خط الحقل

خطوط المجال هي وسيلة بصرية بيانية لتصوير الحقول المتجهة . تتكون من منحنى تكاملي وهمي مماس لمتجه المجال عند كل نقطة على طوله. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُعدّ رسم تخطيطي يُظهر مجموعة نموذجية من خطوط المجال المتجاورة طريقة شائعة لتصوير الحقل المتجه في الأدبيات العلمية والرياضية؛ ويُسمى هذا الرسم التخطيطي بمخطط خطوط المجال . تُستخدم هذه المخططات لعرض الحقول الكهربائية والمغناطيسية والجاذبية ، من بين أنواع أخرى كثيرة. في ميكانيكا الموائع ، تُسمى خطوط المجال التي تُظهر حقل سرعة تدفق المائع بخطوط الانسياب .

يُحدد حقل المتجهات اتجاهًا ومقدارًا عند كل نقطة في الفضاء. خط الحقل هو منحنى تكاملي لهذا الحقل، ويمكن إنشاؤه بالبدء من نقطة ورسم خط في الفضاء يتبع اتجاه حقل المتجهات، وذلك بجعل خط الحقل مماسًا لمتجه الحقل عند كل نقطة. ^{[ 3 ] [ 2 ] [ 1 ]} يُعرض خط الحقل عادةً كقطعة مستقيمة موجهة، مع رأس سهم يشير إلى اتجاه حقل المتجهات. بالنسبة للحقول ثنائية الأبعاد، تكون خطوط الحقل منحنيات مستوية؛ ولأن الرسم المستوي لمجموعة ثلاثية الأبعاد من خطوط الحقل قد يكون مُربكًا بصريًا، فإن معظم مخططات خطوط الحقل تكون من هذا النوع. بما أن حقل المتجهات له اتجاه فريد عند كل نقطة يكون فيها غير صفري ومحدودًا، فلا يمكن أن تتقاطع خطوط الحقل أبدًا، لذا يوجد خط حقل واحد فقط يمر عبر كل نقطة يكون فيها حقل المتجهات غير صفري ومحدودًا. ^{[ 3 ] [ 2 ]} النقاط التي يكون فيها المجال صفرًا أو لانهائيًا ليس لها خط مجال يمر بها، لأنه لا يمكن تحديد الاتجاه هناك، ولكن يمكن أن تكون نقاط نهاية خطوط المجال.

بما أن عدد النقاط في أي منطقة لا نهائي، فإنه يمكن رسم عدد لا نهائي من خطوط المجال؛ ولكن لا يمكن عرض سوى عدد محدود منها على مخطط خطوط المجال. لذا، فإن اختيار خطوط المجال المعروضة يعود إلى الشخص أو برنامج الحاسوب الذي يرسم المخطط، وقد يُصوَّر حقل متجه واحد بمجموعات مختلفة من خطوط المجال. يُعد مخطط خطوط المجال وصفًا غير مكتمل لحقل متجه، إذ لا يُقدم أي معلومات عن الحقل بين خطوط المجال المرسومة، ويحدد اختيار عدد الخطوط ونوعها مدى فائدة المعلومات التي يُقدمها المخطط.

يُظهر خط المجال الفردي اتجاه المجال المتجهي، وليس مقداره . ولتوضيح مقدار المجال، تُرسَم مخططات خطوط المجال بحيث يُمثل كل خط نفس كمية التدفق . عندئذٍ، تتناسب كثافة خطوط المجال (عدد خطوط المجال لكل وحدة مساحة عمودية) في أي موقع مع مقدار المجال المتجهي عند تلك النقطة. وتشير المناطق التي تتقارب فيها خطوط المجال المتجاورة (تقترب من بعضها) إلى أن المجال يزداد قوة في ذلك الاتجاه.

