طريقة حجم السائل

في ديناميكا الموائع الحسابية ، تُعدّ طريقة حجم المائع (VOF) مجموعة من تقنيات نمذجة السطح الحر ، أي تقنيات عددية لتتبع وتحديد موقع السطح الحر (أو واجهة المائع-المائع ). تنتمي هذه الطرق إلى فئة الطرق الأويلرية التي تتميز بشبكة إما ثابتة أو متحركة بطريقة محددة مسبقًا لتلائم الشكل المتغير للواجهة. وبذلك، تُعتبر طرق VOF مخططات نقل تُجسّد شكل وموقع الواجهة، ولكنها ليست خوارزميات مستقلة لحل معادلات التدفق. إذ يجب حل معادلات نافيير-ستوكس التي تصف حركة التدفق بشكل منفصل.

تعتمد طريقة حجم السائل على طرق العلامات والخلايا (MAC) السابقة ^{[ 1 ] [ 2 ]} التي طُوّرت في مختبر لوس ألاموس الوطني . استخدمت طريقة MAC جسيمات علامات لاغرانجية لتتبع توزيع السائل في شبكة أويلرية ثابتة. كان استخدام جسيمات العلامات مكلفًا حسابيًا لأنه يتطلب عددًا كبيرًا منها لكل خلية شبكية ، وذلك لتقليل التشويش العددي عند تحرك جسيمات العلامات المنفصلة عبر الخلايا الشبكية. كانت الفكرة الأصلية لطريقة حجم السائل هي استبدال جسيمات العلامات بمتغير عددي واحد لكل خلية شبكية يمثل نسبة حجم السائل فيها. وبالتالي، يُحكم حجم السائل بمعادلة الحمل. نشأت هذه الفكرة من دراسات لمسائل المخاليط ثنائية الطور (الماء والبخار) حيث كان من المعتاد استخدام متغير حجم البخار. ^{[ 3 ]} عُرض نهج حجم السائل لأول مرة في منشور عام 1975 بعنوان "طرق حساب تدفقات السطح الحر العابرة متعددة الأبعاد حول الأجسام" من تأليف نيكولز وهيرت. ^{[ 4 ]} وصف هذا المنشور كيفية نقل جزء السائل باستخدام مخطط مانح-مستقبل، وكيفية تقدير اتجاه وموقع السطح الحر داخل خلايا السطح، وكيفية تحديد شروط الحدود المناسبة (الاستمرارية وانعدام إجهاد القص ) على السطح الحر. كان هذا النهج أبسط بكثير من التقنيات الأخرى التي تتبع سطح السائل، ولكنه أكثر تنوعًا لأنه يمكنه نمذجة اندماج وانفصال مناطق السائل. في عام 1976، قدم نوه وودوارد ^{[ 5 ]} حساب واجهة الخط البسيط (SLIC)، وهي تقنية لتقريب واجهات السوائل بناءً على كسور الحجم، مصممة لمخطط نقل كسور الحجم ذي التقسيم الاتجاهي. يمكن لـ SLIC أيضًا التعامل مع عدد عشوائي من أطوار السوائل غير القابلة للامتزاج لكل خلية شبكية. وبالتالي، كان SLIC مناسبًا تمامًا لنهج VOF، على الرغم من أن الطريقتين كانتا مستقلتين في البداية وظلتا منفصلتين حتى التسعينيات. تم صياغة مصطلح "طريقة حجم السائل" واختصاره "VOF" في تقرير مختبر لوس ألاموس العلمي لعام 1980 بعنوان "SOLA-VOF: خوارزمية حل لتدفق السوائل العابر مع حدود حرة متعددة"، من قبل نيكولز وهيرت وهوتشكيس ^{[ 6 ]} وفي منشور مجلة "طريقة حجم السائل (VOF) لديناميكيات الحدود الحرة" من قبل هيرت ونيكولز في عام 1981. ^{[ 7 ]}قدّم هذان المنشوران تفاصيل إضافية حول الإجراءات المحددة المستخدمة لتقريب موضع السطح الحر (المُمثَّل محليًا بخط مائل في خلايا السطح) وتطبيق شروط حدود السطح الحر عليه. ونظرًا لأن طريقة VOF تفوّقت على طريقة MAC بتقليل متطلبات التخزين الحاسوبي، فقد لاقت رواجًا سريعًا. ومن التطبيقات المبكرة لبرنامج SOLA-VOF الذي طُوِّر في لوس ألاموس دراسات سلامة مفاعلات الماء الخفيف. ^{[ 8 ] [ 9 ]} كما اعتمدت وكالة ناسا نسخة معدلة من برنامج SOLA-VOF. ^{[ 10 ] [ 11 ]} وفي عام 1982، طوّر يونغز مخطط حساب الواجهة الخطية القطعية (PLIC)، ^{[ 12 ]} الذي حسّن دقة إعادة بناء الواجهة مقارنةً بطريقتي SLIC وVOF المبكرة. ^{[ 13 ]}

