طريقة تحديد المستوى

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة
فيديو يوضح انتشار اللولب بواسطة مجموعات المستويات ( تدفق الانحناء ) في بعدين. تُظهر الصورة اليسرى حل المستوى الصفري. تُظهر الصورة اليمنى حقل الكمية العددية لمجموعة المستويات.

تُعدّ طريقة مجموعة المستويات ( LSM ) إطارًا مفاهيميًا لاستخدام مجموعات المستويات كأداة للتحليل العددي للأسطح والأشكال . تُمكّن LSM من إجراء حسابات عددية تتضمن منحنيات وأسطحًا على شبكة ديكارتية ثابتة دون الحاجة إلى تحديد معلمات لهذه الكائنات. [ 1 ] تُسهّل LSM إجراء الحسابات على الأشكال ذات الزوايا الحادة والأشكال التي تتغير بنيتها (مثل الانقسام إلى قسمين أو ظهور ثقوب). هذه الخصائص تجعل LSM فعّالة في نمذجة الأجسام التي تتغير مع الزمن، مثل انتفاخ الوسادة الهوائية أو قطرة زيت تطفو في الماء.

توضيح لطريقة مجموعة المستويات

ملخص

يوضح الشكل على اليمين عدة أفكار حول طريقة المربعات الصغرى. في الزاوية العلوية اليسرى توجد منطقة محدودة ذات حدود منتظمة. أسفلها، يمثل السطح الأحمر رسمًا بيانيًا لدالة مجموعة المستوى.φ{\displaystyle \varphi }يُحدد هذا الشكل، وتمثل المنطقة الزرقاء المسطحة المستوى XY . ثم يكون حد الشكل هو مجموعة المستوى الصفري لـφ{\displaystyle \varphi }بينما يمثل الشكل نفسه مجموعة النقاط في المستوى التيφ{\displaystyle \varphi }تكون موجبة (داخل الشكل) أو صفر (عند الحدود).

في الصف العلوي، تتغير بنية الشكل عند انقسامه إلى قسمين. من الصعب وصف هذا التحول عدديًا من خلال تحديد معلمات حدود الشكل ومتابعة تطوره. يمكن استخدام خوارزمية لاكتشاف لحظة انقسام الشكل إلى قسمين، ثم إنشاء معلمات للمنحنيين الناتجين حديثًا. أما في الصف السفلي، فيتم تحريك المستوى الذي تُؤخذ عنده عينات دالة مجموعة المستويات إلى الأعلى، حيث يُوصف تغير بنية الشكل. من الأسهل التعامل مع الشكل من خلال دالة مجموعة المستويات الخاصة به بدلًا من التعامل معه مباشرةً، إذ يتطلب ذلك مراعاة جميع التشوهات المحتملة التي قد يتعرض لها الشكل.

وبالتالي، في بعدين، فإن طريقة مجموعة المستويات تعني تمثيل منحنى مغلقΓ{\displaystyle \Gamma }(مثل حدود الشكل في مثالنا) باستخدام دالة مساعدةφ{\displaystyle \varphi }، وتسمى دالة مستوى المجموعة. المنحنىΓ{\displaystyle \Gamma }يتم تمثيلها كمجموعة المستوى الصفري لـφ{\displaystyle \varphi }بواسطة

Γ={(x،y)|φ(x،y)=0}،{\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}

وتتلاعب طريقة مجموعة المستوياتΓ{\displaystyle \Gamma }ضمنيًا من خلال الوظيفةφ{\displaystyle \varphi }هذه الوظيفةφ{\displaystyle \varphi }يُفترض أن تأخذ قيمًا موجبة داخل المنطقة المحددة بالمنحنىΓ{\displaystyle \Gamma }والقيم السالبة خارجها. [ 2 ] [ 3 ]

معادلة مجموعة المستويات

إذا كان المنحنىΓ{\displaystyle \Gamma }يتحرك في الاتجاه الطبيعي بسرعةv{\displaystyle v}ثم باستخدام قاعدة السلسلة والتفاضل الضمني، يمكن تحديد أن دالة مجموعة المستوىφ{\displaystyle \varphi }يحقق معادلة مجموعة المستوى

∂φ∂ت=v|∇φ|.{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=v|\nabla \varphi |.}

هنا،|⋅|{\displaystyle |\cdot |}المعيار الإقليدي (يُشار إليه عادةً بخطوط مستقيمة مفردة في المعادلات التفاضلية الجزئية)، وت{\displaystyle t}يمثل الزمن. هذه معادلة تفاضلية جزئية ، وتحديداً معادلة هاميلتون-جاكوبي ، ويمكن حلها عددياً، على سبيل المثال، باستخدام الفروق المحدودة على شبكة ديكارتية. [ 2 ] [ 3 ]

