أو الصفر المقابل لكثير الحدود غير القابل للاختزال، ووضع تلك النقطة فوق أو تحت الخط عند ذلك القطب أو الصفر.

مخطط الطور الخطي

بافتراض وجود دالة نقل بنفس الشكل المذكور أعلاه،

H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},

الفكرة هي رسم مخططات منفصلة لكل قطب وصفر، ثم جمعها. يُعطى منحنى الطور الفعلي بواسطة

\varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.

لرسم مخطط الطور، لكل قطب وصفر:

لو $A$ موجب، خط البداية (بميل صفري) عند 0 درجة.
لو $A$ إذا كانت سالبة، فإن خط البداية (بميل صفري) عند -180 درجة.
إذا كان مجموع عدد الأصفار والأقطاب غير المستقرة فرديًا، فأضف 180 درجة إلى تلك القاعدة.
في كل $\omega =|x_{n}|$ (للأصفار المستقرة) $-\operatorname {Re} (z)<0$ )، قم بزيادة الميل بمقدار $45a_{n}$ درجات لكل عقد، بدءًا من عقد واحد قبل $\omega =|x_{n}|$ (مثال، $|x_{n}|/10$ ).
في كل $\omega =|y_{n}|$ (للأعمدة المستقرة) $-\operatorname {Re} (p)<0$ )، قلل الميل بمقدار $45b_{n}$ درجات لكل عقد، بدءًا من عقد واحد قبل $\omega =|y_{n}|$ (مثال، $|y_{n}|/10$ ).
أقطاب وأصفار "غير مستقرة" (في النصف الأيمن من المستوى المركب) $\operatorname {Re} (s)>0$ ) لها سلوك معاكس.
قم بتسوية المنحدر مرة أخرى عندما تتغير المرحلة بواسطة $90a_{n}$ الدرجات (للصفر) أو $90b_{n}$ درجات (للقطب).
بعد رسم خط واحد لكل قطب أو صفر، يتم جمع الخطوط معًا للحصول على مخطط الطور النهائي؛ أي أن مخطط الطور النهائي هو تراكب كل مخطط طور سابق.

مثال

لإنشاء رسم بياني بخط مستقيم لمرشح تمرير منخفض من الدرجة الأولى (قطب واحد)، يتم النظر في الشكل المعياري لدالة النقل من حيث التردد الزاوي :

H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}}.

يظهر مخطط بود في الشكل 1 (ب) أعلاه، وسيتم مناقشة بناء تقريب الخط المستقيم لاحقًا.

مخطط الشدة

مقدار دالة النقل المذكورة أعلاه (بالديسيبل ) (بعد تطبيعها وتحويلها إلى صيغة التردد الزاوي)، معطى بواسطة تعبير كسب الديسيبل $A_{\text{vdB}}$ :

{\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}

ثم تم رسمها مقابل تردد الإدخال $\omega$ على مقياس لوغاريتمي، يمكن تقريبها بخطين ، يشكلان مخطط بود التقريبي (التقريبي) لقيمة دالة النقل:

السطر الأول للترددات الزاوية أدناه $\omega _{\text{c}}$ هو خط أفقي عند 0 ديسيبل، لأنه عند الترددات المنخفضة $\omega /\omega _{\text{c}}$ الحد صغير ويمكن إهماله، مما يجعل معادلة كسب الديسيبل أعلاه تساوي صفرًا.
السطر الثاني للترددات الزاوية أعلاه $\omega _{\text{c}}$ هو خط ذو ميل قدره -20 ديسيبل لكل عقد، لأنه عند الترددات العالية $\omega /\omega _{\text{c}}$ يهيمن المصطلح، ويتبسط تعبير كسب الديسيبل أعلاه إلى $-20\log(\omega /\omega _{\text{c}})$ ، وهو خط مستقيم بميل قدره -20 ديسيبل لكل عقد.

يلتقي هذان الخطان عند تردد الزاوية $\omega _{\text{c}}$ يتضح من الرسم البياني أنه بالنسبة للترددات الأقل بكثير من تردد القطع، يكون توهين الدائرة 0 ديسيبل، ما يُعادل كسب نطاق تمرير يساوي واحدًا، أي أن سعة خرج المرشح تساوي سعة دخله. أما الترددات الأعلى من تردد القطع فتُخفَّف ، وكلما زاد التردد زاد التوهين .

