تصميم الفلتر

يُعدّ استجابة التردد المطلوبة معيارًا مهمًا . ويحدد انحدار منحنى الاستجابة وتعقيده رتبة المرشح وجدواه.

يحتوي المرشح التكراري من الدرجة الأولى على مُكوّن واحد فقط يعتمد على التردد. هذا يعني أن ميل استجابة التردد يقتصر على 6 ديسيبل لكل أوكتاف . وهذا غير كافٍ للعديد من الأغراض. ولتحقيق ميول أكثر حدة، يلزم استخدام مرشحات من درجات أعلى.

فيما يتعلق بدالة التردد المطلوبة، قد تكون هناك أيضًا دالة ترجيح مصاحبة ، تصف، لكل تردد، مدى أهمية أن تقترب دالة التردد الناتجة من الدالة المطلوبة.

من الأمثلة النموذجية لدالة التردد ما يلي:

• يُستخدم مرشح الترددات المنخفضة لقطع الإشارات عالية التردد غير المرغوب فيها.
• يقوم مرشح الترددات العالية بتمرير الترددات العالية بشكل جيد إلى حد ما؛ وهو مفيد كمرشح لقطع أي مكونات غير مرغوب فيها ذات تردد منخفض.
• يقوم مرشح تمرير النطاق بتمرير نطاق محدود من الترددات.
• يسمح مرشح إيقاف النطاق بمرور الترددات التي تقع أعلى وأسفل نطاق معين. ويُعرف مرشح إيقاف النطاق الضيق جدًا باسم مرشح الحجب.
• يمرر مرشح تمرير الكل جميع الترددات بالتساوي وبنفس الكسب. يتغير فقط إزاحة الطور، مما يؤثر أيضًا على تأخير المجموعة.
• يتميز جهاز التفاضل باستجابة سعة تتناسب مع التردد.
• مرشح الرف المنخفض يمرر جميع الترددات، ولكنه يزيد أو يقلل الترددات الأقل من تردد الرف بمقدار محدد.
• مرشح الرف العالي يمرر جميع الترددات، ولكنه يزيد أو يقلل الترددات التي تزيد عن تردد الرف بمقدار محدد.
• يقوم مرشح معادلة الذروة بإحداث ذروة أو انخفاض في استجابة التردد، ويستخدم عادة في المعادل البارامتري .

• يُمرر مرشح تمرير الكل جميع الترددات دون تغيير، ولكنه يُغير طور الإشارة. يمكن استخدام مرشحات من هذا النوع لمعادلة تأخير المجموعة في المرشحات التكرارية. كما يُستخدم هذا المرشح في تأثيرات الفايزر .
• محول هيلبرت هو مرشح تمرير كلي محدد يمرر الموجات الجيبية بسعة غير متغيرة ولكنه يحرك طور كل موجة جيبية بمقدار ±90 درجة.
• مرشح التأخير الجزئي هو مرشح تمرير كامل له تأخير مجموعة أو طور محدد وثابت لجميع الترددات.

توجد علاقة مباشرة بين دالة التردد للمرشح واستجابته النبضية: فالأولى هي تحويل فورييه للثانية. وهذا يعني أن أي شرط على دالة التردد هو شرط على الاستجابة النبضية، والعكس صحيح.

ومع ذلك، في بعض التطبيقات قد تكون استجابة النبضة للمرشح هي الصريحة، وتهدف عملية التصميم بعد ذلك إلى إنتاج أقرب تقريب ممكن لاستجابة النبضة المطلوبة مع مراعاة جميع المتطلبات الأخرى.

