موتر ماكسويل للإجهاد

في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، يُعرف موتر ماكسويل للإجهاد (نسبةً إلى جيمس كلارك ماكسويل ) بأنه موتر الإجهاد لحقل كهرومغناطيسي . ويُعطى في تدوين مؤشر الموتر بالصيغة التالية:

$// _{ج}}$

أين${\displaystyle \epsilon _{0}}$هو الثابت الكهربائي ،${\displaystyle \mu _{0}}$الثابت المغناطيسي ، E المجال الكهربائي ، B المجال المغناطيسي ، و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دالة كرونكر دلتا . في النظام الغاوسي ، تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$

حيث H هو المجال المغناطيسي .${\displaystyle E^{2}}$إلخ هو مربع مقدار المجال، على الرغم من أن هذا غير قياسي قليلاً في تدوين الموتر.

العناصر${\displaystyle ij}$وحدات القوة لكل وحدة مساحة (ضغط سالب)، تشير إلى القوة الموازية لـ${\displaystyle i}$المحور th الذي يعاني منه سطح عمودي على${\displaystyle j}$المحور لكل وحدة مساحة. وعلى هذا النحو، تعطي العناصر القطرية الشد المؤثر على المستوى العمودي على المحور المقابل، وتمثل العناصر غير القطرية إجهاد القص في المستوى.

إذا عبرنا عن ذلك باستخدام ترميز المتجهات/الثنائيات، فسيكون لدينا:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} - {\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {أنا} \يمين]}$

أين${\displaystyle \otimes }$هو حاصل الضرب الثنائي ، والموتر الأخير هو الموتر الثنائي الوحدوي:

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} }$

في الصيغة النسبية للكهرومغناطيسية، تظهر المكونات التسعة لموتر ماكسويل للإجهاد، معكوسة، كمكونات لموتر الإجهاد-الطاقة الكهرومغناطيسي ، وهو المكون الكهرومغناطيسي لموتر الإجهاد-الطاقة الكلي . يصف هذا الأخير كثافة وتدفق الطاقة والزخم في الزمكان.

يُعرّف الاشتقاق التالي موتر ماكسويل للإجهاد من خلال تقديمه لتوضيح كيفية نشوء القوى الكهرومغناطيسية للجسم من المجالات الكهربائية والمغناطيسية. وللحصول على شرح أكثر مباشرة لكيفية وصف الموتر للإجهاد (في غياب قوى الجسم)، يُرجى مراجعة المقالة المنشورة على الإنترنت بقلم جيه إس ريد ^{[ 1 ]} .

كما هو موضح أدناه، تُكتب القوة الكهرومغناطيسية بدلالة${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$باستخدام حساب المتجهات ومعادلات ماكسويل ، يتم البحث عن التناظر في الحدود التي تحتوي على${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$، وإدخال موتر إجهاد ماكسويل يبسط النتيجة.

يتبع الاشتقاق غريفيثس ^{[ 2 ]} وينطبق في حالة الفراغ.

معادلات ماكسويل بوحدات النظام الدولي للوحدات في الفراغ (للمرجعية)

اسم	الصيغة التفاضلية
قانون جاوس (في الفراغ)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
قانون جاوس للمغناطيسية	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {B} =0}$
معادلة ماكسويل-فاراداي (قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
قانون أمبير الدائري (في الفراغ) (مع تصحيح ماكسويل)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla}}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

إذا كان المجال مغناطيسيًا فقط (وهو ما ينطبق إلى حد كبير على المحركات، على سبيل المثال)، فإن بعض الحدود تُحذف، وتصبح المعادلة في وحدات النظام الدولي للوحدات كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

في علم الكهرباء الساكنة، لا توجد تأثيرات مغناطيسية. في هذه الحالة، يختفي المجال المغناطيسي، أي${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$وبذلك نحصل على موتر إجهاد ماكسويل الكهروستاتيكي . ويُعطى في صورة مركباته كما يلي:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

وبشكل رمزي بواسطة

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هو موتر الهوية المناسب${\displaystyle {\big (}}$عادة${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$.

تُعطى القيم الذاتية لموتر إجهاد ماكسويل بالصيغة التالية:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

يتم الحصول على هذه القيم الذاتية من خلال تطبيق ليمّا محدد المصفوفة بشكل متكرر ، بالاقتران مع صيغة شيرمان-موريسون .

مع ملاحظة أن مصفوفة المعادلة المميزة،${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$، ويمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

أين

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

لقد حددنا

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

بتطبيق مبرهنة محدد المصفوفة مرة واحدة، نحصل على

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

بتطبيقها مرة أخرى، ينتج عن ذلك،

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

من المضروب الأخير في الطرف الأيمن، نرى على الفور أن${\displaystyle \lambda =-V}$هي إحدى القيم الذاتية.

لإيجاد معكوس${\displaystyle \mathbf {U} }$نستخدم صيغة شيرمان-موريسون:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

استبعاد عامل${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$بعد تحديد الحد في المحدد، يتبقى لنا إيجاد أصفار الدالة الكسرية:

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

وبالتالي، بمجرد أن نحل المشكلة

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

نحصل على القيمتين الذاتيتين الأخريين.

• موتر الطاقة والإجهاد الكهرومغناطيسي
• كثافة الطاقة للمجالات الكهربائية والمغناطيسية
• الضغط المغناطيسي
• التوتر المغناطيسي
• متجه الإشارة

• جون ديفيد جاكسون، "الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، الطبعة الثالثة"، جون وايلي وأولاده، 1999. نص قياسي للديناميكا الكهربائية.
• ريتشارد بيكر، "المجالات الكهرومغناطيسية والتفاعلات"، منشورات دوفر، 1964