مخطط الطور

يتم الحصول على مخطط بود الطوري برسم زاوية الطور لدالة النقل المعطاة بواسطة

\arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}

عكس $\omega$ ، أين $\omega$ و $\omega _{\text{c}}$ تمثل و الترددات الزاوية للإدخال والقطع على التوالي. بالنسبة لترددات الإدخال الأقل بكثير من تردد القطع، تكون النسبة $\omega /\omega _{\text{c}}$ صغيرة، وبالتالي تكون زاوية الطور قريبة من الصفر. ومع ازدياد النسبة، تزداد القيمة المطلقة للطور وتصبح -45° عندما $\omega =\omega _{\text{c}}$ مع ازدياد النسبة لترددات الإدخال الأعلى بكثير من تردد القطع، تقترب زاوية الطور بشكل مقارب من -90 درجة. مقياس التردد لمخطط الطور لوغاريتمي.

رسم بياني مُعَيَّر

يمكن استبدال محور التردد الأفقي، في كل من مخططات السعة والطور، بنسبة التردد المعيارية (غير البعدية). $\omega /\omega _{\text{c}}$ في هذه الحالة، يُقال إن الرسم البياني مُعَيَّر، ولم تعد تُستخدم وحدات الترددات، حيث يتم الآن التعبير عن جميع ترددات الإدخال كمضاعفات لتردد القطع. $\omega _{\text{c}}$ .

مثال مع الصفر والقطب

توضح الأشكال من 2 إلى 5 كيفية إنشاء مخططات بود. يُبين هذا المثال، الذي يتضمن قطبًا وصفرًا، كيفية استخدام مبدأ التراكب. في البداية، تُعرض المكونات بشكل منفصل.

يوضح الشكل 2 مخطط بود للمقدار عند الصفر وعند قطب تمرير منخفض، ويقارن بينهما بمخططات بود للخط المستقيم. تكون مخططات الخط المستقيم أفقية حتى موقع القطب (الصفر)، ثم تنخفض (ترتفع) بمعدل 20 ديسيبل/عقد. أما الشكل 3، فيُظهر نفس الشيء بالنسبة للطور. تكون مخططات الطور أفقية حتى تردد أقل بعشر مرات من موقع القطب (الصفر)، ثم تنخفض (ترتفع) بمعدل 45 درجة/عقد حتى يصبح التردد أعلى بعشر مرات من موقع القطب (الصفر). بعد ذلك، تعود المخططات إلى الوضع الأفقي عند الترددات الأعلى، مع تغير نهائي في الطور مقداره 90 درجة.

يوضح الشكلان 4 و5 كيفية إجراء عملية التراكب (الجمع البسيط) لمخطط القطب والصفر. تتم مقارنة مخططات بود الخطية مرة أخرى بالمخططات الدقيقة. تم نقل الصفر إلى تردد أعلى من القطب للحصول على مثال أكثر إثارة للاهتمام. لاحظ في الشكل 4 أن انخفاض القطب بمقدار 20 ديسيبل/ عقدة يتم إيقافه بارتفاع الصفر بنفس المقدار، مما ينتج عنه مخطط سعة أفقي للترددات الأعلى من موقع الصفر. لاحظ في الشكل 5، في مخطط الطور، أن تقريب الخط المستقيم دقيق جدًا في المنطقة التي يؤثر فيها كل من القطب والصفر على الطور. لاحظ أيضًا في الشكل 5 أن نطاق الترددات التي يتغير فيها الطور في مخطط الخط المستقيم يقتصر على ترددات أعلى وأسفل موقع القطب (الصفر) بعشرة أضعاف. عندما يكون طور القطب والصفر موجودين، يكون مخطط الطور الخطي أفقيًا لأن انخفاض القطب بمقدار 45 درجة / عقد يتم إيقافه بواسطة ارتفاع الصفر المتداخل بمقدار 45 درجة / عقد في نطاق محدود من الترددات حيث يكون كلاهما مساهمًا نشطًا في الطور.

