مستوى فيرمي

إذا استُخدم الرمز ℰ للدلالة على مستوى طاقة الإلكترون المقاس بالنسبة لطاقة حافة نطاقه المحيط، ϵ _C ، فإننا بشكل عام لدينا${\textstyle {\text{ℰ}}=\varepsilon -\varepsilon _{\rm {C}}.}$يمكننا تعريف المعامل ζ ^{[ 9 ]} الذي يشير إلى مستوى فيرمي بالنسبة لحافة النطاق:$${\displaystyle \zeta =\mu -\epsilon _{\rm {C}}.}$$وبناءً على ذلك، يمكن كتابة دالة توزيع فيرمي-ديراك على النحو التالي:$${\displaystyle f({\mathcal {E}})={\frac {1}{e^{({\mathcal {E}}-\zeta )/k_{\mathrm {B} }T}+1}}.}$$طُوِّرت نظرية نطاقات الطاقة في المعادن مبدئيًا على يد سومرفيلد، بدءًا من عام ١٩٢٧، حيث ركّز على الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية الأساسية . ومن المثير للارتباك، أنه في بعض السياقات، قد يُطلق على الكمية المرجعية للنطاق ζ اسم مستوى فيرمي ، أو الكمون الكيميائي ، أو الكمون الكهروكيميائي ، مما يؤدي إلى غموض مع مستوى فيرمي المرجعي العالمي. في هذه المقالة، يُستخدم مصطلحا مستوى فيرمي المرجعي لنطاق التوصيل أو الكمون الكيميائي الداخلي للإشارة إلى ζ .

يرتبط معامل ζ ارتباطًا مباشرًا بعدد حاملات الشحنة النشطة وطاقتها الحركية النموذجية، وبالتالي فهو يؤثر بشكل مباشر في تحديد الخصائص الموضعية للمادة (مثل التوصيل الكهربائي ). لهذا السبب، من الشائع التركيز على قيمة ζ عند دراسة خصائص الإلكترونات في مادة موصلة متجانسة واحدة. قياسًا على حالات طاقة الإلكترون الحر، فإن ℰ لحالة ما هي طاقتها الحركية، _و ϵC هي طاقتها الكامنة . بناءً على ذلك، يمكن تسمية المعامل ζ أيضًا بطاقة فيرمي الحركية .

على عكس μ ، فإن المعامل ζ ليس ثابتًا عند الاتزان، بل يتغير من موقع لآخر في المادة نتيجةً لتغيرات ϵC _، التي تتحدد بعوامل مثل جودة المادة والشوائب/المواد المضافة. بالقرب من سطح أشباه الموصلات أو أشباه المعادن، يمكن التحكم في ζ بشكل كبير بواسطة المجالات الكهربائية الخارجية، كما هو الحال في ترانزستور تأثير المجال . في المواد متعددة النطاقات، قد يأخذ ζ قيمًا متعددة في الموقع الواحد. على سبيل المثال، في قطعة من الألومنيوم، يوجد نطاقان للتوصيل يعبران مستوى فيرمي (وعدد أكبر من النطاقات في مواد أخرى)؛ ^{[ 10 ]} لكل نطاق طاقة حافة مختلفة، ϵC _{، وقيمة} ζ مختلفة .

تُعرف قيمة ζ عند درجة حرارة الصفر المطلق على نطاق واسع باسم طاقة فيرمي ، وتُكتب أحيانًا ζ₀ _. ومن المثير للارتباك (مرة أخرى)، أن اسم طاقة فيرمي يُستخدم أحيانًا للإشارة إلى ζ عند درجة حرارة غير الصفر المطلق.