تعتمد هذه الطريقة على فكرة دالة الكسر${\displaystyle C}$هي دالة قياسية، تُعرَّف بأنها تكامل الدالة المميزة للسائل في حجم التحكم ، أي حجم خلية الشبكة الحسابية . يتم تتبع الكسر الحجمي لكل سائل عبر كل خلية في الشبكة الحسابية، بينما تشترك جميع السوائل في مجموعة واحدة من معادلات الزخم، أي معادلة واحدة لكل اتجاه مكاني. من منظور متوسط ​​حجم الخلية، عندما تكون الخلية خالية من الطور المُتتبَّع، فإن قيمة${\displaystyle C}$يساوي صفرًا؛ عندما تكون الخلية ممتلئة بالطور المُتتبَّع، ${\displaystyle C=1}$وعندما تحتوي الخلية على واجهة بين الأحجام المتعقبة وغير المتعقبة،${\displaystyle 0<C<1}$من منظور نقطة محلية لا تحتوي على حجم،${\displaystyle C}$هي دالة غير متصلة، إذ تقفز قيمتها من 0 إلى 1 عندما تنتقل النقطة المحلية من الطور غير المُتتبَّع إلى الطور المُتتبَّع. ويُحدد الاتجاه العمودي لسطح التماس بين المائع والسطح عندما تكون قيمة${\displaystyle C}$تتغير بسرعة كبيرة. باستخدام هذه الطريقة، لا يتم تحديد السطح الحر بدقة، بل يتم توزيعه على ارتفاع الخلية. لذلك، وللحصول على نتائج دقيقة، يجب إجراء تحسينات محلية للشبكة. معيار التحسين بسيط، وهو الخلايا التي${\displaystyle 0<C<1}$يجب تحسينها. وقد طور رعد وزملاؤه في عام 1997 طريقة لذلك، تُعرف باسم طريقة العلامات والخلايا الدقيقة. ^{[ 14 ]}

تطور${\displaystyle m}$السائل رقم - في نظام على${\displaystyle n}$تخضع السوائل لمعادلة النقل (وهي في الواقع نفس المعادلة التي يجب أن تحققها دالة المسافة في طريقة مجموعة المستويات).${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle {\frac {\partial C_{m}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla C_{m}=0,}$

مع مراعاة القيد التالي

${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}C_{m}=1}$،

أي أن حجم السوائل ثابت. بالنسبة لكل خلية، تكون خصائص مثل الكثافة${\displaystyle \rho }$يتم حسابها عن طريق متوسط ​​نسبة الحجم لجميع السوائل في الخلية

${\displaystyle \rho =\sum _{m=1}^{n}\rho _{m}C_{m}.}$

ثم تُستخدم هذه الخصائص لحل معادلة زخم واحدة عبر المجال، ويتم مشاركة مجال السرعة الذي تم الحصول عليه بين السوائل.

تتميز طريقة VOF بسهولة حسابها، إذ لا تُضيف سوى معادلة واحدة، وبالتالي تتطلب مساحة تخزين ضئيلة. كما تتميز هذه الطريقة بقدرتها على معالجة المسائل غير الخطية المعقدة التي تشهد تغيرات طوبولوجية حادة في السطح الحر. وباستخدام طريقة VOF، يُتجنب استخدام خوارزميات تشويه الشبكة المعقدة المستخدمة في طرق تتبع السطح. أما الصعوبة الرئيسية المرتبطة بهذه الطريقة فهي تشوه السطح الحر، وهي مشكلة تنشأ عن الانتشار المفرط لمعادلة النقل.

لتجنب تشويه السطح الحر، يجب حل معادلة النقل دون انتشار مفرط. وبالتالي، يعتمد نجاح طريقة حجم السائل (VOF) بشكل كبير على المخطط المستخدم لنقل ...${\displaystyle C}$أي مخطط يتم اختياره يجب أن يتعامل مع حقيقة أن${\displaystyle C}$غير متصلة، على عكس دالة المسافة مثلاً${\displaystyle \phi }$يُستخدم في طريقة مجموعة المستويات .