مثال مع قطب وصفر
الشكل 2: مخطط بود للمقدار عند الصفر وقطب الترددات المنخفضة؛ المنحنيات المسماة "بود" هي مخططات بود الخطية.
الشكل 3: مخطط طور بود للصفر والقطب المنخفض التمرير؛ المنحنيات المسماة "بود" هي مخططات بود الخطية.
الشكل 4: مخطط بود للمقدار لمجموعة الأقطاب والأصفار؛ موقع الصفر أعلى بعشر مرات مما هو عليه في الشكلين 2 و3؛ المنحنيات المسماة "بود" هي مخططات بود الخطية.
الشكل 5: مخطط طور بود لمجموعة الأقطاب والأصفار؛ موقع الصفر أعلى بعشر مرات مما هو عليه في الشكلين 2 و3؛ المنحنيات المسماة "بود" هي مخططات بود الخطية.

هامش الربح وهامش المرحلة

تُستخدم مخططات بود لتقييم استقرار مضخمات التغذية الراجعة السالبة من خلال إيجاد هامشي الكسب والطور للمضخم. ويستند مفهوم هامشي الكسب والطور إلى معادلة الكسب لمضخم التغذية الراجعة السالبة الموضحة في الشكل التالي:

A_{\text{FB}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}},

حيث يُمثل A _FB كسب المُضخّم مع التغذية الراجعة ( كسب الحلقة المغلقة )، وβ هو عامل التغذية الراجعة ، و A _{OL} هو الكسب بدون تغذية راجعة ( كسب الحلقة المفتوحة ). الكسب A _OL دالة مركبة للتردد، لها مقدار وطور. ^{[ ملاحظة 1 ]} يُظهر فحص هذه العلاقة إمكانية الحصول على كسب لانهائي (يُفسر على أنه عدم استقرار) إذا كان حاصل ضرب β A _OL = -1 (أي أن مقدار β A _OL يساوي واحدًا وطوره -180°، وهو ما يُعرف بمعيار استقرار باركهاوزن ). تُستخدم مخططات بود لتحديد مدى اقتراب المُضخّم من تحقيق هذا الشرط.

يكمن مفتاح هذا التحديد في ترددين. الأول، والمُشار إليه هنا بـ f ₁₈₀ ، هو التردد الذي ينعكس عنده كسب الحلقة المفتوحة . أما الثاني، والمُشار إليه هنا بـ f _{0 dB} ، فهو التردد الذي تكون عنده قيمة حاصل ضرب |β A _OL | = 1 = 0 ديسيبل. أي أن التردد f ₁₈₀ يُحدد بالشرط التالي:

\beta A_{\text{OL}}(f_{180})=-|\beta A_{\text{OL}}(f_{180})|=-|\beta A_{\text{OL}}|_{180},

حيث تشير الخطوط الرأسية إلى مقدار العدد المركب ، ويتم تحديد التردد f _{0 ديسيبل} من خلال الشرط

|\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 dB}})|=1.

يُعد هامش الكسب أحد مقاييس الاقتراب من عدم الاستقرار . يُحدد مخطط بود الطوري التردد الذي تصل عنده طور β A _OLإلى -180°، ويُشار إليه هنا بالتردد f _180. باستخدام هذا التردد، يُحدد مخطط بود المقدار مقدار β A _OL . إذا كان |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1، يكون المُضخّم غير مستقر، كما ذُكر. أما إذا كان |β A _OL | ₁₈₀ < 1، فلا يحدث عدم استقرار، ويُسمى الفرق بالديسيبل بين مقدار |β A _OL | ₁₈₀ و |β A _OL | = 1 بهامش الكسب . ولأن المقدار 1 يُعادل 0 ديسيبل، فإن هامش الكسب هو ببساطة أحد الأشكال المُكافئة التالية: $20\log _{10}|\beta A_{\text{OL}}|_{180}=20\log _{10}|A_{\text{OL}}|-20\log _{10}\beta ^{-1}$ .

يُعد هامش الطور مقياسًا مكافئًا آخر للقرب من حالة عدم الاستقرار . يُحدد مخطط بود للمقدار التردد الذي تصل عنده قيمة |β A _OL | إلى الوحدة، ويُشار إليه هنا بالتردد f _{0 dB} . باستخدام هذا التردد، يُحدد مخطط بود للطور طور β A _OL . إذا كان طور β A _OL ( f _{0 dB} ) > − 180°، فلا يمكن استيفاء شرط عدم الاستقرار عند أي تردد (لأن قيمته ستكون < 1 عندما f = f ₁₈₀ )، وتُسمى المسافة بين الطور عند f _{0 dB} بالدرجات و− 180 ° بهامش الطور .

