دالة مستطيلة

يتم تعريف الدالة المستطيلة (المعروفة أيضًا باسم دالة المستطيل ، أو دالة المستطيل ، أو دالة باي ، أو دالة هيفيسايد باي ، أو دالة البوابة ^[1] ، أو النبضة الوحدوية ، أو دالة عربة النقل الطبيعية ) على أنها ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$$

التعريفات البديلة للوظيفة تحدد بأنها 0، ^[3] 1، ^{[4] [5]} أو غير محددة. ${\textstyle \operatorname {مستقيم} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

وتسمى نسختها الدورية بالموجة المستطيلة .

تم تقديم دالة المستطيل بواسطة Woodward [ 6 ^] في ^[7] كمشغل قطع مثالي ، جنبًا إلى جنب مع دالة sinc ^{[8] [9] كمشغل} استيفاء مثالي ، وعمليات العداد الخاصة بهم والتي هي أخذ العينات ( مشغل المشط ) والتكرار ( مشغل التكرار )، على التوالي.

الدالة المستطيلة هي حالة خاصة من دالة عربة النقل الأكثر عمومية :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {tX}{Y}}\right)=H(t-(XY/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(tXY/2)}$$

أين هي دالة خطوة هيفيسايد ؛ تتركز الدالة عند ولها مدة من إلى${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle XY/2}$${\displaystyle X+Y/2.}$

تحويلات فورييه الوحدوية للدالة المستطيلة هي ^[2] باستخدام التردد العادي f ، حيث هو الشكل الطبيعي ^[10] لدالة الجيب واستخدام التردد الزاوي ، حيث هو الشكل غير الطبيعي لدالة الجيب . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

بالنسبة لـ ، فإن تحويل فورييه الخاص به هو لاحظ أنه طالما أن تعريف دالة النبضة مدفوع فقط بسلوكها في تجربة المجال الزمني، فلا يوجد سبب للاعتقاد بأن التفسير التذبذبي (أي دالة تحويل فورييه) يجب أن يكون بديهيًا أو مفهومًا بشكل مباشر من قبل البشر. ومع ذلك، يمكن فهم بعض جوانب النتيجة النظرية بشكل بديهي، حيث تتوافق النهاية في المجال الزمني مع استجابة ترددية لا نهائية. (والعكس صحيح، فإن تحويل فورييه المحدود يتوافق مع استجابة لا نهائية في المجال الزمني.) ${\displaystyle \operatorname {مستطيل} (x/a)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

يمكننا تعريف الدالة المثلثية على أنها التفاف دالتين مستطيلتين:

$${\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,}$$

عند النظر إلى الدالة المستطيلة كدالة كثافة احتمالية ، فهي حالة خاصة للتوزيع المنتظم المستمر مع الدالة المميزة هي ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

ودالتها المولدة للعزم هي

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

أين دالة الجيب الزائدية ؟ ${\displaystyle \sinh(t)}$

يمكن أيضًا التعبير عن دالة النبض كحد لدالة نسبية :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

أولاً، نأخذ في الاعتبار الحالة التي لاحظ فيها أن المصطلح موجب دائمًا بالنسبة للأعداد الصحيحة، وبالتالي يقترب من الصفر بالنسبة للأعداد الكبيرة.${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$${\textstyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 2t<1}$${\textstyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n.}$

ومن ثم يترتب على ذلك: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

ثانيًا، نأخذ في الاعتبار الحالة التي لاحظ فيها أن المصطلح موجب دائمًا بالنسبة للأعداد الصحيحة، وبالتالي يصبح كبيرًا جدًا بالنسبة للأعداد الكبيرة.${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$${\textstyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 2t>1}$${\textstyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n.}$

ومن ثم يترتب على ذلك: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

ثالثًا، لننظر في الحالة التي يمكننا فيها ببساطة الاستبدال في معادلتنا: ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

نرى أنه يفي بتعريف دالة النبضة. لذلك،

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

يمكن استخدام دالة المستطيل لتمثيل دالة دلتا ديراك . ^[11] على وجه التحديد، بالنسبة للدالة ، يتم حساب متوسطها على العرض حول 0 في مجال الدالة على النحو التالي، ${\displaystyle \delta (x)}$$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ للحصول على الحد التالي يتم تطبيقه، ${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$ ويمكن كتابة ذلك من حيث دالة دلتا ديراك على النحو التالي: تحويل فورييه لدالة دلتا ديراك هو $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$ حيث أن دالة الجيب هنا هي دالة الجيب الطبيعية. ولأن الصفر الأول لدالة الجيب يقع عند ويتجه إلى ما لا نهاية، فإن تحويل فورييه لـ هو ${\displaystyle f=1/a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$ يعني أن طيف التردد لدالة دلتا ديراك واسع بشكل لا نهائي. فكلما قل زمن النبضة، زاد طيفها.

• تحويل فورييه
• موجة مربعة
• وظيفة الخطوة
• مرشح القبعة العلوية
• وظيفة عربة النقل