مخطط الصندوق الكفافي

في مجال الرسوم البيانية الإحصائية والتصوير العلمي ، يُعد مخطط الصندوق الكفافي ^{[ 1 ]} أداة استكشافية مُقترحة لتصوير مجموعات من السمات المحددة بعتبة على دالة قياسية (مثل مجموعات المستويات ، وخطوط التساوي ). وعلى غرار مخطط الصندوق الكلاسيكي، ويُعتبر امتدادًا لمفاهيم مخطط الصندوق الوظيفي [ ^{2 ] [ 3 ]،} فإن الإحصاءات الوصفية لمخطط الصندوق الكفافي هي: غلاف المنطقة المركزية بنسبة 50%، ومنحنى الوسيط، وغلاف القيمة القصوى غير الشاذة ^.

لإنشاء مخطط الصندوق الكفافي، يُعد ترتيب البيانات الخطوة الأولى. في تحليل البيانات الوظيفية ، تُمثل كل مشاهدة دالة حقيقية، لذا يختلف ترتيب البيانات عن مخطط الصندوق التقليدي حيث تُرتب البيانات العددية ببساطة من أصغر قيمة عينة إلى أكبرها. وبشكل أعم، يُعطي عمق البيانات ترتيبًا من المركز إلى الخارج لنقاط البيانات، وبالتالي يوفر آلية لإنشاء إحصائيات رتب لأنواع مختلفة من البيانات متعددة الأبعاد. على سبيل المثال، يمكن ترتيب أمثلة البيانات الوظيفية باستخدام طريقة عمق النطاق أو عمق النطاق المُعدَّل. في تحليل البيانات الكفافية، تُمثل كل مشاهدة مجموعة سمات (مجموعة فرعية من المجال)، وبالتالي ليست دالة. ومن ثم، يتم توسيع مفهوم عمق النطاق وعمق النطاق المُعدَّل ليشمل السمات التي يمكن التعبير عنها كمجموعات ولكن ليس بالضرورة كدوال. يسمح عمق نطاق الكفاف بترتيب بيانات مجموعة السمات من المركز إلى الخارج، وبالتالي يُقدم مقياسًا لتحديد الكميات الوظيفية ومركزية أو شذوذ المشاهدة. بوجود رتب بيانات مجموعة الميزات، فإن مخطط الصندوق الكفافي هو امتداد طبيعي لمخطط الصندوق الكلاسيكي الذي يعود في حالات خاصة إلى مخطط الصندوق الوظيفي التقليدي.

عمق نطاق المجموعة (المُقدَّم في ^{[ 1 ]} )، ويُرمز له بـ sBD، هو طريقة لإنشاء ترتيب مركزي-خارجي لمجموعة من المجموعات. وكما هو الحال مع طرق عمق النطاق الأخرى، فإن عمق نطاق المجموعة يحسب احتمالية وجود عينة ما في النطاق المُشكَّل من j عينة _أخرى من التوزيع. نقول إن المجموعة S  ∈ E هي عنصر من نطاق مجموعة من j مجموعات أخرى S1 _، ...، Sj ∈ E إذا كانت محصورة باتحادها وتقاطعها. أي:     

${\displaystyle S\in sB(S_{1},\ldots ,S_{j})\Longleftrightarrow \bigcap _{k=1}^{j}S_{k}\subset S\subset \bigcup _{k=1}^{j}S_{k}.\,}$

عمق النطاق المحدد هو مجموع احتمالات التواجد في النطاقات التي تشكلها أعداد مختلفة من العينات (2،  ...، J ). 

${\displaystyle sBD_{J}(S)=\sum _{j=2}^{J}P\left[S\in sB(S_{1},\ldots ,S_{j}\right].}$

يُبين أن عمق نطاق المجموعة هو تعميم لعمق نطاق الدالة. ويتخذ عمق نطاق المجموعة شكلاً معدلاً مشتقاً من شكل مُخفف للمجموعة الجزئية، والذي يتطلب فقط نسبة مئوية من مجموعة ما ليتم تضمينها في مجموعة أخرى.

يُعدّ عمق نطاق الكفاف (cBD) تطبيقًا مباشرًا لعمق نطاق الكفاف القياسي (sBD)، حيث تُستخلص المجموعات من دوال الإدخال المُحدَّدة بعتبة، F ( x )  > q . وبهذه الطريقة، تُنتج مجموعة من دوال الإدخال العددية وقيمة العتبة مجموعة من الكفافات، ويُعطي فرز cBD ترتيبًا لعمق البيانات (من الأعلى إلى الأدنى احتمالًا يُعطي العمق من الأكبر إلى الأصغر) لتلك الكفافات. وبالاعتماد على صياغة المجموعة، تتجنب مخططات الصناديق الكفافية أي تطابق صريح بين النقاط على الكفافات المختلفة. 

