الدالة اللوجستية

تتمتع الدالة اللوجستية بخاصية التناظر التي

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

وهذا يعكس أن النمو من الصفر عندما${\displaystyle x}$صغيرة ومتناظرة مع انحلال الفجوة إلى الحد (1) عندما${\displaystyle x}$كبير.

إضافي،${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$هي دالة فردية .

مجموع الدالة اللوجستية وانعكاسها حول المحور الرأسي،${\displaystyle f(-x)}$، يكون

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

وبالتالي فإن الدالة اللوجستية متناظرة دورانياً حول النقطة (0،  1/2). ^{[ 11 ]}

الدالة اللوجستية هي معكوس دالة اللوجيت الطبيعية

$${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{ for }}\,0<p<1}$$

وبالتالي يحول لوغاريتم الاحتمالات إلى احتمال .

كما أن التحويل من نسبة الاحتمالية اللوغاريتمية لبديلين يأخذ شكل منحنى لوجستي.

الدالة اللوجستية هي دالة ظل زائدية مُزاحة ومُقاسة : $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$ أو $${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

ويتبع ذلك من $$\displaystyle \begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}\\&=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

تؤدي العلاقة بين دالة الظل الزائدي إلى شكل آخر لمشتقة الدالة اللوجستية:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

وهذا يربط الدالة اللوجستية بالتوزيع اللوجستي .

هندسياً، دالة الظل الزائدي هي الزاوية الزائدية على القطع الزائد الواحدي${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$، وهو ما يعتبر عاملاً${\displaystyle (x+y)(xy)=1}$وبالتالي، فإن الخطوط المارة بنقطة الأصل لها خطوط تقارب ذات ميل ⁠${\displaystyle -1}$وبميل​​${\displaystyle 1}$، والرأس عند${\displaystyle (1,0)}$بما يتوافق مع المدى ونقطة المنتصف (${\displaystyle {1}}$) من tanh. وبالمثل، يمكن اعتبار الدالة اللوجستية بمثابة الزاوية الزائدية على القطع الزائد${\displaystyle xy-y^{2}=1}$، وهو ما يعتبر عاملاً${\displaystyle y(xy)=1}$وبالتالي، فإن الخطوط المارة بنقطة الأصل لها خطوط تقارب ذات ميل ⁠${\displaystyle 0}$وبميل​​${\displaystyle 1}$، والرأس عند${\displaystyle (2,1)}$، بما يتوافق مع المدى ونقطة المنتصف (${\displaystyle 1/2}$) للدالة اللوجستية.

بشكل بارامتري، تعطي دالة الجيب الزائدي ودالة الجيب الزائدي إحداثيات على القطع الزائد الواحدي: ^{[ d ]}${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$، حيث يمثل ناتج القسمة الظل الزائدي. وبالمثل،${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$يُحدد معلمات القطع الزائد${\displaystyle xy-y^{2}=1}$، حيث يمثل ناتج القسمة الدالة اللوجستية. وتتوافق هذه مع التحويلات الخطية (وإعادة قياس المعلمات) للقطع الزائد${\displaystyle xy=1}$، مع تحديد المعلمات${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$: تتوافق معلمات القطع الزائد للدالة اللوجستية مع${\displaystyle t/2}$والتحويل الخطي${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$بينما تتوافق معلمات القطع الزائد الواحدي (للظل الزائدي) مع التحويل الخطي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$.

تتميز الدالة اللوجستية القياسية بمشتقة يسهل حسابها . وتُعرف هذه المشتقة باسم كثافة التوزيع اللوجستي .

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\cdot {\frac {1}{1+e^{x}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\[1.2ex]&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$ومنها يمكن اشتقاق جميع المشتقات العليا جبريًا. على سبيل المثال،${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$.

التوزيع اللوجستي هو عائلة من التوزيعات المكانية-المقياسية ، والتي تتوافق مع معلمات الدالة اللوجستية. إذا${\displaystyle L=1}$إذا تم تثبيت ، فإن نقطة المنتصف${\displaystyle x_{0}}$الموقع والميل​${\displaystyle k}$⁠ هو المقياس.

وعلى العكس من ذلك، يمكن حساب مشتقته الأصلية عن طريق الاستبدال${\displaystyle u=1+e^{x}}$، منذ

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

لذا (بحذف ثابت التكامل )

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

في الشبكات العصبية الاصطناعية ، يُعرف هذا باسم دالة softplus وهي (مع التحجيم) تقريب سلس لدالة ramp ، تمامًا كما أن الدالة اللوجستية (مع التحجيم) هي تقريب سلس لدالة Heaviside step .