في الحقول المتجهة ذات التباعد غير الصفري ، تبدأ خطوط المجال من نقاط التباعد الموجب ( المصادر ) وتنتهي عند نقاط التباعد السالب ( المصارف )، أو تمتد إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، تبدأ خطوط المجال الكهربائي من الشحنات الكهربائية الموجبة وتنتهي عند الشحنات السالبة. أما في الحقول عديمة التباعد ( المجالات اللولبية )، كالمجالات المغناطيسية ، فلا توجد نقاط نهاية لخطوط المجال؛ فهي إما حلقات مغلقة أو ممتدة بلا نهاية. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في الفيزياء، تُعدّ رسومات خطوط المجال مفيدةً بشكلٍ أساسي في الحالات التي يكون فيها للمصادر والمصارف، إن وُجدت، معنىً فيزيائي، على عكس حالة مجال القوة التوافقي القطري ، على سبيل المثال. ينص قانون جاوس ، على سبيل المثال، على أن المجال الكهربائي له مصادر عند الشحنات الموجبة ، ومصارف عند الشحنات السالبة، ولا توجد له مصادر في أي مكان آخر، لذا تبدأ خطوط المجال الكهربائي من الشحنات الموجبة وتنتهي عند الشحنات السالبة. أما المجال الجاذبي، فليس له مصادر، وله مصارف عند الكتل، ولا توجد له مصارف في أي مكان آخر، إذ تنطلق خطوط المجال الجاذبي من اللانهاية وتنتهي عند الكتل. كذلك، لا يملك المجال المغناطيسي مصادر أو مصارف ( قانون جاوس للمغناطيسية )، لذا فإن خطوط مجاله ليس لها بداية أو نهاية: فهي لا تستطيع إلا أن تُشكّل حلقات مغلقة، أو تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين، أو تستمر إلى ما لا نهاية دون أن تتقاطع مع نفسها. مع ذلك، وكما ذُكر أعلاه، قد تحدث حالة خاصة حول النقاط التي يكون فيها المجال صفرًا (والتي لا يمكن أن تتقاطع مع خطوط المجال، لأن اتجاهها لن يكون مُحددًا)، حيث تحدث بداية ونهاية خطوط المجال في آنٍ واحد. يحدث هذا الوضع، على سبيل المثال، في المنتصف بين شحنتين كهربائيتين نقطيتين موجبتين متطابقتين. هناك، يتلاشى المجال وتنتهي الخطوط القادمة محوريًا من الشحنات. في الوقت نفسه، في المستوى العرضي المار بالنقطة الوسطى، يتباعد عدد لا نهائي من خطوط المجال شعاعيًا. ويحافظ التواجد المتزامن للخطوط التي تنتهي وتبدأ على خاصية عدم التباعد للمجال في تلك النقطة. ^{[ 5 ]}

لاحظ أنه في هذا النوع من الرسومات، حيث يُفترض أن تكون كثافة خطوط المجال متناسبة مع شدة المجال، من المهم تمثيل الأبعاد الثلاثة جميعها. على سبيل المثال، لنفترض وجود مجال كهربائي ناتج عن شحنة نقطية معزولة . في هذه الحالة، تكون خطوط المجال الكهربائي خطوطًا مستقيمة تنبعث من الشحنة بشكل منتظم في جميع الاتجاهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وهذا يعني أن كثافتها تتناسب مع${\displaystyle 1/r^{2}}$، وهي النتيجة الصحيحة المتوافقة مع قانون كولوم في هذه الحالة. مع ذلك، إذا رُسمت خطوط المجال الكهربائي لهذا الإعداد على مستوى ثنائي الأبعاد، فإن كثافتها ثنائية الأبعاد ستكون متناسبة مع${\displaystyle 1/r}$، وهي نتيجة غير صحيحة في هذه الحالة. ^{[ 6 ]}

بالنظر إلى حقل متجه${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ونقطة انطلاق${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$يمكن إنشاء خط المجال بشكل تكراري عن طريق إيجاد متجه المجال عند تلك النقطة${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})}$متجه الوحدة المماس عند تلك النقطة هو:${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}$عن طريق التحرك لمسافة قصيرة${\displaystyle ds}$على طول اتجاه الحقل، يمكن العثور على نقطة جديدة على الخط $${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{1}}=\mathbf {x} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{0}})|}ds}$$ ثم الملعب عند تلك النقطة${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{1}})}$تم العثور عليه ويتحرك لمسافة أبعد${\displaystyle ds}$في ذلك الاتجاه النقطة التالية${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{2}})}$يتم تحديد خط المجال. عند كل نقطة${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i}}}$يمكن إيجاد النقطة التالية بواسطة $${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{i+1}}=\mathbf {x} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {x} _{\text{i}})|}ds}$$ بتكرار هذه العملية وتوصيل النقاط، يمكن تمديد خط المجال إلى أي مسافة مطلوبة. هذا مجرد تقريب لخط المجال الفعلي، لأن كل قطعة مستقيمة لا تمس خط المجال فعليًا على طولها، بل فقط عند نقطة بدايتها. ولكن باستخدام قيمة صغيرة كافية لـ${\displaystyle ds}$باتخاذ عدد أكبر من الخطوات القصيرة، يمكن تقريب خط المجال بالدقة المطلوبة. ويمكن تمديد خط المجال في الاتجاه المعاكس لـ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{0}}}$عن طريق اتخاذ كل خطوة في الاتجاه المعاكس باستخدام خطوة سلبية${\displaystyle -ds}$.

