بي-سبلاين

في التحليل العددي ، تُعدّ دالة B-spline (اختصارًا لـ base spline) نوعًا من دوال spline المصممة بحيث يكون لها حد أدنى من الدعم (التداخل) لدرجة معينة ، ونعومة ، ومجموعة من نقاط الانقطاع (العُقد التي تقسم نطاقها ) ، مما يجعلها لبنة أساسية لجميع دوال spline من تلك الدرجة. تُعرَّف دالة B-spline بأنها متعددة حدود مجزأة من الدرجة .${\displaystyle n}$، بمعنى درجة من${\displaystyle n-1}$تُبنى هذه الدالة من مقاطع تلتقي عند هذه العقد، حيث يعتمد استمرار الدالة ومشتقاتها على عدد مرات تكرار كل عقدة (تعددها). يمكن التعبير عن أي دالة تكعيبية من درجة معينة بشكل فريد كتركيبة خطية من دوال تكعيبية من نفس الدرجة عند نفس العقد، ^{[ 1 ]} وهي خاصية تجعلها متعددة الاستخدامات في النمذجة الرياضية. يستخدم نوع فرعي خاص، هو الدوال التكعيبية الأساسية، عقدًا متساوية البعد .

يعود مفهوم B-splines إلى القرن التاسع عشر، عندما استكشف نيكولاي لوباتشيفسكي أفكارًا مماثلة في جامعة كازان في روسيا، ^{[ 2 ]} على الرغم من أن مصطلح "B-spline" قد صاغه إسحاق جاكوب شوينبيرج ^{[ 3 ]} في عام 1967، مما يعكس دورها كدوال أساسية . ^{[ 4 ]}

تُستخدم منحنيات B-spline على نطاق واسع في مجالات مثل التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) ورسومات الحاسوب ، حيث تقوم بتشكيل المنحنيات والأسطح من خلال مجموعة من نقاط التحكم ، وكذلك في تحليل البيانات لمهام مثل تركيب المنحنيات والتفاضل العددي للبيانات التجريبية.

منحنى بي-سبلاين من الرتبة${\displaystyle p+1}$هي مجموعة من الدوال متعددة الحدود المجزأة${\displaystyle B_{i,p}(t)}$درجة علمية${\displaystyle p}$في متغير${\displaystyle t}$قيم${\displaystyle t}$تُعرف نقاط التقاء أجزاء متعددة الحدود بالعقد، ويُرمز لها بـ${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m}}$وتم ترتيبها بترتيب تصاعدي.

بالنسبة لتسلسل معين من العقد، يوجد، حتى عامل قياس، منحنى فريد${\displaystyle B_{i,p}(t)}$مُرضٍ

${\displaystyle B_{i,p}(t)={\begin{cases}{\text{غير صفري}}&{\text{إذا كان }}t_{i}\leq t<t_{i+p+1},\\0&{\text{إذا كان }}t<t_{i}\lor t_{i+p+1}\leq t.\end{cases}}}$

إذا أضفنا القيد الإضافي الذي

${\displaystyle \sum _{i=0}^{mp-1}B_{i,p}(t)=1}$

للجميع${\displaystyle t}$بين العقد${\displaystyle t_{p}}$و${\displaystyle t_{mp}}$ثم عامل القياس لـ${\displaystyle B_{i,p}(t)}$تُصبح ثابتة. العُقد الموجودة بينها (ولا تشملها)${\displaystyle t_{p}}$و${\displaystyle t_{mp}}$وتسمى هذه العقد بالعقد الداخلية.

يمكن إنشاء دوال B-spline باستخدام صيغة كوكس-دي بور التكرارية. نبدأ بدالات B-spline من الدرجة${\displaystyle p=0}$أي كثيرات الحدود الثابتة القطعية.

${\displaystyle B_{i,0}(t):={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}t_{i}\leq t<t_{i+1},\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

كلما ارتفع${\displaystyle (p+1)}$يتم تعريف منحنيات B-spline من الدرجة n عن طريق التكرار.

