تحسين الشكل

لحل مشكلة تحسين الشكل، يحتاج المرء إلى إيجاد طريقة لتمثيل الشكل في ذاكرة الحاسوب ، ومتابعة تطوره. وعادةً ما تُستخدم عدة مناهج.

يتمثل أحد الأساليب في تتبع حدود الشكل. ولتحقيق ذلك، يمكن أخذ عينات من حدود الشكل بطريقة كثيفة ومنتظمة نسبيًا، أي اختيار عدد كافٍ من النقاط للحصول على مخطط دقيق للشكل. بعد ذلك، يمكن تطوير الشكل عن طريق تحريك نقاط الحدود تدريجيًا. يُعرف هذا الأسلوب باسم أسلوب لاغرانج .

ثمة نهج آخر يتمثل في اعتبار دالة مُعرَّفة على صندوق مستطيل يحيط بالشكل، بحيث تكون موجبة داخل الشكل، وصفرًا على حدوده، وسالبة خارجه. يمكن حينها تطوير هذه الدالة بدلًا من الشكل نفسه. يمكن اعتبار شبكة مستطيلة على الصندوق وأخذ عينات من الدالة عند نقاط الشبكة. مع تطور الشكل، لا تتغير نقاط الشبكة، بل تتغير قيم الدالة فقط عند هذه النقاط. يُطلق على هذا النهج، الذي يستخدم شبكة ثابتة، اسم النهج الأويلري . وتُعد فكرة استخدام دالة لتمثيل الشكل أساس طريقة مجموعة المستويات .

ثمة نهج ثالث يتمثل في اعتبار تطور الشكل مسألة تدفق. أي، يمكن تخيل أن الشكل مصنوع من مادة لدنة تتشوه تدريجيًا بحيث يمكن دائمًا تتبع أي نقطة داخل الشكل أو على حدوده إلى نقطة من الشكل الأصلي بشكل مباشر. رياضيًا، إذا${\displaystyle \Omega _{0}}$هو الشكل الأولي، و${\displaystyle \Omega _{t}}$إذا كان الشكل عند الزمن t ، فسيتم النظر في التحويلات التفاضلية.

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ for }}0\leq t\leq t_{0}.}$

الفكرة هي مرة أخرى أن الأشكال كيانات يصعب التعامل معها بشكل مباشر، لذا يتم التلاعب بها عن طريق دالة.

لنفترض وجود حقل سرعة سلس${\displaystyle V}$وعائلة التحولات${\displaystyle T_{s}}$من المجال الأولي${\displaystyle \Omega _{0}}$تحت مجال السرعة${\displaystyle V}$:

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$،

ويدل على

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

ثمّ الكعك أو الشكل المشتق من${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$في${\displaystyle \Omega _{0}}$فيما يتعلق بالشكل، فإن حد

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}$

إذا كانت هذه النهاية موجودة. وإذا كانت المشتقة خطية بالنسبة إلى${\displaystyle V}$، هناك عنصر فريد من نوعه${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$و

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\جزئي \Omega _{0}}}$

أين${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$يُطلق عليه اسم تدرج الشكل. وهذا يعطي فكرة طبيعية عن انحدار التدرج ، حيث يكون الحد${\displaystyle \partial \Omega }$يتم تطويرها في اتجاه تدرج الشكل السالب لتقليل قيمة دالة التكلفة. ويمكن تعريف المشتقات ذات الرتب الأعلى بشكل مماثل، مما يؤدي إلى طرق شبيهة بطرق نيوتن.

عادةً ما يُفضّل استخدام خوارزمية التدرج الهبوطي، حتى لو تطلّب ذلك عددًا كبيرًا من التكرارات، لأنه قد يكون من الصعب حساب المشتقة من الرتبة الثانية (أي مصفوفة هيسيان ) للدالة الهدف.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

إذا كانت مشكلة تحسين الشكل لها قيود، أي الدالة ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$في حال وجود قيود، يجب إيجاد طرق لتحويل المسألة المقيدة إلى مسألة غير مقيدة. أحيانًا، قد تنجح أفكار تعتمد على مُضاعِفات لاغرانج ، مثل طريقة الحالة المرافقة .

يمكن معالجة تحسين الشكل باستخدام أساليب التحسين القياسية إذا تم تحديد معلمات الهندسة. تُعد هذه المعلمات بالغة الأهمية في مجال هندسة التصميم بمساعدة الحاسوب (CAE)، حيث تكون دوال الهدف عادةً دوالًا معقدة تُقيّم باستخدام نماذج عددية (مثل ديناميكا الموائع الحسابية، وتحليل العناصر المحدودة، إلخ). يتمثل أحد الأساليب الملائمة، والمناسبة لمجموعة واسعة من المشكلات، في تحديد معلمات نموذج التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) بالتزامن مع أتمتة كاملة لجميع العمليات اللازمة لتقييم الدالة (التقسيم الشبكي، والحل، ومعالجة النتائج). يُعد تغيير شكل الشبكة خيارًا مناسبًا للمشكلات المعقدة، حيث يحل المشكلات الشائعة المرتبطة بإعادة التقسيم الشبكي، مثل عدم استمرارية دوال الهدف والقيود المحسوبة.

في هذه الحالة، تُحدد المعلمات بعد مرحلة التجزئة، حيث تعمل مباشرةً على النموذج العددي المستخدم في الحساب، والذي يتغير باستخدام أساليب تحديث الشبكة. تتوفر عدة خوارزميات لتغيير شكل الشبكة ( مثل الأحجام المشوهة ، والأشكال شبه الصلبة ، ودوال الأساس الشعاعي ). يعتمد اختيار أسلوب المعلمات بشكل أساسي على حجم المشكلة: يُفضل أسلوب التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) للنماذج الصغيرة والمتوسطة الحجم، بينما يُعد أسلوب تغيير شكل الشبكة الأفضل (وأحيانًا الوحيد الممكن) للنماذج الكبيرة والكبيرة جدًا. يمكن استخدام تحسين باريتو متعدد الأهداف (NSGA II) كأسلوب فعال لتحسين الشكل. في هذا الصدد، يُظهر أسلوب تحسين باريتو مزايا مفيدة في طريقة التصميم، مثل تأثير قيد المساحة الذي لا تستطيع أساليب التحسين متعددة الأهداف الأخرى إظهاره. يُعد استخدام دالة الجزاء تقنية فعالة يمكن استخدامها في المرحلة الأولى من التحسين. في هذه الطريقة، يتم تكييف مسألة تصميم الشكل المقيد لتصبح مسألة غير مقيدة، وذلك باستخدام القيود في دالة الهدف كعامل جزاء. في أغلب الأحيان، يعتمد عامل الجزاء على مقدار تغير القيود وليس على عددها. تُطبق تقنية الترميز الحقيقي للخوارزمية الجينية في مسألة التحسين الحالية. لذلك، تستند الحسابات إلى القيم الحقيقية للمتغيرات. ^{[ 1 ]}