في بعض الحالات، قد يكون من المهم النظر في دالة التردد واستجابة النبضة للمرشح، بحيث يتم اختيارهما بشكل مستقل. على سبيل المثال، قد نرغب في الحصول على دالة تردد محددة للمرشح، وأن يكون للمرشح الناتج عرض فعال صغير قدر الإمكان في مجال الإشارة. يمكن تحقيق الشرط الأخير من خلال اختيار دالة ضيقة جدًا كاستجابة نبضة مطلوبة للمرشح، حتى وإن لم تكن لهذه الدالة أي علاقة بدالة التردد المطلوبة. يهدف تصميم المرشح إذًا إلى تحقيق هدفين متناقضين قدر الإمكان. ومن الأمثلة على ذلك الصوت عالي الدقة، حيث تُعد استجابة التردد (السعة والطور) لإشارات الحالة المستقرة (مجموع الموجات الجيبية) المتطلب الأساسي للمرشح، بينما قد تتسبب استجابة النبضة غير المقيدة في تدهور غير متوقع نتيجة لانتشار الإشارات العابرة مع الزمن . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

أي مرشح يعمل في الوقت الحقيقي (حيث تعتمد استجابة المرشح فقط على المدخلات الحالية والسابقة) يجب أن يكون سببيًا . إذا أسفرت عملية التصميم عن مرشح غير سببي، فيمكن جعل المرشح الناتج سببيًا عن طريق إدخال إزاحة زمنية مناسبة (أو تأخير).

يمكن أن تكون المرشحات التي لا تعمل في الوقت الفعلي (مثل مرشحات معالجة الصور) غير سببية. وقد تُصمم هذه المرشحات بحيث يكون تأخيرها معدوماً.

يضمن المرشح المستقر أن كل إشارة دخل محدودة تُنتج استجابة مرشح محدودة. وقد يكون المرشح الذي لا يفي بهذا الشرط عديم الفائدة أو حتى ضارًا في بعض الحالات. يمكن لبعض أساليب التصميم ضمان الاستقرار، على سبيل المثال باستخدام دوائر التغذية الأمامية فقط، مثل مرشح FIR. من ناحية أخرى، تتمتع المرشحات القائمة على دوائر التغذية الراجعة بمزايا أخرى، ولذلك قد تُفضّل، حتى وإن كانت هذه الفئة من المرشحات تشمل مرشحات غير مستقرة. في هذه الحالة، يجب تصميم المرشحات بعناية لتجنب عدم الاستقرار.

في بعض التطبيقات، نتعامل مع إشارات تحتوي على مكونات يمكن وصفها بأنها ظواهر محلية، مثل النبضات أو الخطوات، ذات مدة زمنية محددة. ومن نتائج تطبيق مرشح على الإشارة، بشكل بديهي، أن مدة هذه الظواهر المحلية تتمدد بمقدار عرض المرشح. وهذا يعني أنه من المهم أحيانًا الحفاظ على عرض دالة استجابة النبضة للمرشح قصيرًا قدر الإمكان.

وفقًا لعلاقة عدم اليقين في تحويل فورييه، يجب أن يتجاوز حاصل ضرب عرض دالة استجابة النبضة للمرشح وعرض دالة التردد الخاصة به قيمة ثابتة معينة. هذا يعني أن أي شرط يتعلق بموقعية المرشح يستلزم أيضًا حدًا أقصى لعرض دالة التردد الخاصة به. وبالتالي، قد لا يكون من الممكن تلبية متطلبات موقعية دالة استجابة النبضة للمرشح ومتطلبات موقعية دالة التردد الخاصة به في آنٍ واحد. وهذا مثال نموذجي على المتطلبات المتناقضة.

من الأهداف العامة في أي تصميم تقليل عدد العمليات الحسابية (الجمع والضرب) اللازمة لحساب استجابة المرشح إلى أدنى حد ممكن. في بعض التطبيقات، يُعد هذا الهدف شرطًا أساسيًا، على سبيل المثال بسبب محدودية الموارد الحاسوبية أو موارد الطاقة أو الوقت. ويُعدّ القيد الأخير شائعًا في التطبيقات التي تعمل في الوقت الحقيقي.