${\displaystyle B_{i,p}(t):={\dfrac {t-t_{i}}{t_{i+p}-t_{i}}}B_{i,p-1}(t)+{\dfrac {t_{i+p+1}-t}{t_{i+p+1}-t_{i+1}}}B_{i+1,p-1}(t).}$

دالة B-spline هي عبارة عن مجموعة من الأشرطة المرنة التي يتم التحكم بها بواسطة عدد من النقاط تُسمى نقاط التحكم ، مما يُنتج منحنيات سلسة. تُستخدم هذه الدوال لإنشاء وإدارة الأشكال والأسطح المعقدة باستخدام عدد من النقاط. وتُستخدم دوال B-spline ودوال بيزير على نطاق واسع في أساليب تحسين الأشكال . ^{[ 5 ]}

منحنى بي-سبلاين من الرتبة${\displaystyle n}$هي دالة متعددة الحدود مجزأة من الدرجة${\displaystyle n-1}$في متغير${\displaystyle x}$يتم تعريفها على${\displaystyle n}$المواقع${\displaystyle t_{i}}$وتسمى هذه النقاط بالعقد أو نقاط الانقطاع، والتي يجب أن تكون بترتيب غير تنازلي.${\displaystyle t_{i}\leq t_{i+1}}$لا تُساهم دالة B-spline إلا في النطاق بين العقدة الأولى والأخيرة، وتكون قيمتها صفرًا في أي مكان آخر. إذا كانت كل عقدة مفصولة بنفس المسافة${\displaystyle h}$(أين${\displaystyle h=t_{i+1}-t_{i}}$) من سابقتها، يُطلق على متجه العقدة و B-splines المقابلة اسم "موحد" (انظر B-spline الأساسي أدناه).

لكل فترة عقدة محدودة حيث تكون القيمة غير صفرية، فإن دالة B-spline هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle n-1}$دالة B-spline هي دالة متصلة عند نقاط العقد. ^{[ ملاحظة 1 ]} عندما تكون جميع نقاط العقد التابعة لدالة B-spline متميزة، فإن مشتقاتها تكون متصلة أيضًا حتى مشتقة الدرجة t.${\displaystyle n-2}$إذا كانت العقد متطابقة عند قيمة معينة لـ${\displaystyle x}$يقلّ معامل استمرارية رتبة المشتقة بمقدار 1 لكل عقدة متطابقة إضافية. قد تشترك دوال B-spline في مجموعة فرعية من عقدها، لكنّ دالتين B-spline معرفتين على نفس العقد تمامًا تكونان متطابقتين. بعبارة أخرى، تُعرَّف دالة B-spline بشكل فريد من خلال عقدها.

يُفرّق المرء بين العُقد الداخلية ونقاط النهاية. تغطي العُقد الداخلية${\displaystyle x}$-المجال الذي يهتم به المرء. بما أن منحنى B-spline واحد يمتد بالفعل على${\displaystyle n}$وبالتالي، فإن العقد الداخلية تحتاج إلى تمديدها مع${\displaystyle n-1}$تُحدد نقاط النهاية على كل جانب لتوفير دعم كامل لأول وآخر منحنى B-spline، مما يؤثر على فترات العقد الداخلية. لا تُؤخذ قيم نقاط النهاية في الاعتبار، وعادةً ما يتم تكرار أول أو آخر عقدة داخلية.

تكمن فائدة دوال B-spline في حقيقة أن أي دالة spline من الرتبة${\displaystyle n}$يمكن التعبير عن مجموعة معينة من العقد كتركيبة خطية من دوال B-spline:

${\displaystyle S_{n,\mathbf {t} }(x)=\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,n}(x).}$

تؤدي دوال B-spline دور الدوال الأساسية لفضاء دوال spline ، ومن هنا جاءت التسمية. وتنتج هذه الخاصية عن حقيقة أن جميع الأجزاء لها نفس خصائص الاستمرارية، ضمن نطاق دعمها الفردي، عند العقد. ^{[ 6 ]}

يمكن اشتقاق تعبيرات الأجزاء متعددة الحدود عن طريق صيغة كوكس دي بور التكرارية ^{[ 7 ].}

${\displaystyle B_{i,0}(x):={\begin{cases}1&{\text{إذا كان }}t_{i}\leq x<t_{i+1},\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle B_{i,k}(x):={\frac {x-t_{i}}{t_{i+k}-t_{i}}}B_{i,k-1}(x)+{\frac {t_{i+k+1}-x}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}B_{i+1,k-1}(x).}$

إنه،${\displaystyle B_{i,0}(x)}$قيمة ثابتة جزئياً، إما واحد أو صفر، تشير إلى أي عقدة تقع x (صفر إذا تكررت العقدة i ). تتكون معادلة التكرار من جزأين:

${\displaystyle {\frac {x-t_{i}}{t_{i+k}-t_{i}}}}$

تتناقص القيم من الصفر إلى الواحد عندما تتغير قيمة x من${\displaystyle t_{i}}$ل${\displaystyle t_{i+k}}$، و

${\displaystyle {\frac {t_{i+k+1}-x}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}}$