إذا كان حقل المتجهات يصف حقل سرعة ، فإن خطوط المجال تتبع خطوط التدفق في الجريان. ولعلّ المثال الأكثر شيوعًا لحقل متجه يُوصف بخطوط المجال هو المجال المغناطيسي ، والذي غالبًا ما يُصوَّر باستخدام خطوط مجال منبعثة من مغناطيس .

خطوط المجال الكهربائي

إحدى الطرق الملائمة لرسم المجال الكهربائي، والتي تُجدي نفعًا حتى مع المجالات الكهربائية المعقدة، هي استخدام خطوط المجال . ^{[ 7 ]} في هذه الطريقة، يُعبَّر عن مقدار واتجاه المجال الكهربائي في منطقة ما بعدد من الخطوط المنحنية غير المتقاطعة التي تمتد عبر تلك المنطقة. وإذا رُسمت هذه الخطوط بشكل صحيح، فإن اتجاه المجال الكهربائي عند أي نقطة معينة يُحدد باتجاه الخطوط المجاورة، بينما يُحدد مقداره بكثافة خطوط المجال في تلك المنطقة.

لا تتقاطع خطوط المجال الكهربائي. تبدأ من الشحنة الموجبة (أو تمتد من اللانهاية) وتنتهي عند الشحنة السالبة (أو تمتد إلى اللانهاية). كما أن عدد خطوط المجال الصادرة من شحنة معينة يتناسب طرديًا مع تلك الشحنة. لا يمكن للمجالات الكهروستاتيكية أن تُشكّل حلقات مغلقة. (انظر الشكل للاطلاع على مثال لمخطط خطوط المجال الكهربائي المعقد المُعدّ لشحنة نقطية موجبة تُحدث شحنة كهربائية على أسطح ثلاثة موصلات مجاورة).

لا يمكن لخطوط المجال أن تمثل المجال الكهربائي في منطقة معينة إلا تمثيلاً تقريبياً. (يتطلب الأمر عددًا لا نهائيًا من خطوط المجال لتمثيل المجال الكهربائي تمثيلاً دقيقًا). ومع ذلك، فإن هذه المخططات مفيدة في توضيح كيفية تغير المجال الكهربائي في منطقة معينة.

خطوط المجال المغناطيسي

تصوير المجالات المغناطيسية

على اليسار: اتجاه خطوط المجال المغناطيسي ممثلة ببرادة حديدية منثورة على ورقة موضوعة فوق مغناطيس قضيب. على اليمين: تشير إبر البوصلة إلى اتجاه المجال المغناطيسي المحلي، نحو القطب الجنوبي للمغناطيس وبعيدًا عن قطبه الشمالي.

يمكن تمثيل المجال المغناطيسي بصريًا من خلال مجموعة من خطوط المجال المغناطيسي ، التي تتبع اتجاه المجال عند كل نقطة. يكون اتجاه المجال المغناطيسي عند أي نقطة موازيًا لاتجاه خطوط المجال المجاورة، ويمكن جعل الكثافة المحلية لخطوط المجال متناسبة مع شدته. تشبه خطوط المجال المغناطيسي خطوط الانسياب في تدفق الموائع ، حيث تمثل توزيعًا متصلًا، وتؤدي دقة مختلفة إلى إظهار عدد أكبر أو أقل من الخطوط.

تتمثل إحدى مزايا استخدام خطوط المجال المغناطيسي كتمثيل في إمكانية صياغة العديد من قوانين المغناطيسية (والكهرومغناطيسية) بشكل كامل وموجز باستخدام مفاهيم بسيطة مثل "عدد" خطوط المجال التي تمر عبر سطح ما. ويمكن بعد ذلك "ترجمة" هذه المفاهيم إلى صيغتها الرياضية. فعلى سبيل المثال، يمثل عدد خطوط المجال التي تمر عبر سطح معين التكامل السطحي للمجال المغناطيسي.

تُظهر ظواهر مختلفة خطوط المجال المغناطيسي كما لو كانت ظواهر فيزيائية. فعلى سبيل المثال، تُشكّل برادة الحديد الموضوعة في مجال مغناطيسي خطوطًا تُطابق "خطوط المجال". ^{[ 8 ]} كما تُعرض "خطوط" المجال المغناطيسي بصريًا في الشفق القطبي ، حيث تُنتج تفاعلات ثنائيات أقطاب جسيمات البلازما خطوطًا ضوئية مرئية تتماشى مع الاتجاه المحلي للمجال المغناطيسي للأرض.

