توزيع بولتزمان

في الميكانيكا الإحصائية والرياضيات ، يُعرف توزيع بولتزمان (ويُسمى أيضًا توزيع جيبس ^{​​[ 1 ]} ) بأنه توزيع احتمالي أو مقياس احتمالي يُعطي احتمال وجود نظام ما في حالة معينة كدالة لطاقة تلك الحالة ودرجة حرارة النظام. ويُعبَّر عن هذا التوزيع بالشكل التالي: $${\displaystyle p_{i}\propto \exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right),}$$ حيث pᵢ هي احتمالية وجود النظام في الحالة i ، و exp هي الدالة الأسية ، و εᵢ هي طاقة تلك الحالة، و kᵢ هو ثابت _{التوزيع} ، _{وهو حاصل} ضرب ثابت بولتزمان kᵢ ودرجة الحرارة الديناميكية الحرارية _T.${\displaystyle \propto }$يشير إلى التناسب (انظر §  توزيع ثابت التناسب).

يُستخدم مصطلح " النظام" هنا بمعنى واسع؛ إذ يمكن أن يشمل مجموعة من الذرات "الكافية" أو ذرة واحدة ^{[ 1 ]} ، وصولاً إلى نظام مجهري مثل خزان تخزين الغاز الطبيعي . ولذلك، يُمكن استخدام توزيع بولتزمان لحلّ طيف واسع من المسائل. يُبيّن هذا التوزيع أن الحالات ذات الطاقة الأقل ستكون دائمًا ذات احتمالية أعلى للشغل.

نسبة احتمالات حالتين تُعرف باسم عامل بولتزمان، وهي تعتمد فقط على فرق الطاقة بين الحالتين: $${\displaystyle {\frac {p_{i}}{p_{j}}}=\exp \left({\frac {-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}-{\frac {-\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)=\exp \left({\frac {\varepsilon _{j}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right).}$$

يُنسب توزيع بولتزمان إلى لودفيج بولتزمان ، الذي صاغه لأول مرة عام 1868 خلال دراساته للميكانيكا الإحصائية للغازات في حالة التوازن الحراري . ^{[ 2 ]} وقد تجلى عمل بولتزمان الإحصائي في بحثه "حول العلاقة بين النظرية الأساسية الثانية لنظرية الحرارة الميكانيكية وحسابات الاحتمالات المتعلقة بشروط التوازن الحراري". ^{[ 3 ]} وفي وقت لاحق، قام جوزيا ويلارد جيبس ​​بدراسة هذا التوزيع بشكل موسع، في شكله العام الحديث، عام 1902. ^{[ 4 ]}

يجب عدم الخلط بين توزيع بولتزمان وتوزيع ماكسويل-بولتزمان أو إحصاءات ماكسويل-بولتزمان . يُعطي توزيع بولتزمان احتمال وجود نظام في حالة معينة كدالة لطاقة تلك الحالة، ^{[ 5 ]} بينما تُعطي توزيعات ماكسويل-بولتزمان احتمالات سرعات الجسيمات أو طاقاتها في الغازات المثالية. مع ذلك، فإن توزيع الطاقات في غاز أحادي البعد يتبع توزيع بولتزمان.

توزيع بولتزمان هو توزيع احتمالي يُعطي احتمالية حالة معينة كدالة لطاقة تلك الحالة ودرجة حرارة النظام الذي يُطبق عليه التوزيع. ^{[ 6 ]} ويُعطى على النحو التالي: $${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Q}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)={\frac {\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}},}$$ أين

الدالة exp() هي الدالة الأسية ،

p _i هو احتمال الحالة i ،

ε _i هي طاقة الحالة i ،

k _B هو ثابت بولتزمان ،

T هي درجة الحرارة المطلقة للنظام،

M هو عدد جميع الحالات التي يمكن الوصول إليها من قبل النظام محل الاهتمام، ^{[ 6 ] [ 5 ]}

Q (يرمز إليه بعض المؤلفين بـ Z ) هو مقام التطبيع، وهو دالة التقسيم المتعارف عليها$${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right).}$$وينتج ذلك عن القيد القائل بأن احتمالات جميع الحالات المتاحة يجب أن يكون مجموعها 1.

باستخدام معاملات لاغرانج ، يمكن إثبات أن توزيع بولتزمان هو التوزيع الذي يزيد من الإنتروبيا إلى أقصى حد.$${\displaystyle S(p_{1},p_{2},\dots ,p_{M})=-\sum _{i=1}^{M}p_{i}\log _{2}p_{i},}$$ مع مراعاة قيد التطبيع الذي${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$والقيد الذي${\textstyle \sum _{i}p_{i}\varepsilon _{i}}$يساوي متوسط ​​قيمة طاقة معينة، باستثناء حالتين خاصتين. (تحدث هاتان الحالتان الخاصتان عندما يكون متوسط ​​القيمة إما الحد الأدنى أو الحد الأقصى للطاقات ε _i . في هاتين الحالتين، يكون التوزيع الذي يزيد الإنتروبيا إلى أقصى حد هو نهاية لتوزيعات بولتزمان حيث تقترب T من الصفر من الأعلى أو من الأسفل، على التوالي.)