يُستخدم مصطلح مستوى فيرمي بشكل أساسي عند مناقشة فيزياء الحالة الصلبة للإلكترونات في أشباه الموصلات ، ويُعدّ الاستخدام الدقيق لهذا المصطلح ضروريًا لوصف مخططات نطاقات الطاقة في الأجهزة التي تتكون من مواد مختلفة ذات مستويات تطعيم متباينة. مع ذلك، قد يُستخدم مصطلح مستوى فيرمي في هذه السياقات بشكل غير دقيق للإشارة إلى مستوى فيرمي المرجعي لنطاقات الطاقة ، μ  − ϵ _C ، والذي يُشار إليه بـ ζ أعلاه. من الشائع أن يُشير العلماء والمهندسون إلى "التحكم" أو " تثبيت " أو "ضبط" مستوى فيرمي داخل الموصل، بينما هم في الواقع يصفون التغيرات في ϵ _C الناتجة عن التطعيم أو تأثير المجال الكهربائي . في الواقع، يضمن التوازن الديناميكي الحراري أن مستوى فيرمي في الموصل يكون دائمًا ثابتًا ومساويًا تمامًا لمستوى فيرمي للأقطاب الكهربائية؛ إذ لا يمكن تغيير سوى بنية نطاقات الطاقة (وليس مستوى فيرمي) عن طريق التطعيم أو تأثير المجال الكهربائي (انظر أيضًا مخطط نطاقات الطاقة ). يوجد غموض مماثل بين مصطلحي الجهد الكيميائي والجهد الكهروكيميائي . 

من المهم أيضًا ملاحظة أن مستوى فيرمي ليس بالضرورة هو نفسه طاقة فيرمي . في سياق ميكانيكا الكم الأوسع، يشير مصطلح طاقة فيرمي عادةً إلى أقصى طاقة حركية لفيرميون في غاز فيرمي مثالي غير متفاعل، وخالٍ من الاضطراب، ودرجة حرارته صفر . هذا المفهوم نظري للغاية (لا يوجد ما يُسمى بغاز فيرمي غير متفاعل، ومن المستحيل الوصول إلى درجة حرارة صفر). ومع ذلك، يُستخدم هذا المفهوم بشكل تقريبي لوصف الأقزام البيضاء ، والنجوم النيوترونية ، ونوى الذرات ، والإلكترونات في المعادن . من ناحية أخرى، في مجالي فيزياء وهندسة أشباه الموصلات، تُستخدم طاقة فيرمي غالبًا للإشارة إلى مستوى فيرمي الموصوف في هذه المقالة. ^{[ 11 ]}

تمامًا كما هو الحال عند اختيار نقطة الأصل في نظام إحداثيات، يمكن تعريف نقطة الصفر للطاقة بشكل اعتباطي. وتعتمد الظواهر المرصودة فقط على فروق الطاقة. مع ذلك، عند مقارنة أجسام مختلفة، من المهم أن تكون جميعها متسقة في اختيار موقع نقطة الصفر للطاقة، وإلا فستُحصل على نتائج غير منطقية. لذا، قد يكون من المفيد تحديد نقطة مشتركة بوضوح لضمان توافق المكونات المختلفة. من ناحية أخرى، إذا كانت نقطة المرجع غامضة بطبيعتها (مثل "الفراغ"، انظر أدناه)، فإنها ستُسبب المزيد من المشاكل.

يُعدّ اختيار موصل مادي ضخم، كالأرض أو التأريض الكهربائي ، خيارًا عمليًا ومبررًا لنقطة مشتركة. يُمكن اعتبار هذا الموصل في حالة توازن ديناميكي حراري جيد، وبالتالي فإنّ معامل حركته الكهربائية (μ) مُحدّد بدقة. فهو يُوفّر مخزونًا للشحنة، ما يسمح بإضافة أو إزالة أعداد كبيرة من الإلكترونات دون حدوث تأثيرات شحن. كما يتميّز بسهولة الوصول إليه، ما يُتيح قياس مستوى فيرمي لأي جسم آخر ببساطة باستخدام الفولتميتر.

لماذا لا يُنصح باستخدام "الطاقة في الفراغ" كنقطة مرجعية صفرية

من حيث المبدأ، يمكن اعتبار حالة الإلكترون الساكن في الفراغ نقطة مرجعية لحساب الطاقات. إلا أن هذا النهج غير مستحسن إلا إذا تم تحديد موقع الفراغ بدقة . ^{[ ملاحظة 1 ]} تكمن المشكلة في أن نقاط الفراغ ليست جميعها متكافئة.

في حالة التوازن الديناميكي الحراري، من المعتاد وجود فروق جهد كهربائي في حدود 1 فولت في الفراغ ( جهود فولتا ). ويعود مصدر هذا التباين في جهد الفراغ إلى اختلاف دالة الشغل بين المواد الموصلة المختلفة المعرضة للفراغ. وعلى مقربة من الموصل، يعتمد الجهد الكهروستاتيكي بشكل كبير على نوع المادة، بالإضافة إلى السطح المُختار (اتجاه بلوراته، وجود الشوائب، وتفاصيل أخرى).