تتناقص القيم من واحد إلى صفر عندما تتغير قيمة x من${\displaystyle t_{i+1}}$ل${\displaystyle t_{i+k+1}}$تكون قيم B المقابلة صفرًا خارج تلك النطاقات المحددة. على سبيل المثال،${\displaystyle B_{i,1}(x)}$هي دالة مثلثية تساوي صفرًا من الأسفل${\displaystyle x=t_{i}}$، منحدرات تؤدي إلى واحد عند${\displaystyle x=t_{i+1}}$والعودة إلى الصفر عند وما بعده${\displaystyle x=t_{i+2}}$ومع ذلك، نظرًا لأن دوال الأساس B-spline لها دعم محلي ، يتم حساب B-splines عادةً بواسطة خوارزميات لا تحتاج إلى تقييم دوال الأساس حيث تكون قيمتها صفرًا، مثل خوارزمية دي بور .

تؤدي هذه العلاقة مباشرة إلى خوارزمية BSPLV المكتوبة بلغة FORTRAN ، والتي تولد قيم B-splines من الرتبة n عند x . ^{[ 8 ]} يوضح المخطط التالي كيف أن كل جزء من الرتبة n هو عبارة عن تركيبة خطية من أجزاء B-splines من الرتبة n  −  1 إلى يساره.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&0\\&0&\\0&&B_{i-2,2}\\&B_{i-1,1}&\\B_{i,0}&&B_{i-1,2}\\&B_{i,1}&\\0&&B_{i,2}\\&0&\\&&0\end{matrix}}}$

تطبيق صيغة التكرار مع العقد عند${\displaystyle (0,1,2,3)}$يعطي المكونات القطعية لـ B-spline المنتظم من الرتبة 3

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&=x^{2}/2\\b_{1}&=(-2x^{2}+6x-3)/2\\b_{2}&=(3-x)^{2}/2\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle B_{0,2}(x)={\begin{cases}b_{0}&{\text{if }}0\leq x<1,\\b_{1}&{\text{if }}1\leq x<2,\\b_{2}&{\text{if }}2\leq x<3,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

تظهر هذه الأجزاء في الرسم التخطيطي. كما هو موضح أدناه، يتم توضيح خاصية استمرارية دالة التجزئة التربيعية ومشتقتها الأولى عند العقد الداخلية.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{At }}x=1\colon \ b_{0}=b_{1}=0.5,\ {\frac {db_{0}}{dx}}={\frac {db_{1}}{dx}}=1.\\[6pt]&{\text{At }}x=2\colon \ b_{1}=b_{2}=0.5,\ {\frac {db_{1}}{dx}}={\frac {db_{2}}{dx}}=-1.\end{aligned}}}$

المشتقة الثانية لدالة B-spline من الدرجة 2 تكون غير متصلة عند العقد:

${\displaystyle {\frac {d^{2}b_{0}}{dx^{2}}}=1,\ {\frac {d^{2}b_{1}}{dx^{2}}}=-2,\ {\frac {d^{2}b_{2}}{dx^{2}}}=1.}$

تم اقتراح نسخ أسرع من خوارزمية دي بور، لكنها تعاني من استقرار أقل نسبياً. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

إن مشتقة B-spline من الدرجة k هي ببساطة دالة لـ B-splines من الدرجة k  −  1: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {dB_{i,k}(x)}{dx}}=k\left({\frac {B_{i,k-1}(x)}{t_{i+k}-t_{i}}}-{\frac {B_{i+1,k-1}(x)}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}}\right).}$

وهذا يعني أن

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,k}=\sum _{i=r-k+2}^{s-1}k{\frac {\alpha _{i}-\alpha _{i-1}}{t_{i+k}-t_{i}}}B_{i,k-1}\quad {\text{on}}\quad [t_{r},t_{s}],}$

مما يدل على وجود علاقة بسيطة بين مشتقة دالة السبلاين ودوال السبلاين من الدرجة الأقل بواحد.

يمكن استخدام دوال B-spline أحادية المتغير، أي دوال B-spline حيث تقع مواضع العقد في بُعد واحد، لتمثيل دوال كثافة الاحتمال أحادية البعد.${\displaystyle p(x)}$ومن الأمثلة على ذلك المجموع المرجح لـ${\displaystyle i}$دوال أساس B-spline من الرتبة${\displaystyle n}$، والتي يتم تطبيع كل منها إلى الوحدة (أي لا يتم تقييمها مباشرة باستخدام خوارزمية دي بور القياسية)

