دالة هان

سُميت دالة هان نسبةً إلى عالم الأرصاد الجوية النمساوي يوليوس فون هان . وهي دالة نافذة تُستخدم لإجراء عملية تنعيم هان أو هانينج . ^{[ 1 ] [ 2 ]} الدالة، بطول${\displaystyle L}$والسعة${\displaystyle 1/L,}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$ ^{[ أ ]}

في معالجة الإشارات الرقمية ، يتم أخذ عينات من الدالة بشكل متناظر (بفواصل زمنية محددة).${\displaystyle L/N}$والسعة${\displaystyle 1}$) :

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(nN/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

وهو عبارة عن سلسلة من${\displaystyle N+1}$عينات، و${\displaystyle N}$يمكن أن يكون زوجيًا أو فرديًا. ويُعرف أيضًا باسم نافذة جيب التمام المرفوعة ، ومرشح هان ، ونافذة فون هان ، ونافذة هانينغ ، وما إلى ذلك. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تحويل فورييه لـ${\displaystyle w_{0}(x)}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$ ^{[ ب ]}

تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) لـ${\displaystyle N+1}$يتم تعريف التسلسل ذي الطول المزاح زمنيًا بواسطة متسلسلة فورييه ، والتي لها أيضًا مكافئ من 3 حدود يتم اشتقاقه بشكل مشابه لاشتقاق تحويل فورييه:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

التسلسل المقتطع${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$هي نافذة هان ذات تحويل فورييه المنفصل (DFT) الزوجية (أو الدورية ). بما أن قيمة العينة المقتطعة تساوي صفرًا، فمن الواضح من تعريف متسلسلة فورييه أن تحويلات فورييه المنفصلة المتقطعة (DTFT) متكافئة. مع ذلك، ينتج عن النهج المتبع أعلاه تعبير ثلاثي الحدود ذو مظهر مختلف تمامًا، ولكنه مكافئ.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

تقوم دالة النافذة بتحويل فورييه المنفصل ذي الطول N لأخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل عند الترددات${\displaystyle f=k/N,}$بالنسبة للقيم الصحيحة لـ${\displaystyle k.}$ من التعبير أعلاه مباشرةً، يتضح بسهولة أن 3 معاملات فقط من أصل N معاملًا في تحويل فورييه المنفصل (DFT) لا تساوي الصفر. ومن التعبير الآخر، يتضح أن جميعها ذات قيم حقيقية. هذه الخصائص جذابة للتطبيقات الآنية التي تتطلب تحويلات ذات نوافذ وتحويلات بدون نوافذ (ذات نوافذ مستطيلة)، لأن التحويلات ذات النوافذ يمكن اشتقاقها بكفاءة من التحويلات بدون نوافذ عن طريق الالتفاف . ^{[ 5 ] [ ج ] [ د ]}

سُميت هذه الدالة تكريمًا لفون هان، الذي استخدم تقنية التنعيم بالمتوسط ​​المرجح ثلاثي الحدود على البيانات المناخية. ^{[ 6 ] [ 2 ]} ومع ذلك، يُستخدم مصطلح دالة هانينغ أيضًا بشكل شائع، ^{[ 7 ]} وهو مشتق من الورقة البحثية التي استُخدم فيها مصطلح "تنعيم الإشارة" للدلالة على تطبيق نافذة هان عليها. ^{[ 4 ] [ 8 ]} وهي تختلف عن دالة هامينغ التي تحمل الاسم نفسه ، نسبةً إلى ريتشارد هامينغ .

• وظيفة النافذة
• التظليل
• توزيع جيب التمام المرفوع
• مرشح جيب التمام المرفوع

• دالة هان في عالم الرياضيات