الدالة اللوجستية القياسية تحليلية على خط الأعداد الحقيقية بأكمله لأن${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$،${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}=h(g(x))}$أين${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$،${\displaystyle g(x)=1+e^{-x}}$و${\displaystyle h:(0,\infty )\to (0,\infty )}$،${\displaystyle h(x)={\frac {1}{x}}}$ تكون الدوال التحليلية على نطاقاتها، وتركيب الدوال التحليلية يكون تحليليًا أيضًا.

صيغة المشتقة النونية للدالة اللوجستية القياسية هي

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}}$$

لذلك فإن سلسلة تايلور هي النقطة الأساسية${\displaystyle a}$يكون

$${\displaystyle f(x)=f(a)(x-a)+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}.}$$

الدالة اللوجستية القياسية الفريدة هي حل لمعادلة تفاضلية عادية بسيطة من الدرجة الأولى غير خطية

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

مع شرط حدودي${\displaystyle f(0)=1/2}$هذه المعادلة هي الصيغة المتصلة للدالة اللوجستية . لاحظ أن الدالة اللوجستية المقلوبة هي حل لمعادلة تفاضلية خطية عادية بسيطة من الدرجة الأولى . ^{[ 12 ]}

يمكن فهم السلوك النوعي بسهولة من خلال خط الطور : المشتقة تساوي صفرًا عندما تكون الدالة تساوي واحدًا؛ والمشتقة موجبة عندما تكون الدالة تساوي واحدًا.${\displaystyle f}$بين 0 و1، وسالب لـ${\displaystyle f}$أعلى من 1 أو أقل من 0 (مع أن القيم السالبة لا تتوافق عمومًا مع النموذج الفيزيائي). ينتج عن ذلك توازن غير مستقر عند 0 وتوازن مستقر عند 1، وبالتالي، لأي قيمة للدالة أكبر من 0 وأقل من 1، فإنها تقترب من 1.

المعادلة اللوجستية هي حالة خاصة من معادلة برنولي التفاضلية ولها الحل التالي:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

اختيار ثابت التكامل${\displaystyle C=1}$ويعطي الشكل الآخر المعروف لتعريف المنحنى اللوجستي:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

وبشكل أكثر كمية، كما يتضح من الحل التحليلي، فإن المنحنى اللوجستي يُظهر نموًا أسيًا مبكرًا للوسيط السالب، والذي يصل إلى نمو خطي بميل 1/4 لوسيط قريب من 0، ثم يقترب من 1 بفجوة تتناقص أسيًا.

المعادلة التفاضلية المشتقة أعلاه هي حالة خاصة من معادلة تفاضلية عامة لا تمثل إلا الدالة السينية لـ${\displaystyle x>0}$في العديد من تطبيقات النمذجة، يكون الشكل الأكثر عمومية$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{L}}f(x){\big (}L-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {L}{1+e^{kx_{0}}}}}$$ قد يكون ذلك مرغوبًا فيه. حله هو دالة سيجمويد المُزاحة والمُقاسة${\displaystyle L\sigma {\big (}k(x-x_{0}){\big )}={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$.

يُعدّ نموذج النمو السكاني (انظر أيضًا: ديناميكيات السكان ) أحد التطبيقات الشائعة للمعادلة اللوجستية ، والتي وضعها بيير فرانسوا فيرهولست عام 1838، حيث يتناسب معدل التكاثر طرديًا مع كلٍّ من عدد السكان الحالي وكمية الموارد المتاحة، مع ثبات العوامل الأخرى. نُشرت معادلة فيرهولست بعد أن قرأ فيرهولست كتاب توماس مالتوس " مقال في مبدأ السكان" ، الذي يصف نموذج مالتوس للنمو الأسي البسيط (غير المقيد). اشتقّ فيرهولست معادلته اللوجستية لوصف النمو الذاتي المحدود للسكان البيولوجيين . أُعيد اكتشاف المعادلة عام 1911 على يد أ. ج. ماكيندريك لنمو البكتيريا في المرق، واختُبرت تجريبيًا باستخدام تقنية لتقدير المعلمات غير الخطية. ^{[ 13 ]} تُعرف هذه المعادلة أحيانًا باسم معادلة فيرهولست-بيرل، نسبةً إلى إعادة اكتشافها عام 1920 على يد ريموند بيرل (1879-1940) ولويل ريد (1888-1966) من جامعة جونز هوبكنز . ^{[ 14 ]} وقد اشتق عالم آخر، هو ألفريد ج. لوتكا، المعادلة مرة أخرى عام 1925، وأطلق عليها اسم قانون النمو السكاني .