بينما يؤدي مخطط الانحدار العكسي من الدرجة الأولى إلى تشويه السطح الفاصل، فإن مخطط الانحدار العكسي من نفس الدرجة سيؤدي إلى مشكلة توزيع زائفة، مما يتسبب في سلوك غير منتظم في حالة عدم توجيه التدفق على طول خط الشبكة. ولأن هذه المخططات منخفضة الدرجة غير دقيقة، والمخططات عالية الدرجة غير مستقرة وتُحدث تذبذبات، فقد كان من الضروري تطوير مخططات تحافظ على حدة السطح الحر مع إنتاج ملامح رتيبة لـ${\displaystyle C}$[ ^{15 ]} على مر السنين، طُوِّرت العديد من الطرق المختلفة لمعالجة الحمل الحراري . في المقالة الأصلية ^حول حجم السائل (VOF) التي كتبها هيرت، استُخدم مخطط مانح-مستقبل . وشكّل هذا المخطط أساسًا لمخططات التفاضل المضغوط.

يمكن تقسيم الطرق المختلفة لمعالجة VOF تقريبًا إلى ثلاث فئات، وهي صياغة المانح والمستقبل ، ومخططات التفاضل من الدرجة الأعلى، وتقنيات الخط .

تقنيات إعادة البناء الهندسي

تتغلب تقنيات الخطوط على المشكلات المرتبطة بتقسيم معادلة النقل إلى أجزاء منفصلة، ​​وذلك بعدم تتبع السطح الفاصل في الخلية بشكل صريح. بدلاً من ذلك، يتم الحصول على توزيع المائع في الخلية والسطح الفاصل باستخدام توزيع الكسر الحجمي للخلايا المجاورة. تستخدم طريقة حساب السطح الفاصل الخطي البسيط (SLIC) التي وضعها نوه وودوارد عام 1976 ^{[ 5 ]} هندسة بسيطة لإعادة بناء السطح الفاصل. في كل خلية، يُقارب السطح الفاصل بخط موازٍ لأحد محاور الإحداثيات، مع افتراض تكوينات مختلفة للمائع للحركات الأفقية والرأسية على التوالي. ومن التقنيات الشائعة الاستخدام اليوم طريقة حساب السطح الفاصل الخطي القطعي التي وضعها يونغز ^{[ 20 ]} . تعتمد هذه الطريقة على فكرة إمكانية تمثيل السطح الفاصل كخط في الفضاء ^R² أو كمستوى في الفضاء R³ ^؛ وفي الحالة الأخيرة، يمكننا وصف السطح الفاصل كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {n} _{x}+\mathbf {n} _{y}+\mathbf {n} _{z}=\alpha ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {n} }$هو متجه عمودي على السطح الفاصل. تُحسب مركبات هذا المتجه العمودي، على سبيل المثال، باستخدام طريقة الفروق المحدودة أو دمجها مع تحسين المربعات الصغرى . الحد الحر${\displaystyle \alpha }$ثم يتم إيجادها (تحليليًا أو تقريبيًا) من خلال تطبيق قانون حفظ الكتلة داخل الخلية الحسابية. بمجرد تحديد وصف السطح البيني، تصبح معادلة الحمل الحراري لـ${\displaystyle C}$يتم حلها باستخدام تقنيات هندسية مثل إيجاد تدفق${\displaystyle C}$بين خلايا الشبكة، أو نقل نقاط نهاية الواجهة باستخدام قيم منفصلة لسرعة السائل.

في التدفقات ثنائية الطور، حيث تختلف خصائص الطورين اختلافًا كبيرًا، تتسبب الأخطاء في حساب قوة التوتر السطحي عند السطح الفاصل في ظهور تيارات زائفة عند السطح الفاصل، وذلك عند استخدام طرق التقاط الجبهة، مثل طريقة حجم السائل (VOF) وطريقة مجموعة المستويات (LS). ولتحسين حل هذه التدفقات، يلزم معالجة خاصة للحد من هذه التيارات الزائفة. وقد تناولت بعض الدراسات تحسين تتبع السطح الفاصل من خلال الجمع بين طريقة مجموعة المستويات وطرق حجم السائل، بينما ركزت دراسات أخرى على تحسين خوارزمية الحل العددي بإضافة حلقات تنعيم أو تحسين تقنيات حساب متوسط ​​الخصائص. ^{[ 21 ]}

يتضمن برنامج FLOW-3D ، الذي طورته شركة Flow Science، Inc. ، تقنية TruVOF®، وهي تطبيق خاص لنموذج VOF الأصلي أحادي السائل كما وصفه هيرت ونيكولز. ^{[ 22 ]}

• طريقة الحدود المغمورة
• طرق لاغرانجية أويلرية عشوائية
• طريقة تحديد المستوى
• صوت خرير الماء