إحصائيات فيرمي-ديراك

انطلاقًا من توزيع فيرمي-ديراك للجسيمات على الحالات، يمكن إيجاد توزيع الجسيمات على الطاقة. ^{[ ملاحظة 3 ]} متوسط ​​عدد الفرميونات ذات الطاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$يمكن إيجادها بضرب توزيع فيرمي-ديراك${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$بسبب الانحطاط${\displaystyle g_{i}}$(أي عدد الحالات التي تحتوي على طاقة)${\displaystyle \varepsilon _{i}}$), ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$$

متى${\displaystyle g_{i}\geq 2}$من الممكن أن${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$بما أن هناك أكثر من حالة واحدة يمكن أن تشغلها الفرميونات ذات الطاقة نفسها${\displaystyle \varepsilon _{i}}$.

عندما يكون هناك شبه استمرارية للطاقات${\displaystyle \varepsilon }$له كثافة حالات مرتبطة به${\displaystyle g(\varepsilon )}$(أي عدد الحالات لكل وحدة نطاق طاقة لكل وحدة حجم ^{[ 20 ]} )، متوسط ​​عدد الفرميونات لكل وحدة نطاق طاقة لكل وحدة حجم هو

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$$

أين${\displaystyle F(\varepsilon )}$تُسمى هذه الدالة دالة فيرمي ، وهي نفس الدالة المستخدمة لتوزيع فيرمي-ديراك.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$[ ^{21 ]​}

$${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

يمكن اشتقاق توزيع فيرمي-ديراك، الذي ينطبق فقط على نظام كمومي من الفرميونات غير المتفاعلة، بسهولة من المجموعة الكبرى الكنسية . ^{[ 24 ]} في هذه المجموعة، يكون النظام قادرًا على تبادل الطاقة وتبادل الجسيمات مع خزان (درجة الحرارة T والجهد الكيميائي μ مثبتان بواسطة الخزان).

بسبب خاصية عدم التفاعل، يُشكّل كل مستوى جسيم منفرد متاح (بمستوى طاقة ϵ ) نظامًا ديناميكيًا حراريًا منفصلاً متصلًا بالخزان. بعبارة أخرى، يُعدّ كل مستوى جسيم منفرد مجموعةً كبرى كانونية صغيرة منفصلة. وفقًا لمبدأ استبعاد باولي، لا توجد سوى حالتين مجهريتين محتملتين لمستوى الجسيم المنفرد: إما عدم وجود جسيم (الطاقة E = 0)، أو وجود جسيم واحد (الطاقة E = ε ). وبالتالي، فإن دالة التوزيع الناتجة لهذا المستوى من الجسيم المنفرد تتكون من حدّين فقط: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$$ ويُعطى متوسط ​​عدد الجسيمات لحالة المستوى الفرعي للجسيم الواحد بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$$ تنطبق هذه النتيجة على كل مستوى من مستويات الجسيمات المفردة، وبالتالي تعطي توزيع فيرمي-ديراك لحالة النظام بأكملها. ^{[ 24 ]}

يمكن أيضًا استنتاج التباين في عدد الجسيمات (بسبب التقلبات الحرارية ) (يخضع عدد الجسيمات لتوزيع برنولي بسيط ): $${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$$

تُعد هذه الكمية مهمة في ظواهر النقل مثل علاقات موت للتوصيل الكهربائي ومعامل التأثير الكهروحراري لغاز الإلكترونات ، ^{[ 25 ]} حيث تتناسب قدرة مستوى الطاقة على المساهمة في ظواهر النقل مع${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$.

من الممكن أيضًا اشتقاق إحصائيات فيرمي-ديراك في المجموعة الكنسية . لنفترض نظامًا متعدد الجسيمات يتكون من N فرميونًا متطابقًا ذات تفاعل متبادل ضئيل وفي حالة توازن حراري. ^{[ 15 ]} نظرًا لوجود تفاعل ضئيل بين الفرميونات، فإن الطاقة${\displaystyle E_{R}}$ولاية${\displaystyle R}$يمكن التعبير عن طاقة النظام متعدد الجسيمات كمجموع طاقات الجسيمات المفردة:

$${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r},}$$

أين${\displaystyle n_{r}}$يُطلق عليه اسم عدد الإشغال وهو عدد الجسيمات في حالة الجسيم الواحد${\displaystyle r}$مع الطاقة${\displaystyle \varepsilon _{r}}$يشمل الجمع جميع حالات الجسيمات المفردة الممكنة${\displaystyle r}$.

احتمالية وجود نظام الجسيمات المتعددة في الحالة${\displaystyle R}$يتم إعطاؤها بواسطة التوزيع الكنسي المعياري : ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}},}$$

أين${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$،${\displaystyle e^{-\beta E_{R}}}$يُطلق عليه عامل بولتزمان ، ويتم الجمع على جميع الحالات الممكنة${\displaystyle R'}$لنظام الجسيمات المتعددة. القيمة المتوسطة لعدد الإشغال${\displaystyle n_{i}}$هو ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\sum _{R}n_{i}P_{R}.}$$

لاحظ أن الدولة${\displaystyle R}$يمكن تحديد خصائص النظام متعدد الجسيمات من خلال شغل الجسيمات لحالات الجسيمات المفردة، أي عن طريق تحديد${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,}$لهذا السبب.

$${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta (n_{1}'\varepsilon _{1}+n_{2}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$$

والمعادلة لـ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$يصبح

$$\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}P_{n_{1},n_{2},\dots }\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}},\end{aligned}}}$$