${\displaystyle p(x)=\sum _{i}c_{i}\cdot B_{i,n,{\textbf {norm}}}(x)}$

ومع قيد ثابت التطبيع${\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1}$اللحظة الخام رقم k${\displaystyle \mu _{k}}$من منحنى B-spline المعياري${\displaystyle B_{i,n,{\textbf {norm}}}}$يمكن كتابتها على شكل متوسط ​​كارلسون ديريشلي${\displaystyle R_{k}}$[ ^{15 ] والتي بدورها يمكن حلها بدقة} عبر التكامل الكفافي والمجموع التكراري ^{[ 16 ]} كما

${\displaystyle \mu _{k}=R_{k}(\mathbf {m}$ ;\mathbf {t} )=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}\cdot B_{i,n,{\textbf {norm}}}(x\mid t_{1}\dots t_{j})\,dx={\frac {\Gamma (k+1)\Gamma (m)}{\Gamma (m+k)}}\cdot D_{k}(\mathbf {m} ,\mathbf {t} )}

مع

${\displaystyle D_{k}={\frac {1}{k}}\sum \limits _{u=1}^{k}\left[\left(\sum \limits _{i=1}^{j}m_{i}\cdot {t_{i}}^{u}\right)D_{k-u}\right]}$

و${\displaystyle D_{0}=1}$. هنا،${\displaystyle \mathbf {t} }$يمثل متجهًا مع${\displaystyle j}$مواضع العقد و${\displaystyle \mathbf {m} }$متجه ذو تعدد عقدي متناسب. وبالتالي، يمكن حساب أي عزم لدالة كثافة الاحتمال.${\displaystyle p(x)}$يتم تمثيلها بمجموع دوال أساس B-spline بدقة، دون اللجوء إلى التقنيات العددية.

منحنى بيزير هو أيضًا منحنى متعدد الحدود يمكن تعريفه باستخدام علاقة تكرارية من منحنيات ذات درجة أقل من نفس الفئة، ويتم ترميزه بدلالة نقاط التحكم، ولكن الفرق الرئيسي هو أن جميع الحدود في العلاقة التكرارية لجزء من منحنى بيزير لها نفس مجال التعريف (عادةً${\displaystyle [0,1]}$)، بينما تختلف دعامات الحدين في تكرار B-spline (الفترات الفرعية الخارجية غير مشتركة). هذا يعني أن منحنى بيزير من الدرجة${\displaystyle n}$مقدم من${\displaystyle m\gg n}$تتكون نقاط التحكم من حوالي${\displaystyle m/n}$تتميز معظم أجزاء منحنى بيزير باستقلاليتها، بينما ينتقل منحنى بيزير ذو المعاملات نفسها بسلاسة من فترة فرعية إلى أخرى. وللحصول على منحنى مماثل، يلزم فرض شرط سلاسة على الانتقالات بين الأجزاء، مما ينتج عنه نوع من منحنى بيزير (حيث تُحدد العديد من نقاط التحكم بشرط السلاسة).

منحنى بيزير متعدد القطع/المركب هو سلسلة من منحنيات بيزير متصلة ببعضها البعض على الأقل${\displaystyle C^{0}}$الاستمرارية (تتطابق النقطة الأخيرة لمنحنى ما مع نقطة بداية المنحنى التالي). وبحسب التطبيق، توجد متطلبات إضافية للنعومة (مثل${\displaystyle C^{1}}$أو${\displaystyle C^{2}}$يمكن إضافة (الاستمرارية). ^{[ 17 ]}${\displaystyle C^{1}}$المنحنيات المتصلة لها مماسات متطابقة عند نقطة الانقطاع (حيث يلتقي المنحنيان).${\displaystyle C^{2}}$المنحنيات المتصلة لها نفس الانحناء عند نقطة الانقطاع. ^{[ 18 ]}

في عملية مطابقة المنحنيات ، عادةً ما تُطابق مجموعة من نقاط البيانات مع منحنى مُعرَّف بدالة رياضية. على سبيل المثال، تستخدم الأنواع الشائعة من مطابقة المنحنيات متعددة الحدود أو مجموعة من الدوال الأسية . عندما لا يتوفر أساس نظري لاختيار دالة المطابقة، يمكن مطابقة المنحنى بدالة تكعيبية مُكوَّنة من مجموع دوال تكعيبية من النوع B، باستخدام طريقة المربعات الصغرى . ^{[ 19 ] [ ملاحظة 2 ]} وبالتالي، فإن دالة الهدف لتقليل المربعات الصغرى، بالنسبة لدالة تكعيبية من الدرجة k ، هي:

${\displaystyle U=\sum _{{\text{all}}~x}\left\{W(x)\left[y(x)-\sum _{i}\alpha _{i}B_{i,k,t}(x)\right]\right\}^{2},}$

حيث W ( x ) هو وزن، و y ( x ) هي قيمة البيانات عند x . المعاملات${\displaystyle \alpha _{i}}$هذه هي المعايير المطلوب تحديدها. يمكن تثبيت قيم العقد أو التعامل معها كمعايير.