تأجير${\displaystyle P}$يمثل حجم السكان (${\displaystyle N}$(غالباً ما يُستخدم في علم البيئة بدلاً من ذلك) و${\displaystyle t}$يمثل هذا النموذج الزمن، ويتم صياغته رسميًا بواسطة المعادلة التفاضلية :

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

حيث الثابت${\displaystyle r}$يحدد معدل النمو و${\displaystyle K}$هي القدرة الاستيعابية .

في المعادلة، يتم تمثيل معدل النمو المبكر وغير المعاق بالحد الأول${\displaystyle +rP}$قيمة المعدل${\displaystyle r}$يمثل الزيادة النسبية للسكان${\displaystyle P}$في وحدة زمنية واحدة. لاحقًا، مع نمو عدد السكان، يصبح معيار الحد الثاني (الذي عند ضربه في 1) هو${\displaystyle -rP^{2}/K}$يصبح حجمه تقريبًا بحجم الأول، حيث يصبح بعض أفراد السكان${\displaystyle P}$تتداخل هذه الكائنات مع بعضها البعض من خلال التنافس على بعض الموارد الحيوية، مثل الغذاء أو مساحة المعيشة. يُطلق على هذا التأثير التنافسي اسم عنق الزجاجة ، ويتم نمذجته بقيمة المعامل${\displaystyle K}$تؤدي المنافسة إلى تقليص معدل النمو الإجمالي، حتى تصبح قيمة${\displaystyle P}$يتوقف النمو (وهذا ما يُسمى بنضج السكان). حل المعادلة (مع${\displaystyle P_{0}}$(كونها السكان الأوليين) هو

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

أين

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

أين${\displaystyle K}$هي القيمة الحدية لـ${\displaystyle P}$، وهي أعلى قيمة يمكن أن يصل إليها عدد السكان في ظل وقت غير محدود (أو يقتربون من الوصول إليها في وقت محدود). يتم الوصول إلى القدرة الاستيعابية بشكل تقاربي بغض النظر عن القيمة الأولية.${\displaystyle P(0)>0}$وكذلك في حالة أن${\displaystyle P(0)>K}$.

في علم البيئة، يُشار أحيانًا إلى الأنواع باسم${\displaystyle r}$-مخطط استراتيجي أو${\displaystyle K}$يعتمد الاستراتيجيون على العمليات الانتقائية التي شكلت استراتيجيات تاريخ حياتهم . اختيار الأبعاد المتغيرة بحيث${\displaystyle n}$يقيس عدد السكان بوحدات القدرة الاستيعابية، و${\displaystyle \tau }$يقيس الوقت بوحدات${\displaystyle 1/r}$، مما يعطي المعادلة التفاضلية عديمة الأبعاد

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

تُستخدم الدوال اللوجستية في عدة أدوار في الإحصاء. على سبيل المثال، هي دالة التوزيع التراكمي لعائلة التوزيعات اللوجستية ، وتُستخدم، بشكل مبسط، لنمذجة احتمالية فوز لاعب الشطرنج على خصمه في نظام تصنيف إيلو . وفيما يلي أمثلة أكثر تحديدًا.

يُستخدم المنحنى اللوجستي أيضًا في الطب، حيث يمكن استخدام المعادلة التفاضلية اللوجستية لنمذجة نمو الأورام . ويمكن اعتبار هذا التطبيق امتدادًا للاستخدام المذكور أعلاه في مجال علم البيئة (انظر أيضًا المنحنى اللوجستي المعمم ، الذي يسمح بمزيد من المعاملات).${\displaystyle X(t)}$حجم الورم في ذلك الوقت${\displaystyle t}$وتخضع ديناميكياتها لـ

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

وهو من النوع

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

أين${\displaystyle F(X)}$هو معدل تكاثر الورم.