مع ذلك، قد يتطلب الحل العددي لمعادلة مجموعة المستويات تقنيات متقدمة. تفشل طرق الفروق المحدودة البسيطة بسرعة. تُعتبر طرق التقدير العكسي ، مثل طريقة غودونوف، أفضل؛ إلا أن طريقة مجموعة المستويات لا تضمن الحفاظ على حجم وشكل مجموعة المستويات في حقل نقل يحافظ على الشكل والحجم، كحقل سرعة منتظم أو دوراني على سبيل المثال . بل قد يتشوه شكل مجموعة المستويات، وقد تختفي خلال بضع خطوات زمنية. لذلك، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى مخططات الفروق المحدودة عالية الرتبة، مثل مخططات ENO عالية الرتبة، وحتى مع ذلك، تبقى جدوى عمليات المحاكاة طويلة الأمد موضع شك. وقد طُوّرت طرق أكثر تقدمًا للتغلب على هذه المشكلة؛ على سبيل المثال، دمج طريقة التسوية مع تتبع جسيمات العلامات المقترحة بواسطة حقل السرعة. [ 4 ]

مثال

لنفترض دائرة وحدة فيR2{\textstyle \mathbb {R} ^{2}}تتقلص الدائرة على نفسها بمعدل ثابت، أي أن كل نقطة على حدودها تتحرك على طول محورها الداخلي متجهةً عموديًا بسرعة ثابتة. ستتقلص الدائرة في النهاية وتنهار لتصبح نقطة. إذا تم إنشاء حقل مسافة ابتدائي (أي دالة قيمتها هي المسافة الإقليدية الموقعة إلى الحدود، موجبة من الداخل وسالبة من الخارج) على الدائرة الابتدائية، فإن التدرج المعياري لهذا الحقل سيكون هو العمودي على الدائرة.

إذا طُرحت قيمة ثابتة من الحقل بمرور الوقت، فإن مستوى الصفر (الذي كان الحد الأولي) للحقول الجديدة سيكون دائريًا أيضًا، وسينهار بالمثل إلى نقطة. ويعود ذلك إلى أن هذا يُعدّ في الواقع تكاملًا زمنيًا لمعادلة إيكونال بسرعة جبهة ثابتة .

التطبيقات

تاريخ

طُوِّرت طريقة مجموعة المستويات في عام 1979 على يد آلان ديرفيو، [ 5 ] ثم شاع استخدامها لاحقًا على يد ستانلي أوشر وجيمس سيثيان . ومنذ ذلك الحين، أصبحت شائعة في العديد من التخصصات، مثل معالجة الصور ، ورسومات الحاسوب ، والهندسة الحسابية ، والتحسين ، وديناميكيات الموائع الحسابية ، وعلم الأحياء الحسابي .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أوشر، س.؛ سيثيان، ج. أ. (1988)، "الجبهات المنتشرة بسرعة تعتمد على الانحناء: خوارزميات مبنية على صيغ هاميلتون-جاكوبي" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء الحاسوبية ، 79 (1): 12-49 ، Bibcode : 1988JCoPh..79...12O ، CiteSeerX 10.1.1.46.1266 ، doi : 10.1016/0021-9991(88)90002-2 ، hdl : 10338.dmlcz/144762 ، S2CID 205007680  
  2. 1 2 أوشر، ستانلي جيه .؛ فيدكيو، رونالد ب. (2002). طرق مجموعة المستوى والأسطح الضمنية الديناميكية . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-95482-0.
  3. 1 2 سيثيان، جيمس أ. (1999). طرق مجموعة المستوى وطرق المسير السريع : واجهات متطورة في الهندسة الحسابية، وميكانيكا الموائع، ورؤية الحاسوب، وعلوم المواد . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN  978-0-521-64557-7.
  4. ↑ إنرايت، د.؛ فيدكيو، ر.ب.؛ فيرزيجر، ج.هـ .؛ ميتشل، إ. (2002)، "طريقة مجموعة مستوى الجسيمات الهجينة لتحسين التقاط الواجهة" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء الحاسوبية ، 183 (1): 83-116 ، رمز Bibcode : 2002JCoPh.183...83E ، CiteSeerX 10.1.1.15.910 ، doi : 10.1006/jcph.2002.7166 
  5. ↑ ديرفيو، أ.؛ توماسيه، ف. (1980). "طريقة العناصر المحدودة لمحاكاة عدم استقرار رايلي-تايلور". طرق التقريب لمسائل نافيير-ستوكس . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 771. سبرينغر. الصفحات 145-158 . doi : 10.1007/BFb0086904 . ISBN   978-3-540-38550-9.