تكمن الصعوبة الرئيسية في تطبيق هذه العملية في تحديد عدد العقد المستخدمة ومواقعها. يقترح دي بور استراتيجيات متنوعة لمعالجة هذه المشكلة. على سبيل المثال، يتم تقليل المسافة بين العقد بما يتناسب مع انحناء البيانات (المشتقة الثانية). وقد نُشرت بعض التطبيقات، منها استخدام دوال B-spline لمطابقة منحنيات لورنتزية وغوسية مفردة . تم حساب دوال السبلاين المثلى من الدرجات 3 إلى 7، استنادًا إلى ترتيبات متناظرة من 5 و6 و7 عقد، وطُبقت الطريقة لتنعيم وتفاضل المنحنيات الطيفية. ^{[ 20 ]} في دراسة مقارنة، حقق الإصدار ثنائي الأبعاد من ترشيح سافيتزكي-غولاي وطريقة السبلاين نتائج أفضل من المتوسط ​​المتحرك أو ترشيح تشيبيشيف . ^{[ 21 ]}

في تطبيقات التصميم بمساعدة الحاسوب ورسومات الحاسوب ، يُشار أحيانًا إلى منحنى السبلاين على النحو التالي:${\displaystyle C(t)}$، منحنى بارامتري لبعض المعلمات الحقيقية${\displaystyle t}$في هذه الحالة المنحنى${\displaystyle C(t)}$يمكن التعامل معها كدالتين أو ثلاث دوال إحداثية منفصلة${\displaystyle (x(t),y(t))}$، أو${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$دوال الإحداثيات${\displaystyle x(t)}$،${\displaystyle y(t)}$و${\displaystyle z(t)}$كل منها عبارة عن دوال انحناء، مع مجموعة مشتركة من قيم العقد${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$.

بما أن دوال B-spline تشكل دوال أساسية، فإنه يمكن التعبير عن كل دالة من دوال الإحداثيات كمجموع خطي لدوال B-spline، لذلك لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=\sum _{i}x_{i}B_{i,n}(t),\\Y(t)&=\sum _{i}y_{i}B_{i,n}(t),\\Z(t)&=\sum _{i}z_{i}B_{i,n}(t).\end{aligned}}}$

الأوزان${\displaystyle x_{i}}$،${\displaystyle y_{i}}$و${\displaystyle z_{i}}$يمكن دمجها لتشكيل نقاط${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذه النقاط${\displaystyle P_{i}}$تُعرف هذه النقاط عادةً باسم نقاط التحكم.

بالعمل عكسيًا، يُحدد تسلسل نقاط التحكم وقيم العقد وترتيب منحنى B-spline منحنىً بارامتريًا. يتميز هذا التمثيل للمنحنى بواسطة نقاط التحكم بعدة خصائص مفيدة:

1. نقاط التحكم${\displaystyle P_{i}}$قم بتعريف منحنى. إذا تم تحويل جميع نقاط التحكم معًا بطريقة ما، مثل نقلها أو تدويرها أو تغيير حجمها أو تحريكها بواسطة أي تحويل خطي ، فإن المنحنى المقابل يتم تحويله بنفس الطريقة.
2. لأن دوال B-splines لا تساوي الصفر إلا لعدد محدود من فترات العقد، فإذا تم تحريك نقطة تحكم واحدة، فإن التغيير المقابل في المنحنى البارامتري يكون فوق نطاق المعلمات لعدد صغير من فترات العقد.
3. لأن${\displaystyle \sum _{i}B_{i,n}(x)=1}$وفي جميع الأوقات${\displaystyle B_{i,n}(x)\geq 0}$إذاً، يبقى المنحنى داخل المربع المحيط بنقاط التحكم. كما أن المنحنى، بمعنى ما، يتبع نقاط التحكم بشكل عام.

من السمات الأقل استحساناً أن المنحنى البارامتري لا يقوم باستيفاء نقاط التحكم. عادةً لا يمر المنحنى عبر نقاط التحكم.

منحنى بي-سبلاين مكعب${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$بمعامل معياري${\displaystyle t\in [0,1]}$يتم تعريفها بأربع عقد (أي نقاط تحكم )${\displaystyle {\textbf {b}}_{0}}$،${\displaystyle {\textbf {b}}_{1}}$،${\displaystyle {\textbf {b}}_{2}}$، و${\displaystyle {\textbf {b}}_{3}}$يشكل هذا متعدد حدود من الدرجة الثالثة يمكن كتابته على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {C} (t)={\frac {1}{6}}\;{\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&0&3&0\\1&4&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{0}\\\mathbf {b} _{1}\\\mathbf {b} _{2}\\\mathbf {b} _{3}\end{bmatrix}}}$.