إذا بدأ العلاج الكيميائي بتأثير لوغاريتمي قاتل، فقد يتم تعديل المعادلة لتصبح

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

أين${\displaystyle c(t)}$هو معدل الوفيات الناجمة عن العلاج. في الحالة المثالية للعلاج طويل الأمد للغاية،${\displaystyle c(t)}$يمكن نمذجتها كدالة دورية (ذات دورة)${\displaystyle T}$) أو (في حالة العلاج بالتسريب المستمر) كدالة ثابتة ، ويكون لدينا ذلك

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

أي إذا كان متوسط ​​معدل الوفيات الناجمة عن العلاج أعلى من معدل التكاثر الأساسي، فهذا يعني القضاء على المرض. بالطبع، هذا نموذج مبسط للغاية لكل من النمو والعلاج. على سبيل المثال، لا يأخذ في الحسبان تطور المقاومة الخلوية، أو الآثار الجانبية للعلاج على المريض. قد تؤدي هذه العوامل في النهاية إلى فشل العلاج الكيميائي، أو إيقافه.

ينتشر العامل الممرض المعدي الجديد، الذي لا يمتلك السكان مناعة ضده، بشكل متسارع في المراحل المبكرة، طالما أن عدد الأفراد المعرضين للإصابة كبير. وقد أظهر فيروس SARS-CoV-2 المسبب لمرض كوفيد-19 نموًا متسارعًا في بداية انتشاره في العديد من البلدان مطلع عام 2020. ^{[ 19 ]} وقد تؤدي عوامل، منها نقص الأفراد المعرضين للإصابة (نتيجة استمرار انتشار العدوى حتى تجاوز عتبة مناعة القطيع )، أو انخفاض إمكانية الوصول إلى الأفراد المعرضين للإصابة من خلال تدابير التباعد الجسدي، إلى تحول منحنيات الوباء، التي تبدو متسارعة، إلى منحنيات خطية أولًا (مما يعكس التحول من المنحنى اللوغاريتمي إلى المنحنى اللوجستي الذي لاحظه بيير فرانسوا فيرهولست ، كما ذُكر سابقًا)، ثم تصل إلى حد أقصى. ^{[ 20 ]}

تُستخدم الدالة اللوجستية، أو الدوال المشابهة (مثل دالة جومبيرتز )، عادةً بطريقة وصفية أو ظاهراتية لأنها تُناسب تمامًا ليس فقط الارتفاع الأسي المبكر، بل أيضًا الاستقرار التدريجي للوباء مع اكتساب السكان مناعة القطيع. وهذا على عكس النماذج الحالية للأوبئة التي تحاول صياغة وصف قائم على ديناميكيات الوباء (مثل معدلات الاتصال، وفترات الحضانة، والتباعد الاجتماعي، وما إلى ذلك). ومع ذلك، فقد طُوّرت بعض النماذج البسيطة التي تُقدّم حلًا لوجستيًا. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

نمذجة حالات الإصابة المبكرة بفيروس كوفيد-19

تم تطبيق دالة لوجستية معممة ، تُعرف أيضًا بمنحنى ريتشاردز للنمو، لنمذجة المرحلة المبكرة من تفشي جائحة كوفيد-19 . ^{[ 24 ]} قام الباحثون بملاءمة الدالة اللوجستية المعممة مع العدد التراكمي للحالات المصابة، والذي يُشار إليه هنا بمسار العدوى . توجد في الأدبيات العلمية عدة نماذج لدالة لوجستية معممة ، ومن أكثرها شيوعًا:

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{{\left[1+\xi \exp \left(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\right)\right]}^{1/\xi }}}}$$

أين${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$هي أعداد حقيقية، و${\displaystyle \xi }$هو عدد حقيقي موجب. مرونة المنحنى${\displaystyle f}$ويرجع ذلك إلى المعلمة${\displaystyle \xi }$(أ) إذا${\displaystyle \xi =1}$ثم يختزل المنحنى إلى الدالة اللوجستية، و(ii) عندما${\displaystyle \xi }$عندما تقترب قيمة من الصفر، يتقارب المنحنى مع دالة جومبيرتز . في النمذجة الوبائية،${\displaystyle \theta _{1}}$،${\displaystyle \theta _{2}}$، و${\displaystyle \theta _{3}}$تمثل هذه القيم حجم الوباء النهائي، ومعدل العدوى، وفترة الكمون، على التوالي. انظر إلى اللوحة اليمنى للاطلاع على مثال لمسار العدوى عندما${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$تم ضبطه على${\displaystyle (10000,0.2,40)}$.

إحدى فوائد استخدام دالة النمو مثل الدالة اللوجستية المعممة في النمذجة الوبائية هي سهولة تطبيقها نسبياً على إطار النموذج متعدد المستويات ، حيث يمكن تجميع المعلومات من مناطق جغرافية مختلفة معاً.