إذا كان المطلوب هو إجابة بسيطة بنعم أو لا على مسألة الاستقرار، _{فإن المضخم يكون مستقرًا إذا}_كانf₀ _ديسيبل < f₁₈₀ . هذا المعيار كافٍ للتنبؤ بالاستقرار فقط للمضخمات التي تستوفي بعض القيود على مواقع أقطابها وأصفارها ( أنظمة الطور الأدنى ). على الرغم من أن هذه القيود تُستوفى عادةً، إلا أنه في حال عدم استيفائها، يجب استخدام طريقة أخرى، مثل مخطط نايكويست . ^[⁶^]^[⁷^] يمكن حساب هوامش الكسب والطور المثلى باستخدام نظرية استيفاء نيفانلينا-بيك . ^[⁸^]

أمثلة باستخدام مخططات بود

يوضح الشكلان 6 و7 سلوك الكسب والمصطلحات المستخدمة. بالنسبة لمضخم ثلاثي الأقطاب، يقارن الشكل 6 مخطط بود للكسب بدون تغذية راجعة ( كسب الحلقة المفتوحة ) A _OL مع الكسب مع التغذية الراجعة A _FB ( كسب الحلقة المغلقة ). لمزيد من التفاصيل، انظر مضخم التغذية الراجعة السالبة .

في هذا المثال، A _OL = 100 ديسيبل عند الترددات المنخفضة، و 1 / β = 58 ديسيبل. عند الترددات المنخفضة، A _FB ≈ 58 ديسيبل أيضًا.

بما أن الرسم البياني يُظهر كسب الحلقة المفتوحة A _OL وليس حاصل ضربه β A _OL ، فإن الشرط A _OL = 1 / β يُحدد قيمة f  _{0 ديسيبل} . يكون كسب التغذية الراجعة عند الترددات المنخفضة ولقيم A _{OL} الكبيرة هو A _FB ≈ 1 / β (انظر صيغة كسب التغذية الراجعة في بداية هذا القسم لحالة الكسب الكبير A  _OL )، لذا فإن طريقة مكافئة لإيجاد f _{0 ديسيبل} هي تحديد نقطة تقاطع كسب التغذية الراجعة مع كسب الحلقة المفتوحة. (يلزمنا التردد f _{0 ديسيبل} لاحقًا لإيجاد هامش الطور).

عند نقطة التقاطع هذه بين المكسبين عند التردد f _{0 dB} ، تتحقق معايير باركهاوزن تقريبًا في هذا المثال، ويُظهر مُضخِّم التغذية الراجعة ذروةً هائلةً في المكسب (ستكون لانهائيةً إذا كان β A _OL = −1). بعد تردد المكسب الواحد f _{0 dB} ، يكون كسب الحلقة المفتوحة صغيرًا بما يكفي بحيث يكون A _FB ≈ A _OL (راجع الصيغة في بداية هذا القسم لحالة A _OL الصغيرة ).

يوضح الشكل 7 مقارنة الطور المقابلة: يكون طور مضخم التغذية الراجعة قريبًا من الصفر حتى التردد f ₁₈₀ حيث يكون طور كسب الحلقة المفتوحة -180 درجة. في هذه المنطقة، ينخفض طور مضخم التغذية الراجعة فجأةً ليصبح مساويًا تقريبًا لطور مضخم الحلقة المفتوحة. (تذكر أن A _FB ≈ A _{OL عندما تكون قيمة}A _OL صغيرة ).

بمقارنة النقاط المحددة في الشكلين 6 و7، يتضح أن تردد كسب الوحدة f₀ _ديسيبل وتردد انعكاس الطور f₁₈ متقاربان جدًا في هذا المضخم، حيث _f₁₈_≈ f₀ ديسيبل _≈ 3.332 كيلوهرتز، مما _يعني أن هامش الكسب وهامش الطور يكاد يكونان معدومين. وبالتالي، فإن المضخم مستقر على _الحافة.