يتوافق هذا مع كثيرات حدود بي-سبلاين

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(t)&={\frac {1}{6}}(-t^{3}+3t^{2}-3t+1)\\B_{1}(t)&={\frac {1}{6}}(3t^{3}-6t^{2}+4)\\B_{2}(t)&={\frac {1}{6}}(-3t^{3}+3t^{2}+3t+1)\\B_{3}(t)&={\frac {1}{6}}t^{3}\end{aligned}}}$

ويمكن تقييم المنحنى على النحو التالي${\displaystyle \mathbf {C} (t)=\sum _{i=0}^{3}B_{i}(t)\,\mathbf {b} _{i}}$بتوسيع هذا، يمكننا كتابة الصيغة الكاملة لكثير الحدود كما يلي

${\displaystyle \mathbf {C} (t)={\frac {1}{6}}{\biggl (}(-\mathbf {b} _{0}+3\mathbf {b} _{1}-3\mathbf {b} _{2}+\mathbf {b} _{3})t^{3}+(3\mathbf {b} _{0}-6\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2})t^{2}+(-3\mathbf {b} _{0}+3\mathbf {b} _{2})t+(\mathbf {b} _{0}+4\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}){\biggr )}}$.

بما أن هذه دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة ، فيمكننا أيضًا كتابتها كمنحنى بيزير من الدرجة الثالثة مع نقاط تحكم. ${\displaystyle {\textbf {P}}_{0}}$،${\displaystyle {\textbf {P}}_{1}}$،${\displaystyle {\textbf {P}}_{2}}$، و${\displaystyle {\textbf {P}}_{3}}$بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{0}&={\frac {1}{6}}(\mathbf {b} _{0}+4\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{1}&={\frac {1}{3}}(2\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{2}&={\frac {1}{3}}(\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}),\\\mathbf {P} _{3}&={\frac {1}{6}}(\mathbf {b} _{1}+4\mathbf {b} _{2}+\mathbf {b} _{3}).\end{aligned}}}$

يتم تشكيل منحنى B-spline المكعب المجزأ بواسطة مجموعة من العقد، وتحدد كل أربع عقد متتالية جزءًا مكعبًا من المنحنى بالصيغة المذكورة أعلاه.

إذا كان الأول والأخير${\displaystyle n+1}$العقد (${\displaystyle n}$(درجة) متجه العقدة لها نفس القيمة، وتتداخل نقاط البداية والنهاية للمنحنى مع نقاط التحكم، مما ينتج عنه B-splines مثبتة.

مثال على متجهات العقد لشرائح B-spline المكعبة المثبتة مع${\displaystyle M}$نقاط التحكم هي كالتالي:

${\displaystyle M}$	متجه العقدة	نطاق${\displaystyle t}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$	[0,1]
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&2&2&2\end{bmatrix}}}$	[0,2]
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&3&3&3&3\end{bmatrix}}}$	[0,3]
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&3&4&4&4&4\end{bmatrix}}}$	[0,4]

يمكن تقسيم منحنى B-spline المثبت إلى أجزاء B-spline مجزأة باستخدام معلمة معيارية${\displaystyle t\in [0,1]}$، محددة بأربع نقاط تحكم${\displaystyle {\textbf {b}}_{i}}$،${\displaystyle {\textbf {b}}_{i+1}}$،${\displaystyle {\textbf {b}}_{i+2}}$، و${\displaystyle {\textbf {b}}_{i+3}}$ويمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {C} _{i}(t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}\mathbf {R} _{i}{\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{i}\\\mathbf {b} _{i+1}\\\mathbf {b} _{i+2}\\\mathbf {b} _{i+3}\end{bmatrix}}}$،

أين${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$هي مصفوفة معاملات .

يمكننا أيضًا كتابتها كمنحنى بيزير مكعب مع نقاط تحكم ${\displaystyle \mathbf {P_{i}} _{0}}$،${\displaystyle \mathbf {P_{i}} _{1}}$،${\displaystyle \mathbf {P_{i}} _{2}}$، و${\displaystyle \mathbf {P_{i}} _{3}}$بحيث

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P_{i}} _{0}\\\mathbf {P_{i}} _{1}\\\mathbf {P_{i}} _{2}\\\mathbf {P_{i}} _{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {R_{bz}} ^{-1}\mathbf {R} _{i}{\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{i}\\\mathbf {b} _{i+1}\\\mathbf {b} _{i+2}\\\mathbf {b} _{i+3}\end{bmatrix}},\qquad where\quad \mathbf {R_{bz}} ={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$.

