التكامل الخطي والالتفاف

يؤدي التداخل الخطي المتكامل (LIC) إلى ترابط قوي بين قيم الخرج على طول خطوط المجال، بينما لا يوجد ترابط في الاتجاهات المتعامدة. ^{[ 1 ]} ونتيجة لذلك، تتباين خطوط المجال فيما بينها وتبرز بصريًا عن الخلفية.

يمكن فهم هذه العملية بشكل بديهي من خلال المثال التالي: يمكن تصور تدفق حقل متجهي بتراكب نمط ثابت وعشوائي من طلاء داكن وفاتح. عندما يمر التدفق بجانب الطلاء، يكتسب السائل جزءًا من لون الطلاء، ويمزجه مع اللون الذي اكتسبه سابقًا. والنتيجة هي نسيج مخطط وملطخ بشكل عشوائي، حيث تميل النقاط على طول نفس خط التدفق إلى امتلاك لون متشابه. ومن الأمثلة الفيزيائية الأخرى:

• أنماط دوامية من الطلاء أو الزيت أو الرغوة على النهر
• تصوير خطوط المجال المغناطيسي باستخدام برادة الحديد الموزعة عشوائياً
• الرمال الناعمة التي تحملها الرياح القوية ^{[ 5 ]}

على الرغم من أن حقل متجه الإدخال والصورة الناتجة يتم تقطيعهما إلى عناصر منفصلة، ​​إلا أنه من المفيد النظر إليهما من منظور متصل. ^{[ 1 ]} ليكن${\displaystyle \mathbf {v} }$ليكن حقل المتجهات المعطى في مجال ما$أوميغا$على الرغم من أن حقل متجه الإدخال يتم عادةً تقسيمه إلى أجزاء منفصلة، ​​فإننا نعتبر الحقل${\displaystyle \mathbf {v} }$كما هو محدد في كل نقطة من$أوميغا$أي أننا نفترض الاستيفاء . خطوط الانسياب، أو بشكل أعم خطوط المجال، تكون مماسية لحقل المتجهات عند كل نقطة. وتنتهي إما عند حدود$أوميغا$أو في النقاط الحرجة حيث${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$. ولتبسيط الأمور، تم تجاهل النقاط والحدود الحرجة فيما يلي.

خط الملعب${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$، يتم تحديدها بواسطة طول القوس${\displaystyle s}$، ويُعرَّف على أنه

$${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\sigma }}(s)}{ds}}={\frac {\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))}{|\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))|}}.}$$

يترك${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s)}$ليكن خط المجال الذي يمر عبر النقطة${\displaystyle \mathbf {r} }$ل${\displaystyle s=0}$ثم قيمة اللون الرمادي للصورة عند${\displaystyle \mathbf {r} }$تم ضبطه على

$${\displaystyle D(\mathbf {r} )=\int _{-L/2}^{L/2}k(s)N({\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s))ds}$$

أين${\displaystyle k(s)}$هي نواة الالتفاف ،${\displaystyle N(\mathbf {r} )}$هي صورة الضوضاء، و${\displaystyle L}$هو طول قطعة خط الملعب التي يتم اتباعها.

${\displaystyle D(\mathbf {r} )}$يجب حساب ذلك لكل بكسل في صورة LIC. وإذا تم تنفيذه بطريقة بدائية، فسيكون ذلك مكلفًا للغاية. أولًا، يجب حساب خطوط المجال باستخدام طريقة عددية لحل المعادلات التفاضلية العادية ، مثل طريقة رونج-كوتا ، ثم لكل بكسل يجب حساب الالتفاف على طول قطعة من خط المجال.

عادةً ما يتم تلوين الصورة النهائية بطريقة ما. عادةً، يتم استخدام حقل عددي في$أوميغا$(مثل طول المتجه) يستخدم لتحديد اللون، بينما يحدد ناتج LIC ذو التدرج الرمادي السطوع .

تُنتج الخيارات المختلفة لنوى الالتفاف والضوضاء العشوائية أنسجةً مختلفة؛ فعلى سبيل المثال، تُنتج الضوضاء الوردية نمطًا غائمًا تبرز فيه مناطق التدفق العالي على شكل تلطيخ، وهو مناسب لتصوير الطقس. ويمكن لمزيد من التحسينات في الالتفاف أن تُحسّن جودة الصورة. ^{[ 6 ]}

تعتمد خوارزمية LIC على حقل متجهي ونسيج ضوضاء كمدخلات، وتُخرج نسيجًا. تبدأ العملية بتوليد صورة رمادية عشوائية في نطاق الحقل المتجهي بدقة الإخراج المطلوبة. ثم، لكل بكسل في هذه الصورة، يتم حساب مسار التدفق الأمامي والخلفي بطول قوس ثابت . تُحسب القيمة المُخصصة للبكسل الحالي من خلال عملية التفاف بين نواة التفاف مناسبة ومستويات الرمادي لجميع بكسلات الضوضاء الواقعة على جزء من مسار التدفق هذا. ينتج عن ذلك صورة LIC رمادية.