توجد عدة طرق يمكن من خلالها أن تختلف التعقيدات الحسابية للمرشح. على سبيل المثال، تتناسب رتبة المرشح تقريبًا مع عدد العمليات. وهذا يعني أنه باختيار مرشح ذي رتبة منخفضة، يمكن تقليل وقت الحساب.

بالنسبة للمرشحات المنفصلة، ​​يتناسب التعقيد الحسابي تقريبًا مع عدد معاملات المرشح. إذا كان للمرشح العديد من المعاملات، كما هو الحال في الإشارات متعددة الأبعاد مثل بيانات التصوير المقطعي، فقد يكون من المناسب تقليل عدد المعاملات عن طريق إزالة تلك القريبة جدًا من الصفر. أما في المرشحات متعددة المعدلات، فيتم تقليل عدد المعاملات بالاستفادة من حدود عرض النطاق الترددي، حيث يتم تقليل معدل أخذ عينات الإشارة المدخلة (مثلًا إلى ترددها الحرج)، ثم زيادة معدل أخذ عينات الإشارة بعد الترشيح.

من المسائل الأخرى المتعلقة بالتعقيد الحسابي مسألة قابلية الفصل، أي ما إذا كان من الممكن كتابة مرشح ما على شكل التفاف لمرشحين أو أكثر أبسط، وكيفية القيام بذلك. وتكتسب هذه المسألة أهمية خاصة بالنسبة للمرشحات متعددة الأبعاد، مثل المرشح ثنائي الأبعاد المستخدم في معالجة الصور. في هذه الحالة، يمكن تحقيق انخفاض ملحوظ في التعقيد الحسابي إذا أمكن فصل المرشح على شكل التفاف لمرشح أحادي البعد أفقيًا وآخر رأسيًا. وقد ينتج عن عملية تصميم المرشح، على سبيل المثال، تقريب مرشح معين كمرشح قابل للفصل أو كمجموع مرشحات قابلة للفصل.

يجب أيضاً تحديد كيفية تطبيق المرشح:

• مرشح تناظري
• مرشح أخذ العينات التناظري
• مرشح رقمي
• مرشح ميكانيكي

كما ينص مبدأ غابور ، وهو مبدأ عدم اليقين، فإن حاصل ضرب عرض دالة التردد وعرض استجابة النبضة لا يمكن أن يكون أصغر من قيمة ثابتة محددة. وهذا يعني أنه إذا طُلب دالة تردد محددة، تتوافق مع عرض تردد محدد، فإن الحد الأدنى لعرض المرشح في مجال الإشارة يُحدد. وعلى العكس، إذا أُعطي الحد الأقصى لعرض الاستجابة، فإن هذا يُحدد أصغر عرض ممكن في مجال التردد. هذا مثال نموذجي على المتطلبات المتناقضة حيث قد تحاول عملية تصميم المرشح إيجاد حل وسط مناسب.

يترك${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$ليكن تباين إشارة الإدخال، وليكن${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$ليكن تباين المرشح. تباين استجابة المرشح،${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$، ثم يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$=${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$+${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$

هذا يعني أن${\displaystyle \sigma _{r}>\sigma _{f}}$وهذا يعني أن تحديد موقع خصائص مختلفة، مثل النبضات أو الخطوات في استجابة المرشح، محدود بعرض المرشح في مجال الإشارة. إذا طُلب تحديد موقع دقيق، فنحن بحاجة إلى مرشح ذي عرض صغير في مجال الإشارة، وبناءً على مبدأ عدم اليقين، لا يمكن أن يكون عرضه في مجال التردد صغيرًا بشكل تعسفي.

لتكن f(t) دالة، ولتكن${\displaystyle F(\omega )}$ليكن تحويل فورييه الخاص بها. هناك نظرية تنص على أنه إذا كانت المشتقة الأولى للدالة F غير المتصلة من الرتبة${\displaystyle n\geq 0}$إذن، فإن الدالة f لها انحلال تقاربي مثل${\displaystyle t^{-n-1}}$.

