الدالة المثلثية

الدالة المثلثية (وتُعرف أيضًا بدالة المثلث ، أو دالة القبعة ، أو دالة الخيمة ) هي دالة يكون تمثيلها البياني على شكل مثلث. غالبًا ما يكون هذا المثلث متساوي الساقين ، ارتفاعه 1 وقاعدته 2، وفي هذه الحالة يُشار إليه بالدالة المثلثية. تُستخدم الدوال المثلثية في معالجة الإشارات وهندسة أنظمة الاتصالات كتمثيلات للإشارات المثالية، وتحديدًا كدالة نواة تحويل تكاملي يُمكن من خلالها اشتقاق إشارات أكثر واقعية، على سبيل المثال في تقدير كثافة النواة . كما تُستخدم في تعديل رمز النبضة كشكل نبضي لإرسال الإشارات الرقمية وكمرشح مطابق لاستقبالها. وتُستخدم أيضًا لتعريف النافذة المثلثية، والتي تُسمى أحيانًا نافذة بارتليت .

التعريف الأكثر شيوعًا هو أنه دالة متعددة الأجزاء: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

وبصورة مكافئة، يمكن تعريفها على أنها التفاف دالتين مستطيلتين متطابقتين :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا تمثيل الدالة المثلثية كحاصل ضرب دالتي القيمة المستطيلة والقيمة المطلقة :

$${\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.}$$

لاحظ أن بعض المؤلفين يعرفون دالة المثلث بأن لها قاعدة بعرض 1 بدلاً من عرض 2:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

في أكثر أشكالها عمومية، الدالة المثلثية هي أي دالة خطية من نوع B-spline : ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

بينما التعريف الموجود في الأعلى هو حالة خاصة

$${\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),}$$

أين${\displaystyle x_{j-1}=-1}$،${\displaystyle x_{j}=0}$، و${\displaystyle x_{j+1}=1}$.

الدالة الخطية B-spline هي نفسها الدالة الخطية المتصلة متعددة القطع${\displaystyle f(x)}$وهذه الدالة المثلثية العامة مفيدة لتعريفها بشكل رسمي${\displaystyle f(x)}$مثل

$${\displaystyle f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),}$$

أين${\displaystyle x_{j}<x_{j+1}}$لكل عدد صحيح${\displaystyle j}$تمر الدالة الخطية المجزأة بكل نقطة معبر عنها بإحداثيات ذات أزواج مرتبة${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$، إنه،

$${\displaystyle f(x_{j})=y_{j}.}$$

لأي معلمة${\displaystyle a\neq 0}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&={\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

يمكن تحديد التحويل بسهولة باستخدام خاصية الالتفاف لتحويلات فورييه وتحويل فورييه للدالة المستطيلة :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)}$هي دالة sinc المعيارية .

أما بالنسبة للشكل العام، فلدينا:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\}&={\mathcal {F}}\left\{{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)*{\tfrac {1}{\sqrt {a}}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {rect} \left({\tfrac {t}{a}}\right)\right\}^{2}\\&={\tfrac {1}{a}}\ {a}^{2}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f)={a}\ \mathrm {sinc} ^{2}(a\cdot f).\end{aligned}}}$$

• دالة كالين ، والمعروفة أيضاً باسم دالة المثلث
• خريطة الخيمة
• التوزيع المثلثي
• الموجة المثلثية ، دالة دورية خطية متقطعة
• الدوال المثلثية