يمكن استخدام خطوط المجال كأداة نوعية لتصور القوى المغناطيسية. في المواد المغناطيسية الحديدية كالحديد وفي البلازما، يمكن فهم القوى المغناطيسية بتخيل أن خطوط المجال تُمارس شدًا (كشريط مطاطي) على طولها، وضغطًا عموديًا على طولها على خطوط المجال المجاورة. تتجاذب أقطاب المغناطيس "المختلفة" لأنها مرتبطة بالعديد من خطوط المجال؛ بينما تتنافر الأقطاب "المتشابهة" لأن خطوط مجالها لا تتقاطع، بل تسير متوازية، دافعةً بعضها بعضًا.

يمكن استخدام خطوط المجال لتتبع الكميات المألوفة من حساب المتجهات :

• يمكن ملاحظة التباعد بسهولة من خلال خطوط المجال، بافتراض أن هذه الخطوط مرسومة بحيث تتناسب كثافتها مع شدة المجال (انظر أعلاه). في هذه الحالة، يمكن اعتبار التباعد بداية ونهاية خطوط المجال. إذا كان حقل المتجهات هو محصلة حقول شعاعية تخضع لقانون التربيع العكسي بالنسبة لمصدر واحد أو أكثر، فإن هذا يتوافق مع حقيقة أن تباعد هذا الحقل يساوي صفرًا خارج المصادر. في حقل متجه حلزوني (أي حقل متجه يكون فيه التباعد صفرًا في كل مكان)، لا تبدأ خطوط المجال ولا تنتهي؛ فهي إما تشكل حلقات مغلقة، أو تمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. إذا كان لحقل متجه تباعد موجب في منطقة ما، فستكون هناك خطوط مجال تبدأ من نقاط في تلك المنطقة. وإذا كان لحقل متجه تباعد سالب في منطقة ما، فستكون هناك خطوط مجال تنتهي عند نقاط في تلك المنطقة.
• تُبيّن نظرية كلفن -ستوكس أن خطوط المجال لحقل متجهي ذي دوران صفري (أي حقل متجهي محافظ ، مثل حقل الجاذبية أو الحقل الكهروستاتيكي ) لا يمكن أن تكون حلقات مغلقة. بعبارة أخرى، يكون الدوران موجودًا دائمًا عندما يُشكّل خط المجال حلقة مغلقة. وقد يكون موجودًا في حالات أخرى أيضًا، مثل الشكل الحلزوني لخطوط المجال.

على الرغم من أن خطوط المجال تُعدّ مجرد بناء رياضي، إلا أنها تكتسب دلالة فيزيائية في بعض الحالات. ففي ميكانيكا الموائع ، تمثل خطوط مجال السرعة ( خطوط الانسياب ) في التدفق المستقر مسارات جسيمات المائع. وفي سياق فيزياء البلازما ، تتفاعل الإلكترونات أو الأيونات الموجودة على نفس خط المجال بسهولة، بينما لا تتفاعل الجسيمات الموجودة على خطوط مجال مختلفة عمومًا.

تبدو برادة الحديد في الصورة وكأنها تصطف مع خطوط المجال المغناطيسي المنفصلة، ​​لكن الوضع أكثر تعقيدًا. يمكن تصوره بسهولة كعملية من مرحلتين: أولًا، تنتشر البرادة بالتساوي على المجال المغناطيسي، لكنها جميعًا مصطفة في اتجاه المجال. ثم، بناءً على حجم البرادة وخصائصها المغناطيسية الحديدية، فإنها تُخفف المجال على جانبيها، مما يُنشئ الفراغات الظاهرة بين الخطوط التي نراها. بالطبع، تحدث المرحلتان الموصوفتان هنا في وقت واحد حتى يتحقق التوازن. ولأن المغناطيسية الذاتية للبرادة تُعدّل المجال، فإن الخطوط التي تُظهرها البرادة ليست سوى تقريب لخطوط المجال المغناطيسي الأصلي. فالمجالات المغناطيسية متصلة، ولا تحتوي على خطوط منفصلة.

• مجال القوة (الفيزياء)
• خطوط الحقول لمجموعات جوليا
• الشعاع الخارجي - خطوط المجال لجهد دوادي-هوبارد لمجموعة ماندلبروت أو مجموعات جوليا المملوءة
• خط القوة
• حقل متجه
• التكامل الخطي والالتفاف

• تطبيق جافا تفاعلي يعرض خطوط المجال الكهربائي لأزواج مختارة من الشحنات. مؤرشف بتاريخ 13 أغسطس 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) بواسطة فولفغانغ باور.
• ملاحظات دورة "تصور الحقول والتباعد والالتفاف" من دورة في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.