حيث يكون الجمع على جميع تركيبات قيم${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$والتي تخضع لمبدأ استبعاد باولي، و${\displaystyle n_{r}=0}$= 0 أو${\displaystyle 1}$لكل${\displaystyle r}$علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة من قيم${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$يفي بالشرط القائل بأن العدد الإجمالي للجسيمات هو${\displaystyle N}$:

$${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$$

بإعادة ترتيب المجاميع،

$$\displaystyle \bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon (1+n2\varepsilon2+\cdots)}}},}$$

حيث المؤشر العلوي${\displaystyle (i)}$يشير وجود علامة الجمع إلى أن المجموع لم ينتهِ بعد.${\displaystyle n_{i}}$ويخضع ذلك للشرط القائل بأن العدد الإجمالي للجسيمات المرتبطة بالجمع هو${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$. لاحظ أن${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$لا يزال الأمر يعتمد على${\displaystyle n_{i}}$من خلال${\displaystyle N_{i}}$القيد، لأنه في حالة واحدة${\displaystyle n_{i}=0}$و${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$يتم تقييمها باستخدام${\displaystyle N_{i}=N,}$أما في الحالة الأخرى${\displaystyle n_{i}=1,}$و${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$يتم تقييمها باستخدام${\displaystyle N_{i}=N-1.}$لتبسيط الترميز ولتوضيح ذلك بشكل واضح${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$لا يزال الأمر يعتمد على${\displaystyle n_{i}}$خلال${\displaystyle N-n_{i},}$يُعرِّف

$${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )},}$$

بحيث يكون التعبير السابق لـ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$يمكن إعادة كتابتها وتقييمها من حيث${\displaystyle Z_{i}}$:

$$\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}}\\&={\frac {0+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}}\\&={\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\,e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}.\end{aligned}}}$$

سيتم استخدام التقريب التالي ^{[ 27 ]} لإيجاد تعبير يتم استبداله بـ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}.}$

إذا كان عدد الجسيمات${\displaystyle N}$كبير بما يكفي بحيث يكون التغير في الجهد الكيميائي${\displaystyle \mu }$تكون صغيرة جدًا عند إضافة جسيم إلى النظام، ثم${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\text{B}}T.}$^{[ 28 ]} بتطبيق الدالة الأسية على كلا الطرفين، والتعويض عن${\displaystyle \alpha _{i}}$وإعادة الترتيب،

$${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\text{B}}T}.}$$

بإدخال ما سبق في المعادلة لـ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$وباستخدام تعريف سابق لـ${\displaystyle \beta }$للاستبدال${\displaystyle 1/k_{\text{B}}T}$ل${\displaystyle \beta }$، ينتج عنه توزيع فيرمي-ديراك:

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

كما هو الحال مع توزيع ماكسويل-بولتزمان وتوزيع بوز-أينشتاين ، يمكن أيضًا اشتقاق توزيع فيرمي-ديراك باستخدام طريقة داروين-فاولر للقيم المتوسطة. ^{[ 29 ]}

يمكن تحقيق النتيجة من خلال التحليل المباشر لتعددية النظام واستخدام مضاعفات لاغرانج . ^{[ 30 ]}

لنفترض أن لدينا عددًا من مستويات الطاقة، مُرقمة بالرمز i ، _حيث يمتلك كل مستوى طاقة _εi ويحتوي على ni جسيمًا. ولنفترض أن كل مستوى يحتوي على _gi مستويات فرعية متميزة، جميعها لها نفس الطاقة، ويمكن تمييزها. على سبيل المثال، قد يمتلك جسيمان زخمًا مختلفًا (أي قد يكون زخمهما في اتجاهين مختلفين)، وفي هذه الحالة يمكن تمييزهما عن بعضهما البعض، ومع ذلك يمكن أن يمتلكا نفس الطاقة. تُسمى قيمة _gi المرتبطة بالمستوى i "انحلال" ذلك المستوى الطاقي. ينص مبدأ استبعاد باولي على أنه لا يمكن إلا لفيرميون واحد أن يشغل أي مستوى فرعي من هذا القبيل.

_يُعطى عدد طرق توزيع n _جسيمًا غير قابلة للتمييز بين g مستويات فرعية لمستوى طاقة، بحد أقصى جسيم واحد لكل مستوى فرعي، بواسطة معامل ذي الحدين ، باستخدام تفسيره التوافقي : $${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

على سبيل المثال، توزيع جسيمين في ثلاثة مستويات فرعية سيعطي أعداد السكان 110 أو 101 أو 011 بإجمالي ثلاث طرق وهو ما يساوي  3!/(2!1!).

عدد الطرق التي يمكن بها تحقيق مجموعة من أرقام الإشغال n _i هو ناتج عدد الطرق التي يمكن بها شغل كل مستوى طاقة فردي:

$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

باتباع الإجراء نفسه المُستخدم في اشتقاق إحصائيات ماكسويل-بولتزمان ، نرغب في إيجاد مجموعة قيم _nᵢ التي تُحقق أقصى قيمة لـ W ، مع مراعاة شرط ثبات عدد الجسيمات والطاقة. ونُقيد حلنا باستخدام مُضاعفات لاغرانج التي تُشكل الدالة التالية:

$${\displaystyle f(n_{i})=\ln W+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$$

باستخدام تقريب ستيرلينغ للمضروب، وأخذ المشتقة بالنسبة إلى n _i ، ووضع النتيجة على الصفر، وحل المعادلة لإيجاد n _i، نحصل على أعداد سكان فيرمي-ديراك:

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$$

من خلال عملية مماثلة لتلك الموضحة في مقالة إحصاءات ماكسويل-بولتزمان ، يمكن إثبات ذلك من الناحية الديناميكية الحرارية.${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\text{B}}T}}}$و${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$وبالتالي، فإن احتمال احتلال دولة ما هو

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$