دالة على شكل جرس

الدالة الجرسية، أو ببساطة "منحنى الجرس"، هي دالة رياضية تتميز بمنحنى على شكل جرس . عادةً ما تكون هذه الدوال متصلة أو سلسة، وتقترب من الصفر تقاربياً عند قيم x الكبيرة السالبة/الموجبة، ولها قيمة عظمى واحدة أحادية النمط عند قيم x الصغيرة. لذا، فإن تكامل الدالة الجرسية يكون عادةً دالة سيجمويد . كما أن الدوال الجرسية غالباً ما تكون متناظرة.

العديد من دوال توزيع الاحتمالات الشائعة هي منحنيات الجرس.

يمكن استخدام بعض الدوال ذات الشكل الجرس، مثل دالة غاوس وتوزيع كوشي الاحتمالي ، لإنشاء متواليات من الدوال ذات التباين المتناقص التي تقترب من توزيع ديراك دلتا . ^{[ 1 ]} في الواقع، يمكن اعتبار ديراك دلتا تقريبًا منحنى جرس بتباين يؤول إلى الصفر.

ومن الأمثلة على ذلك:

• دالة غاوس ، هي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي . وهي الدالة النموذجية على شكل جرس، وكثيراً ما تُصادف في الطبيعة كنتيجة لنظرية النهاية المركزية .

${\displaystyle f(x)=ae^{-(xb)^{2}/(2c^{2})}}$

• دالة العضوية المعممة على شكل جرس في المنطق الضبابي ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+\left|{\frac {xc}{a}}\right|^{2b}}}}$

• القاطع الزائدي . وهو أيضاً مشتق دالة غودرمان .

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} (x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$

• دالة كثافة الاحتمال لتوزيع كوشي ، والمعروفة باسم "ساحرة أغنيسي" ، هي أيضاً نسخة مُقاسة من مشتقة دالة الظل العكسي .

${\displaystyle f(x)={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

• وظيفة التضخيم

${\displaystyle \varphi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b,\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}$

• أنواع جيب التمام المرفوع مثل توزيع جيب التمام المرفوع أو مرشح جيب التمام المرفوع

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\text{لـ }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\[3pt]0&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}$

• معظم وظائف النافذة تشبه نافذة كايزر

• مشتقة الدالة اللوجستية . هذه نسخة مُقاسة من مشتقة دالة الظل الزائدي .

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}}}$

• بعض الدوال الجبرية . على سبيل المثال

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x^{2})^{3/2}}}}$

• بعض الدوال اللوغاريتمية . على سبيل المثال

${\displaystyle f(x)=\log {\frac {x^{2}+e}{x^{2}+1}}.}$

• 
  sech( x ) (باللون الأزرق)
• 
  ساحرة أغنيسي
• 
  φ _b لـ b = 1
• 
  دالة جيب التمام المرفوعة (ملف PDF)
• 
  نافذة كايزر