يوضح الشكلان 8 و9 هامش الكسب وهامش الطور لقيمة مختلفة للتغذية الراجعة β. تم اختيار عامل التغذية الراجعة أصغر من قيمته في الشكلين 6 و7، مما أدى إلى نقل الشرط |β A _OL | = 1 إلى تردد أقل. في هذا المثال، 1/β = 77 ديسيبل، وعند الترددات المنخفضة A _FB ≈ 77 ديسيبل أيضًا.

يوضح الشكل 8 مخطط الكسب. من الشكل 8، يتقاطع المنحنى 1/β مع _{منحنى AOL}عند التردد _f0ديسيبل ₌ 1 كيلوهرتز. لاحظ أن ذروة الكسب AFB بالقرب من _f0ديسيبل _تكاد تختفي. ^[^ملاحظة₂^]^[⁹^]

الشكل 9 هو مخطط الطور. باستخدام قيمة f _{0 dB} = 1 kHz التي تم الحصول عليها أعلاه من مخطط السعة في الشكل 8، فإن طور الحلقة المفتوحة عند f _{0 dB} هو -135 درجة، وهو هامش طور قدره 45 درجة فوق -180 درجة.

_{باستخدام الشكل 9، عند طور مقداره -180} °، تكون قيمة f180 = 3.332 كيلوهرتز (وهي نفس النتيجة التي تم التوصل إليها سابقًا، بالطبع ^[^{ملاحظة 3}^] ). يبلغ كسب الحلقة المفتوحة من الشكل 8 عند _f18058 ديسيبل ، و1/β = 77 ديسيبل، لذا فإن هامش الكسب هو 19 ديسيبل.

لا يُعدّ الاستقرار المعيار الوحيد لاستجابة المُضخّم، وفي العديد من التطبيقات، يُعتبر الحصول على استجابة جيدة للخطوة مطلبًا أكثر صرامة من الاستقرار . وكقاعدة عامة ، تتطلب الاستجابة الجيدة للخطوة هامش طور لا يقل عن 45 درجة، وغالبًا ما يُنصح بهامش يزيد عن 70 درجة، خاصةً عندما يكون تباين المكونات الناتج عن تفاوتات التصنيع مشكلة. ^{[ 9 ]} انظر أيضًا مناقشة هامش الطور في مقالة استجابة الخطوة .

أمثلة
الشكل 6: كسب مضخم التغذية الراجعة A _FB بالديسيبل ومضخم الحلقة المفتوحة المقابل A _{OL} . المعامل 1/β = 58 ديسيبل، وعند الترددات المنخفضة يكون A _FB ≈ 58 ديسيبل أيضًا. هامش الكسب في هذا المضخم يكاد يكون معدومًا لأن | β A _{OL}| = 1 يحدث عند f = f _180° تقريبًا .
الشكل 7: طور مضخم التغذية الراجعة °A _FB بالدرجات ومضخم الحلقة المفتوحة المقابل °A _OL . هامش الطور في هذا المضخم يكاد يكون معدومًا لأن انعكاس الطور يحدث عند تردد كسب الوحدة تقريبًا f = f _{0 dB} حيث | β A _OL| = 1.
الشكل 8: كسب مضخم التغذية الراجعة A _FB بالديسيبل ومضخم الحلقة المفتوحة المقابل A _{OL} . في هذا المثال، 1/β = 77 ديسيبل. هامش الكسب في هذا المضخم هو 19 ديسيبل.
الشكل 9: طور مضخم التغذية الراجعة A _FB بالدرجات ومضخم الحلقة المفتوحة المقابل A _OL . هامش الطور في هذا المضخم هو 45 درجة.

مخطط بودي

الشكل 10: مخطط السعة لمرشح إلكتروني من الرتبة العاشرة، مرسوم باستخدام راسمة بود

جهاز رسم بود هو أداة إلكترونية تشبه راسم الإشارة ، تُنتج مخطط بود، أو رسمًا بيانيًا، لكسب الجهد أو إزاحة الطور لدائرة كهربائية مُرسمة مقابل التردد في نظام تحكم تغذية راجعة أو مرشح. يوضح الشكل 10 مثالًا على ذلك. وهو مفيد للغاية لتحليل واختبار المرشحات واستقرار أنظمة التحكم التغذية الراجعة ، من خلال قياس ترددات القطع (القطع) وهوامش الكسب والطور.