يتبع تركيز المتفاعلات والنواتج في التفاعلات التحفيزية الذاتية دالة التوزيع اللوجستي. ويتبع تحلل محفز تفاعل اختزال الأكسجين (ORR) الخالي من معادن مجموعة البلاتين (PGM-free) في مهابط خلايا الوقود دالة التحلل اللوجستي، ^{[ 25 ]} مما يشير إلى آلية تحلل تحفيزي ذاتي.

تحدد الدالة اللوجستية التوزيع الإحصائي للفيرميونات على مستويات الطاقة لنظام في حالة توازن حراري . وعلى وجه الخصوص، فهي تمثل توزيع احتمالات شغل كل مستوى طاقة ممكن بواسطة فيرميون، وفقًا لإحصاءات فيرمي-ديراك .

تُستخدم الدالة اللوجستية أيضًا في مجال البصريات، لا سيما في نمذجة ظواهر مثل السراب . في ظل ظروف معينة، كوجود تدرج في درجة الحرارة أو التركيز نتيجة الانتشار والتوازن مع الجاذبية، قد تظهر سلوكيات المنحنى اللوجستي. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

يمكن نمذجة السراب، الناتج عن تدرج حراري يُعدّل معامل الانكسار المرتبط بكثافة/تركيز المادة على امتداد المسافة، باستخدام سائل ذي تدرج في معامل الانكسار ناتج عن تدرج التركيز. يمكن مساواة هذه الآلية بنموذج نمو سكاني محدود، حيث تحاول المنطقة ذات التركيز العالي الانتشار إلى المنطقة ذات التركيز المنخفض، سعيًا لتحقيق التوازن مع الجاذبية، مما ينتج عنه منحنى دالة لوجستية. ^{[ 26 ]}

انظر إلى الترابط الانتشارى .

في علم اللغة، يمكن استخدام الدالة اللوجستية لنمذجة التغير اللغوي : ^{[ 28 ]} يبدأ الابتكار الذي يكون هامشيًا في البداية في الانتشار بسرعة أكبر مع مرور الوقت، ثم ببطء أكبر مع ازدياد اعتماده عالميًا.

يمكن استخدام منحنى S اللوجستي لنمذجة استجابة المحاصيل للتغيرات في عوامل النمو. يوجد نوعان من دوال الاستجابة: منحنيات النمو الموجبة والسالبة . على سبيل المثال، قد يزداد محصول المحاصيل مع ازدياد قيمة عامل النمو حتى مستوى معين (دالة موجبة)، أو قد ينخفض ​​مع ازدياد قيم عامل النمو (دالة سالبة نتيجة لعامل نمو سالب)، وهو ما يتطلب منحنى S مقلوبًا .

نموذج منحنى S لمحصول المحاصيل مقابل عمق مستوى المياه الجوفية ^{[ 29 ]}

نموذج منحنى S المقلوب لمحصول المحاصيل مقابل ملوحة التربة ^{[ 30 ]}

يمكن استخدام الدالة اللوجستية لتوضيح تقدم انتشار الابتكار خلال دورة حياته.

في كتابه "قوانين المحاكاة " (1890)، يصف غابرييل تارد نشأة الأفكار الجديدة وانتشارها عبر سلاسل المحاكاة. ويحدد تارد على وجه الخصوص ثلاث مراحل رئيسية تنتشر من خلالها الابتكارات: الأولى تُقابل البدايات الصعبة، حيث يتعين على الفكرة أن تكافح في بيئة معادية مليئة بالعادات والمعتقدات المتعارضة؛ والثانية تُقابل الانطلاقة الأسية الحقيقية للفكرة، مع${\displaystyle f(x)=2^{x}}$وأخيرًا، المرحلة الثالثة هي المرحلة اللوغاريتمية، مع${\displaystyle f(x)=\log(x)}$ويتزامن ذلك مع الوقت الذي تتباطأ فيه قوة الفكرة تدريجياً، بينما تظهر في الوقت نفسه أفكار منافسة جديدة. ويؤدي الوضع الناتج إلى توقف أو استقرار تقدم الابتكار، الذي يقترب من نقطة تقارب.