ومن نتائج هذه النظرية أن دالة التردد للمرشح يجب أن تكون سلسة قدر الإمكان للسماح لاستجابته النبضية بأن يكون لها اضمحلال سريع، وبالتالي عرض قصير.

يمكن توسيع الطريقة السابقة لتشمل حد خطأ إضافيًا يتعلق باستجابة النبضة المطلوبة للمرشح في مجال الإشارة، مع دالة ترجيح مقابلة. يمكن اختيار استجابة النبضة المثالية بشكل مستقل عن دالة التردد المثالية، وتُستخدم عمليًا للحد من العرض الفعال وإزالة تأثيرات الرنين للمرشح الناتج في مجال الإشارة. يتم ذلك باختيار دالة استجابة نبضة مثالية ضيقة، مثل دالة النبضة، ودالة ترجيح تتزايد بسرعة مع المسافة من نقطة الأصل، مثل مربع المسافة. لا يزال من الممكن حساب المرشح الأمثل عن طريق حل مسألة المربعات الصغرى البسيطة، ويكون المرشح الناتج حينها "حلاً وسطًا" يحقق تطابقًا مثاليًا تامًا مع الدوال المثالية في كلا المجالين. من المعايير المهمة القوة النسبية لدالتي الترجيح، والتي تحدد في أي مجال يكون من الأهمية بمكان الحصول على تطابق جيد مع الدالة المثالية.

• أ. أنطونيو (1993). المرشحات الرقمية: التحليل والتصميم والتطبيقات (  الطبعة الثانية). ماكجرو هيل، نيويورك، نيويورك. ISBN 978-0-07-002117-4.
• أ. أنطونيو (2006). معالجة الإشارات الرقمية: الإشارات والأنظمة والمرشحات . ماكجرو هيل، نيويورك، نيويورك. ISBN 978-0-07-145424-7.
• SWA Bergen; A. Antoniou (2005). "تصميم مرشحات رقمية غير تكرارية باستخدام دالة النافذة فوق الكروية" . مجلة EURASIP لمعالجة الإشارات التطبيقية . 2005 (12): 1910. Bibcode : 2005EJASP2005...44B . doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• أ. ج. ديكزكي (أكتوبر 1972). "توليف المرشحات الرقمية المتكررة باستخدام معيار الحد الأدنى للخطأ p". معاملات IEEE في الصوتيات والإلكترونيات الصوتية . 20 (4): 257-263 . Bibcode : 1972ITAuE..20..257D . doi : 10.1109/TAU.1972.1162392 .
• جيه كيه كايزر (1974). "تصميم مرشح رقمي غير تكراري باستخدام دالة النافذة I ₀ -sinh". وقائع ندوة IEEE الدولية لنظرية الدوائر (ISCAS74) لعام 1974. سان فرانسيسكو، كاليفورنيا. الصفحات 20-23 . 
• هـ. كنوتسون؛ م. أندرسون؛ جيه ويكلوند (يونيو 1999). “تصميم الفلتر المتقدم”. بروك. الندوة الاسكندنافية حول تحليل الصور، كانجيرلوسواك، جرينلاند .
• إس كيه ميترا (1998). معالجة الإشارات الرقمية: منهج قائم على الحاسوب . ماكجرو هيل، نيويورك، نيويورك. رقم ISBN 978-0-07-286546-2.
• A.V. Oppenheim; R.W. Schafer; J.R. Buck (1999). Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ. ISBN 978-0-13-754920-7.
• T.W. Parks; J.H. McClellan (March 1972). "Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase". IEEE Transactions on Circuit Theory. 19 (2): 189–194. Bibcode:1972ITCT...19..189P. doi:10.1109/TCT.1972.1083419.
• L.R. Rabiner; J.H. McClellan; T.W. Parks (April 1975). "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation". Proceedings of the IEEE. 63 (4): 595–610. Bibcode:1975IEEEP..63..595R. doi:10.1109/PROC.1975.9794. S2CID 12579115.