هذا مطابق للوظيفة التي يؤديها محلل الشبكة الاتجاهية ، ولكن محلل الشبكة يستخدم عادة بترددات أعلى بكثير.

لأغراض التعليم والبحث، فإن رسم مخططات بود لوظائف النقل المعطاة يسهل الفهم بشكل أفضل والحصول على نتائج أسرع (انظر الروابط الخارجية).

مخططات ذات صلة

يُعدّ كلٌّ من مخطط نايكويست ومخطط نيكولز من المخططات البيانية المرتبطة التي تعرض البيانات نفسها في نظامي إحداثيات مختلفين . وهما مخططان بارامتريان ، حيث يُمثّل التردد المدخلات، بينما يُمثّل كلٌّ من سعة وطور استجابة التردد المخرجات. يعرض مخطط نايكويست هذه البيانات في إحداثيات قطبية ، حيث تُمثّل السعة نصف القطر، والطور الزاوية. أما مخطط نيكولز، فيعرضها في إحداثيات مستطيلة، على مقياس لوغاريتمي .

الشكل 11: مخطط نايكويست .
الشكل 12: رسم بياني نيكولز لنفس الاستجابة من الشكل 11.

انظر أيضاً

ملحوظات

عادةً، مع ازدياد التردد، ينخفض مقدار الكسب، وتصبح المرحلة أكثر سلبية، مع العلم أن هذه مجرد اتجاهات عامة وقد تنعكس في نطاقات تردد معينة. قد يؤدي سلوك الكسب غير المعتاد إلى عدم إمكانية تطبيق مفاهيم هامش الكسب وهامش المرحلة. عندئذٍ، يجب استخدام طرق أخرى، مثل مخطط نايكويست، لتقييم الاستقرار.
↑ إن الكمية الحرجة من التغذية الراجعة التي تختفي عندها ذروة الكسب تمامًا هي التصميم المسطح الأقصى أو تصميم Butterworth .
↑ لا يتغير التردد الذي ينعكس عنده كسب الحلقة المفتوحة f ₁₈₀ بتغير عامل التغذية الراجعة؛ فهو خاصية من خصائص كسب الحلقة المفتوحة. كما أن قيمة الكسب عند f ₁₈₀ لا تتغير بتغير β. لذلك، يمكننا استخدام القيم السابقة من الشكلين 6 و7. مع ذلك، ولتوضيح الإجراء، تم استخدام الشكلين 8 و9 فقط.

مراجع

↑ آر كي راو يارلاجادا (2010). الإشارات والأنظمة التناظرية والرقمية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 243. ISBN 978-1-4419-0034-0.
↑ فان فالكنبورغ، ماجستير هندسة، جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين، "في ذكرى هندريك دبليو. بود (1905-1982)"، معاملات IEEE في التحكم الآلي، المجلد AC-29، العدد 3، مارس 1984، الصفحات 193-194. اقتباس: "يجب أن يُقال شيء عن اسمه. بالنسبة لزملائه في مختبرات بيل والأجيال اللاحقة من المهندسين، يُنطق اسمه "بو-دي". فضّلت عائلة بود استخدام النطق الهولندي الأصلي "بو-داه".
^ "Vertaling van postbode، NL>EN" . mijnwoordenboek.nl . تم الاسترجاع 2013/10/07 .
↑ ديفيد أ. ميندل ، بين الإنسان والآلة: التغذية الراجعة والتحكم والحوسبة قبل علم التحكم الآلي، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، 2004، رقم ISBN 0801880572، الصفحات 127-131.
↑ سكوجيستاد، سيجورد؛ بوستلويت، إيان (2005). التحكم بالتغذية الراجعة متعددة المتغيرات . تشيتشستر، غرب ساسكس، إنجلترا: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 0-470-01167-X.
↑ توماس هـ. لي (2004). "الفقرة 14.6. هوامش الكسب والطور كمقاييس للاستقرار". تصميم الدوائر المتكاملة للترددات الراديوية بتقنية CMOS ( الطبعة الثانية). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 451-453 . ISBN 0-521-83539-9.
↑ ويليام س. ليفين (1996). "الفقرة 10.1. مواصفات نظام التحكم". دليل التحكم: سلسلة أدلة الهندسة الكهربائية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي/مطبعة معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. ص 163. ISBN 0-8493-8570-9.
↑ ألين تانينباوم (فبراير 1981). الثبات ونظرية الأنظمة: الجوانب الجبرية والهندسية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 9783540105657.
1 2 ويلي إم سي سانسن (2006). أساسيات التصميم التناظري . دوردريخت، هولندا: سبرينغر. ص 157 – 163. ISBN 0-387-25746-2.