متجهات العقد، مصفوفة المعاملات${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$ومصفوفة التحويل${\displaystyle \mathbf {R_{bz}} ^{-1}\mathbf {R} _{i}}$بالنسبة لكل جزء من أجزاء B-spline، تكون القيم كما يلي: ^{[ 22 ] [ 23 ]}

${\displaystyle M}$	${\displaystyle i}$	متجه العقدة	مصفوفة المعاملات${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$	مصفوفة التحويل${\displaystyle \mathbf {R_{bz}} ^{-1}\mathbf {R} _{i}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&2&2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&{\frac {7}{4}}&-1&{\frac {1}{4}}\\3&-{\frac {9}{2}}&{\frac {3}{2}}&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&-1&-1&0&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&1&-{\frac {7}{4}}&1\\{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{4}}&0\\-{\frac {3}{4}}&0&{\frac {3}{4}}&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&3&3\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&{\frac {7}{4}}&-{\frac {11}{12}}&{\frac {1}{6}}\\3&-{\frac {9}{2}}&{\frac {3}{2}}&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{6}}\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&-1&-1&0&1&2&2&2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&-{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {3}{4}}&-{\frac {5}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\-{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{6}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{6}}&0\\0&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&0\\0&{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\0&{\frac {1}{6}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&-2&-1&0&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{6}}&{\frac {11}{12}}&-{\frac {7}{4}}&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {5}{4}}&{\frac {3}{4}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}&0\\{\frac {1}{6}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{6}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \geq 7}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1&2&3&4\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&{\frac {7}{4}}&-{\frac {11}{12}}&{\frac {1}{6}}\\3&-{\frac {9}{2}}&{\frac {3}{2}}&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}{\begin{bmatrix}12&0&0&0\\0&12&0&0\\0&6&6&0\\0&3&7&2\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&-1&-1&0&1&2&3&4\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {3}{4}}&-{\frac {5}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\-{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{6}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}{\begin{bmatrix}3&7&2&0\\0&8&4&0\\0&4&8&0\\0&2&8&2\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle 2\leq i\leq M-6}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&-2&-1&0&1&2&3&3\end{bmatrix}}}$[ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&0&3&0\\1&4&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\begin{bmatrix}1&4&1&0\\0&4&2&0\\0&2&4&0\\0&1&4&1\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle M-5}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-2&-1&0&1&2&2&2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {1}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{6}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{6}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}{\begin{bmatrix}2&8&2&0\\0&8&4&0\\0&4&8&0\\0&2&7&3\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle M-4}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-2&-1&0&1&1&1&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {1}{6}}&{\frac {11}{12}}&-{\frac {7}{4}}&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {5}{4}}&{\frac {3}{4}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}&0\\{\frac {1}{6}}&{\frac {7}{12}}&{\frac {1}{4}}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}{\begin{bmatrix}2&7&3&0\\0&6&6&0\\0&0&12&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}}}$

في التصميم بمساعدة الحاسوب ، والتصنيع بمساعدة الحاسوب ، ورسومات الحاسوب ، يُعدّ منحنى بي-سبلاين غير المنتظم العقلاني (NURBS) امتدادًا قويًا لمنحنيات بي-سبلاين. وNURBS هي في الأساس منحنيات بي-سبلاين في إحداثيات متجانسة . وكما هو الحال مع منحنيات بي-سبلاين، تُعرَّف منحنيات بي-سبلاين برتبتها، ومتجه العقد، ومجموعة من نقاط التحكم، ولكن على عكس منحنيات بي-سبلاين البسيطة، فإن لكل نقطة تحكم وزنًا. عندما يكون الوزن مساويًا لـ 1، يكون منحنى NURBS هو ببساطة منحنى بي-سبلاين، وبذلك يُعمِّم NURBS كلاً من منحنيات بي-سبلاين ومنحنيات وأسطح بيزير ، والفرق الرئيسي هو وزن نقاط التحكم الذي يجعل منحنيات NURBS "عقلانية".

من خلال تقييم NURBS عند قيم مختلفة للمعلمات، يمكن تتبع المنحنى عبر الفضاء؛ وبالمثل، من خلال تقييم سطح NURBS عند قيم مختلفة للمعلمتين، يمكن تمثيل السطح في الفضاء الديكارتي.