المعيار الذي يُعطي أفضل تقريب للشمولية هو مستوى فيرمي المرجعي للأرض، كما ذُكر أعلاه. ويتميز هذا المعيار أيضاً بإمكانية قياسه باستخدام الفولتميتر.

في الحالات التي تكون فيها "تأثيرات الشحن" الناتجة عن إلكترون واحد غير مهملة، ينبغي توضيح التعريفات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، لنفترض مكثفًا مصنوعًا من لوحين متوازيين متطابقين. إذا كان المكثف غير مشحون، فإن مستوى فيرمي يكون متساويًا على كلا الجانبين، لذا قد يظن المرء أنه لا يتطلب أي طاقة لنقل إلكترون من لوح إلى آخر. ولكن عند نقل الإلكترون، يصبح المكثف مشحونًا (بشكل طفيف)، وبالتالي يتطلب ذلك قدرًا ضئيلاً من الطاقة. في المكثفات العادية، تكون هذه الطاقة ضئيلة، ولكنها قد تكون أكثر أهمية في المكثفات النانوية .

في هذه الحالة، يجب أن يكون المرء دقيقًا بشأن التعريف الديناميكي الحراري للجهد الكيميائي وكذلك حالة الجهاز: هل هو معزول كهربائيًا، أم أنه متصل بقطب كهربائي؟

• عندما يكون الجسم قادرًا على تبادل الإلكترونات والطاقة مع قطب كهربائي (مستودع)، فإنه يُوصف بالمجموعة الكبرى الكنسية . يمكن القول إن قيمة الجهد الكيميائي μ ثابتة بواسطة القطب الكهربائي، وقد يتذبذب عدد الإلكترونات N في الجسم. في هذه الحالة، يُمثل الجهد الكيميائي للجسم مقدار الشغل المتناهي الصغر اللازم لزيادة متوسط ​​عدد الإلكترونات بمقدار متناهي الصغر (على الرغم من أن عدد الإلكترونات في أي لحظة هو عدد صحيح، إلا أن متوسط ​​العدد يتغير باستمرار).$${\displaystyle \mu (\left\langle N\right\rangle ,T)=\left({\frac {\partial F}{\partial \left\langle N\right\rangle }}\right)_{T},}$$أين${\displaystyle F(N,T)=\Omega (N,T)+\mu N}$هي طاقة هيلمهولتز الحرة للمجموعة الكنسية الكبرى.
• إذا كان عدد الإلكترونات في الجسم ثابتًا (لكن الجسم لا يزال متصلًا حراريًا بحمام حراري)، فإنه يقع ضمن المجموعة الكنسية . ويمكننا تعريف "الجهد الكيميائي" في هذه الحالة حرفيًا بأنه الشغل اللازم لإضافة إلكترون واحد إلى جسم يحتوي بالفعل على N إلكترونًا بالضبط، ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \mu '(N,T)=F(N+1,T)-F(N,T),}$$حيث F ( N , T ) هي دالة الطاقة الحرة للمجموعة الكنسية، أو بدلاً من ذلك،$${\displaystyle \mu ''(N,T)=F(N,T)-F(N-1,T)=\mu '(N-1,T).}$$

لا تتكافئ هذه الكمونات الكيميائية، μ ≠ μ ′ ≠ μ ″ ، إلا في الحد الديناميكي الحراري . يُعد هذا التمييز مهمًا في الأنظمة الصغيرة، مثل تلك التي تُظهر حجب كولوم ، ^{[ 13 ]} ولكنه يؤثر تقنيًا على أشباه الموصلات كبيرة الحجم عند درجة حرارة الصفر المطلق، على الأقل في الحالة المثالية. ^{[ 12 ]} يبقى المعامل μ (أي في حالة السماح لعدد الإلكترونات بالتذبذب) مرتبطًا ارتباطًا وثيقًا بجهد الفولتميتر، حتى في الأنظمة الصغيرة. وبدقة أكبر، يُحدد مستوى فيرمي ليس بحدث شحن حتمي بواسطة شحنة إلكترون واحد، بل بحدث شحن إحصائي بواسطة جزء متناهي الصغر من الإلكترون. ^{[ 14 ]}