في الدولة ذات السيادة ، يجوز للوحدات دون الوطنية (الولايات أو المدن المكونة لها) استخدام القروض لتمويل مشاريعها. إلا أن هذا المصدر التمويلي يخضع عادةً لقواعد قانونية صارمة، فضلاً عن قيود ندرة الموارد الاقتصادية ، لا سيما الموارد التي يمكن للبنوك إقراضها (بسبب حقوق الملكية أو حدود بازل ). هذه القيود، التي تمثل مستوى تشبع، إلى جانب التنافس الاقتصادي المحموم على المال، تخلق انتشارًا واسعًا لطلبات الائتمان في المالية العامة ، وتكون الاستجابة الوطنية الإجمالية على شكل منحنى سيجمويد . ^{[ 31 ]}

تاريخياً، عند طرح منتجات جديدة، يُجرى قدر كبير من البحث والتطوير، مما يؤدي إلى تحسينات جذرية في الجودة وتخفيضات كبيرة في التكلفة. وهذا بدوره يُفضي إلى فترة من النمو السريع للصناعة. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك: السكك الحديدية، والمصابيح المتوهجة، والكهرباء ، والسيارات، والسفر الجوي. وفي نهاية المطاف، تُستنفد فرص التحسين الجذري وخفض التكاليف، ويصبح المنتج أو العملية شائع الاستخدام مع قلة العملاء المحتملين الجدد، فتُصبح الأسواق مُشبعة.

استُخدم التحليل اللوجستي في أبحاثٍ لعددٍ من الباحثين في المعهد الدولي لتحليل النظم التطبيقية ( IIASA ). تناولت هذه الأبحاث انتشار الابتكارات المختلفة، والبنى التحتية، وبدائل مصادر الطاقة، ودور العمل في الاقتصاد، بالإضافة إلى الدورة الاقتصادية الطويلة. وقد درس روبرت آيرز (1989) الدورات الاقتصادية الطويلة. ^{[ 32 ]} كما نشر سيزار ماركيتي أبحاثًا حول الدورات الاقتصادية الطويلة وانتشار الابتكارات. ^{[ 33 ] [ 34 ]} ويُقدّم كتاب أرنولف غروبلر (1990) وصفًا مُفصّلًا لانتشار البنى التحتية، بما في ذلك القنوات والسكك الحديدية والطرق السريعة وشركات الطيران، مُبيّنًا أن انتشارها يتبع منحنيات لوجستية الشكل. ^{[ 35 ]}

استخدمت كارلوتا بيريز منحنى لوجستيًا لتوضيح دورة الأعمال الطويلة ( كوندراتيف ) بالعلامات التالية: بداية العصر التكنولوجي كثورة ، والصعود كهوس ، والتوسع السريع كتكامل ، والاكتمال كنضج . ^{[ 36 ]}

تتسم نماذج الانحدار اللوجستي للنمو بدرجة عالية من عدم اليقين عندما لا تتوفر البيانات إلا حتى نقطة الانعطاف في عملية النمو. في ظل هذه الظروف، قد يكون تقدير الارتفاع الذي ستحدث عنده نقطة الانعطاف مصحوبًا بدرجة من عدم اليقين تُضاهي القدرة الاستيعابية (K) للنظام.

تتمثل إحدى طرق التخفيف من هذا الغموض في استخدام القدرة الاستيعابية من عملية نمو لوجستي بديلة كنقطة مرجعية. ^{[ 37 ]} وبإدراج هذا القيد، حتى لو كانت قيمة K مجرد تقدير ضمن عامل اثنين، فإن الانحدار يستقر، مما يحسن الدقة ويقلل من عدم اليقين في معلمات التنبؤ. يمكن تطبيق هذا النهج في مجالات مثل الاقتصاد وعلم الأحياء، حيث تتوفر أنظمة أو مجموعات سكانية بديلة مماثلة لإثراء التحليل.

ابتكر لينك ^{[ 38 ]} امتدادًا لنظرية والد للتحليل التتابعي ليشمل تراكمًا غير مقيد بالتوزيع للمتغيرات العشوائية حتى يتم الوصول إلى حد موجب أو سالب أو تجاوزه. ويستنتج لينك ^{[ 39 ]} احتمال الوصول إلى الحد الموجب أو تجاوزه أولًا على النحو التالي:${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$الدالة اللوجستية. هذا هو أول برهان على أن الدالة اللوجستية قد تستند إلى عملية عشوائية. يقدم الرابط ^{[ 40 ]} أمثلةً من قرنٍ من النتائج التجريبية "اللوجستية"، وعلاقةً مُستحدثةً بين هذا الاحتمال وزمن الامتصاص عند الحدود.