صور LIC الأساسية هي صور رمادية، بدون ألوان أو رسوم متحركة. ورغم أنها تُظهر اتجاه متجهات المجال، إلا أنها لا تُشير إلى اتجاهه؛ وفي حالة المجالات الثابتة، يُمكن معالجة ذلك بالرسوم المتحركة. كما أن صور LIC الأساسية لا تُظهر طول المتجهات (أو قوة المجال).

يُرمز عادةً بطول المتجهات (أو قوة المجال) بالألوان؛ أو يمكن استخدام الرسوم المتحركة كبديل. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

يمكن تحريك صور LIC باستخدام نواة تتغير بمرور الوقت. ستظل العينات المأخوذة عند زمن ثابت من خط التدفق مستخدمة، ولكن بدلاً من حساب متوسط ​​جميع البكسلات في خط التدفق باستخدام نواة ثابتة، تُستخدم نواة متموجة مُنشأة من دالة دورية مضروبة في دالة هان تعمل كنافذة (لمنع التشوهات). ثم تُزاح الدالة الدورية على طول الدورة لإنشاء الحركة.

يمكن تسريع الحساب بشكل كبير عن طريق إعادة استخدام أجزاء من خطوط المجال المحسوبة مسبقًا، وتخصيصها لوظيفة صندوقية كنواة التفاف.${\displaystyle k(s)}$وتجنب العمليات الحسابية الزائدة أثناء عملية الالتفاف. ^{[ 1 ]} يمكن تعميم طريقة LIC السريعة الناتجة لتشمل نواة الالتفاف التي تكون متعددة الحدود عشوائية. ^{[ 7 ]}

لأن خوارزمية التكامل الخطي الموجه (LIC) لا تُشفّر اتجاه التدفق، فإنها لا تستطيع التمييز بين خطوط التدفق ذات الاتجاه نفسه ولكن المتعاكس. ^{[ 8 ]} تعالج خوارزمية التكامل الخطي الموجه (OLIC) هذه المشكلة باستخدام نواة غير متماثلة تشبه المنحدر ونسيج ضوضاء منخفض الكثافة. ^{[ 8 ]} تُعدّل النواة شدة الإشارة بشكل غير متماثل على طول خط التدفق، مما يُنتج أثرًا يُشفّر الاتجاه؛ ويمنع انخفاض كثافة نسيج الضوضاء تداخل الآثار المشوّهة، مما يُحسّن من وضوحها.

يُعدّ FROLIC (العرض السريع للتفاف التكامل الخطي الموجه) شكلاً معدلاً من أشكال OLIC، حيث يقوم بعرض كل مسار على شكل خطوات منفصلة بدلاً من عرضه كمسحة متصلة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

بالنسبة لحقول المتجهات المتغيرة مع الزمن (التدفق غير المستقر)، تم تصميم نسخة معدلة تُسمى Unsteady Flow LIC تحافظ على تماسك حركة التدفق. ^{[ 10 ]} وقد تم تقديم تطبيق تفاعلي لـ UFLIC قائم على وحدة معالجة الرسومات (GPU). ^{[ 11 ]}

بما أن حساب صورة LIC مكلف ولكنه متوازٍ بطبيعته، فقد تمت موازاة العملية ^{[ 12 ]} ، ومع توفر التطبيقات القائمة على وحدة معالجة الرسومات، أصبحت تفاعلية على أجهزة الكمبيوتر الشخصية.

لاحظ أن المجال$أوميغا$لا يشترط أن يكون المجال ثنائي الأبعاد: فالطريقة قابلة للتطبيق على المجالات ذات الأبعاد الأعلى باستخدام حقول الضوضاء متعددة الأبعاد. ومع ذلك، فإن تصوير نسيج LIC ذي الأبعاد الأعلى يمثل إشكالية؛ وإحدى الطرق هي استخدام الاستكشاف التفاعلي مع شرائح ثنائية الأبعاد يتم وضعها وتدويرها يدويًا.$أوميغا$ولا يشترط أن يكون السطح مستوياً أيضاً؛ إذ يمكن حساب نسيج LIC أيضاً للأسطح ثنائية الأبعاد ذات الأشكال العشوائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ^{[ 13 ]}