في مخطط الصندوق الكلاسيكي، يُمثل الصندوق نفسه 50% من البيانات. وبما أن ترتيب البيانات في مخطط الصندوق الكفافي يكون من المركز إلى الخارج، فإن المنطقة المركزية التي تمثل 50% تُحدد بالنطاق الذي يفصل بين 50% من أعمق، أو أكثر المشاهدات مركزية. ويُحدد حد المنطقة المركزية التي تمثل 50% بالغلاف الذي يُمثل الصندوق في مخطط الصندوق الكلاسيكي. وبالتالي، فإن هذه المنطقة المركزية التي تمثل 50% تُشابه المدى الربيعي (IQR) وتُعطي مؤشرًا مفيدًا على مدى انتشار 50% من المنحنيات. ويُعد هذا نطاقًا قويًا للتفسير لأن المنطقة المركزية التي تمثل 50% لا تتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة، وتُعطي تصورًا أقل تحيزًا لانتشار المنحنيات. وتشير المشاهدة الموجودة في الصندوق إلى الوسيط ، أو المشاهدة الأكثر مركزية، وهو أيضًا مقياس إحصائي قوي لقياس المركزية.

تمثل "الشوارب" في مخطط الصندوق الخطوط الرأسية الممتدة من الصندوق، والتي تشير إلى أقصى حدود مجموعة البيانات باستثناء القيم الشاذة. في مخططات الصندوق الكفافية، يتم تحديد هذه الحدود بحساب الفرق بين اتحاد وتقاطع جميع العينات غير الشاذة. تُعرَّف القيم الشاذة بأنها تلك التي تقل قيمة cBD الخاصة بها عن مُضاعِف معين (أقل من واحد) مضروبًا في قيمة cBD للعينات المصنفة بنسبة 50%.

يُقدّم المثال التالي مجموعة بيانات من محاكاة ثنائية الأبعاد لموائع غير قابلة للانضغاط من نوع نافيير-ستوكس، تتألف من 40 عنصرًا، حيث يُمثّل كل عنصر محاكاة برقم رينولدز وسرعة دخول مُختارين عشوائيًا. تُسحب قيم سرعة الدخول عشوائيًا من توزيع طبيعي بمتوسط ​​1 وانحراف معياري ±0.01 (بوحدات غير بُعدية)؛ وبالمثل، تُولّد أرقام رينولدز من توزيع طبيعي بمتوسط ​​130 وانحراف معياري ±3.

• 
  مجموعة من الخطوط الكنتورية الناتجة عن قيم معلمات مختلفة لمحاكاة سائل ثنائي الأبعاد (تدفق حول أسطوانة، من اليسار إلى اليمين)
• 
  تُظهر مخططات الصندوق الكنتورية الوسيط، والإحصائيات الترتيبية، والقيم الشاذة (يتم عرضها على تصور خطي متكامل للتدفق).
• 
  إن حساب المتوسطات والانحراف المعياري ±1 للحقول يعطي نتائج غير صحيحة هندسيًا (تتسق مع عدم وجود محاكاة) ويسيء تقدير المواضع المحتملة للخطوط الكنتورية (التي تم عرضها على تصور تدفق التكامل الخطي ).

المثال أدناه مأخوذ من مجموعة بيانات متاحة للعموم من الإدارة الوطنية للمحيطات والغلاف الجوي (NOAA) [1]. تم تكوين هذه البيانات من خلال عمليات تشغيل مختلفة لنموذج محاكاة مع تعديلات متباينة على الشروط الابتدائية لمراعاة الأخطاء في هذه الشروط و/أو معلمات النموذج. تتكون المجموعة من خطوط تساوي درجة الحرارة (قيمة تساوي -15 درجة مئوية) عند ارتفاع 500 مليبار.

• 
  مجموعة من خطوط الكنتور المتساوية من موقع NOAA الإلكتروني، معروضة على شكل "مخطط سباغيتي".
• 
  تُظهر مخططات الصناديق الكنتورية لمجموعة بيانات الطقس الوسيط والإحصاءات الترتيبية والقيم الشاذة.
• 
  المتوسطات والانحراف المعياري ±1 لحقول درجة الحرارة المرتبطة بمجموعة التنبؤات الجوية التابعة للإدارة الوطنية للمحيطات والغلاف الجوي (NOAA).

• مخطط الصندوق
• مخطط الصندوق الوظيفي