روابط خارجية

كيفية رسم مخططات بود التقاربية القطعية
كود برنامج Gnuplot لإنشاء مخطط بود: قالب طباعة DIN-A4 (ملف PDF)

[6] عادةً، مع ازدياد التردد، ينخفض مقدار الكسب، وتصبح المرحلة أكثر سلبية، مع العلم أن هذه مجرد اتجاهات عامة وقد تنعكس في نطاقات تردد معينة. قد يؤدي سلوك الكسب غير المعتاد إلى عدم إمكانية تطبيق مفاهيم هامش الكسب وهامش المرحلة. عندئذٍ، يجب استخدام طرق أخرى، مثل مخطط نايكويست، لتقييم الاستقرار.

[10] إن الكمية الحرجة من التغذية الراجعة التي تختفي عندها ذروة الكسب تمامًا هي التصميم المسطح الأقصى أو تصميم Butterworth .

[12] لا يتغير التردد الذي ينعكس عنده كسب الحلقة المفتوحة f ₁₈₀ بتغير عامل التغذية الراجعة؛ فهو خاصية من خصائص كسب الحلقة المفتوحة. كما أن قيمة الكسب عند f ₁₈₀ لا تتغير بتغير β. لذلك، يمكننا استخدام القيم السابقة من الشكلين 6 و7. مع ذلك، ولتوضيح الإجراء، تم استخدام الشكلين 8 و9 فقط.

[Yarlagadda2010-1] آر كي راو يارلاجادا (2010). الإشارات والأنظمة التناظرية والرقمية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 243. ISBN 978-1-4419-0034-0.

[Van_Valkenburg-2] فان فالكنبورغ، ماجستير هندسة، جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين، "في ذكرى هندريك دبليو. بود (1905-1982)"، معاملات IEEE في التحكم الآلي، المجلد AC-29، العدد 3، مارس 1984، الصفحات 193-194. اقتباس: "يجب أن يُقال شيء عن اسمه. بالنسبة لزملائه في مختبرات بيل والأجيال اللاحقة من المهندسين، يُنطق اسمه "بو-دي". فضّلت عائلة بود استخدام النطق الهولندي الأصلي "بو-داه".

[3] "Vertaling van postbode، NL>EN" . mijnwoordenboek.nl . تم الاسترجاع 2013/10/07 .

[4] ديفيد أ. ميندل ، بين الإنسان والآلة: التغذية الراجعة والتحكم والحوسبة قبل علم التحكم الآلي، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، 2004، رقم ISBN 0801880572، الصفحات 127-131.

[multivar_fb_control-5] سكوجيستاد، سيجورد؛ بوستلويت، إيان (2005). التحكم بالتغذية الراجعة متعددة المتغيرات . تشيتشستر، غرب ساسكس، إنجلترا: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 0-470-01167-X.

[Lee-7] توماس هـ. لي (2004). "الفقرة 14.6. هوامش الكسب والطور كمقاييس للاستقرار". تصميم الدوائر المتكاملة للترددات الراديوية بتقنية CMOS ( الطبعة الثانية). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 451-453 . ISBN 0-521-83539-9.

[Levine-8] ويليام س. ليفين (1996). "الفقرة 10.1. مواصفات نظام التحكم". دليل التحكم: سلسلة أدلة الهندسة الكهربائية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي/مطبعة معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. ص 163. ISBN 0-8493-8570-9.

[Tannenbaum-9] ألين تانينباوم (فبراير 1981). الثبات ونظرية الأنظمة: الجوانب الجبرية والهندسية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 9783540105657.

[Sansen-11] 1 2 ويلي إم سي سانسن (2006). أساسيات التصميم التناظري . دوردريخت، هولندا: سبرينغر. ص 157 – 163. ISBN 0-387-25746-2.

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ ملاحظة 1 ]

[

[

[

[

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