كما هو الحال في منحنيات B-spline، تحدد نقاط التحكم في NURBS شكل المنحنى. تُحسب كل نقطة من نقاط المنحنى بأخذ مجموع مرجح لعدد من نقاط التحكم. يختلف وزن كل نقطة تبعًا للمعامل المتحكم. بالنسبة لمنحنى من الدرجة d ، يكون تأثير أي نقطة تحكم غير صفري فقط في d + 1 فترات (امتدادات العقد) من فضاء المعاملات . ضمن هذه الفترات، يتغير الوزن وفقًا لدالة متعددة الحدود (دوال الأساس) من الدرجة d . عند حدود الفترات، تتلاشى دوال الأساس بسلاسة إلى الصفر، وتُحدد درجة هذه السلاسة بدرجة متعددة الحدود.

متجه العقد هو سلسلة من قيم المعاملات التي تحدد مكان وكيفية تأثير نقاط التحكم على منحنى NURBS. عدد العقد يساوي دائمًا عدد نقاط التحكم مضافًا إليه درجة المنحنى زائد واحد. في كل مرة تدخل فيها قيمة المعامل نطاق عقد جديد، تُفعَّل نقطة تحكم جديدة، بينما تُهمل نقطة التحكم القديمة.

يأخذ منحنى NURBS الشكل التالي: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle C(u)={\frac {\sum _{i=1}^{k}N_{i,n}(u)w_{i}P_{i}}{\sum _{i=1}^{k}N_{i,n}(u)w_{i}}}}$

تُستخدم الرموز التالية: u هو المتغير المستقل (بدلاً من x )، و k هو عدد نقاط التحكم، و N هو دالة B-spline (تُستخدم بدلاً من B )، وn هي درجة متعددة الحدود، و P هي نقطة تحكم، و w هو وزن. المقام هو عامل توحيد يساوي واحدًا إذا كانت جميع الأوزان تساوي واحدًا.

من المعتاد كتابة هذا على النحو التالي

${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)P_{i}}$

حيث الوظائف

${\displaystyle R_{i,n}(u)={\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}}$

تُعرف باسم دوال الأساس الكسرية.

يتم الحصول على سطح NURBS كحاصل ضرب موتر لمنحنيين NURBS، وبالتالي باستخدام معلمتين مستقلتين u و v (مع المؤشرات i و j على التوالي): ^{[ 25 ]}

${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\ell }R_{i,j}(u,v)P_{i,j}}$

مع

${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{\ell }N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$

كدوال أساسية نسبية.

• منحنى بيزير
• منحنى الصندوق
• خوارزمية دي بور
• I-spline
• M-spline
• موجة سبلاين
• تي-سبلاين

المراجع

• كارل دي بور (1978). دليل عملي للخطوط . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-540-90356-7.
• بيغل، ليس؛ تيلر، واين (1997). كتاب NURBS (الطبعة الثانية  ). سبرينغر. ISBN 978-3-540-61545-3.

• ريتشارد هـ. بارتلز؛ جون س. بيتي؛ ​​برايان أ. بارسكي (1987). مقدمة في استخدام الدوال التكعيبية في رسومات الحاسوب والنمذجة الهندسية . مورغان كوفمان. ISBN 978-1-55860-400-1.
• جان غالييه (1999). المنحنيات والأسطح في النمذجة الهندسية: النظرية والخوارزميات . مورغان كوفمان. الفصل 6. منحنيات بي-سبلاين.هذا الكتاب غير متوفر في الأسواق ويمكن الحصول عليه مجاناً من المؤلف.
• هارتموت براوتش؛ فولفجانج بوهم؛ ماركو بالوزني (2002). تقنيات بيزييه و بي سبلاين . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-3-540-43761-1.
• ديفيد سالومون (2006). المنحنيات والأسطح في رسومات الحاسوب . سبرينغر. الفصل 7. تقريب بي-سبلاين. ISBN 978-0-387-28452-1.
• هوفي، تشاد (2022). صياغة وتنفيذ هندسة بيزير وهندسة بي-سبلاين باستخدام لغة بايثون. SAND2022-7702C . (153 صفحة)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "بي-سبلاين" . ماث وورلد .
• روف، يوهانس. "دوال بي-سبلاين من الدرجة الثالثة على شبكة غير منتظمة" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2013-11-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-05-02 .
• دالة B-spline ثنائية المتغيرات من مكتبة NumPy
• منحنيات B-spline تفاعلية باستخدام JSXGraph
• TinySpline: مكتبة C مفتوحة المصدر مع روابط للغات برمجة مختلفة
• منحنيات بي-سبلاين غير النسبية المنتظمة، نمذجة المنحنيات في الفضاء ثنائي الأبعاد. المؤلف: ستيفان ج. بيك
• محرر B-Spline بواسطة شوكانت بال