يمكن حساب دالة التوزيع إذا عرفنا طاقات الحالات المتاحة للنظام محل الدراسة. بالنسبة للذرات، يمكن إيجاد قيم دالة التوزيع في قاعدة بيانات الأطياف الذرية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) . ^{[ 7 ]}

يُظهر التوزيع أن الحالات ذات الطاقة المنخفضة ستكون دائمًا ذات احتمالية شغل أعلى من الحالات ذات الطاقة العالية. كما يُبيّن العلاقة الكمية بين احتمالات شغل حالتين. وتُعطى نسبة احتمالات الحالتين i و j على النحو التالي:$${\displaystyle {\frac {p_{i}}{p_{j}}}=\exp \left({\frac {\varepsilon _{j}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right),}$$ أين

p _i هو احتمال الحالة i ،

p _j احتمال الحالة j ،

ε _i هي طاقة الحالة i ،

ε _j هي طاقة الحالة j .

يجب أن تأخذ النسبة المقابلة لمجموعات مستويات الطاقة في الاعتبار أيضًا حالات انحلالها .

يُستخدم توزيع بولتزمان غالبًا لوصف توزيع الجسيمات، مثل الذرات أو الجزيئات، على الحالات المرتبطة التي يمكن الوصول إليها. بالنسبة لنظام يتكون من العديد من الجسيمات، فإن احتمال وجود جسيم في الحالة i هو عمليًا احتمال اختيار جسيم عشوائي من ذلك النظام والعثور عليه في الحالة i . هذا الاحتمال يساوي عدد الجسيمات في الحالة i مقسومًا على العدد الإجمالي للجسيمات في النظام، أي نسبة الجسيمات التي تشغل الحالة i . $${\displaystyle p_{i}={\frac {N_{i}}{N}},}$$ حيث يمثل Nᵢ عدد الجسيمات في الحالة i ، و N هو العدد الإجمالي للجسيمات في النظام. يُعطي توزيع بولتزمان هذه الاحتمالات لنظام في حالة توازن حراري. لذا، فإن المعادلة التي تُعطي نسبة الجسيمات في الحالة _i كدالة لطاقة تلك الحالة هي ^{[ 5 ].}$${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}}.}$$

تُعدّ هذه المعادلة ذات أهمية بالغة في علم الأطياف . يرصد علم الأطياف الخطوط الطيفية للذرات أو الجزيئات التي تخضع لانتقالات من حالة إلى أخرى. ^{[ 5 ] [ 8 ]} ولكي يكون ذلك ممكنًا، يجب أن يكون هناك بعض الجسيمات في الحالة الأولى التي تخضع للانتقال. ويمكن تقدير نسبتها من توزيع بولتزمان. إذا كانت هذه النسبة ضئيلة، فمن المرجح جدًا ألا يُرصد الانتقال عند درجة الحرارة التي أُجريت عندها الحسابات. وبشكل عام، تعني النسبة الأكبر من الجزيئات في الحالة الأولى عددًا أكبر من الانتقالات إلى الحالة الثانية. ^{[ 9 ]} وهذا يُعطي خطًا طيفيًا أقوى. ومع ذلك، توجد عوامل أخرى تؤثر على شدة الخط الطيفي، مثل ما إذا كان ناتجًا عن انتقال مسموح به أو ممنوع .

ترتبط دالة softmax الشائعة الاستخدام في التعلم الآلي بتوزيع بولتزمان:$${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{M})=\operatorname {softmax} \left[-{\frac {\varepsilon _{1}}{k_{\text{B}}T}},\ldots ,-{\frac {\varepsilon _{M}}{k_{\text{B}}T}}\right].}$$

توزيع على شكل $${\displaystyle \Pr \left(\omega \right)\propto \exp \left[\sum _{\eta =1}^{n}{\frac {X_{\eta }x_{\eta }^{\left(\omega \right)}}{k_{\text{B}}T}}-{\frac {E^{\left(\omega \right)}}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$ يُطلق عليه بعض المؤلفين اسم توزيع بولتزمان المعمم . ^{[ 10 ]}

يُعدّ توزيع بولتزمان حالة خاصة من توزيع بولتزمان المعمم. يُستخدم توزيع بولتزمان المعمم في الميكانيكا الإحصائية لوصف المجموعة الكنسية ، والمجموعة الكنسية الكبرى ، والمجموعة متساوية الحرارة والضغط . يُشتق توزيع بولتزمان المعمم عادةً من مبدأ أقصى إنتروبيا ، ولكن توجد اشتقاقات أخرى. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يتمتع توزيع بولتزمان المعمم بالخصائص التالية:

• وهو التوزيع الوحيد الذي تتطابق فيه الإنتروبيا كما هو محدد بواسطة صيغة إنتروبيا جيبس ​​مع الإنتروبيا كما هو محدد في الديناميكا الحرارية الكلاسيكية . ^{[ 10 ]}
• وهو التوزيع الوحيد المتوافق رياضياً مع العلاقة الديناميكية الحرارية الأساسية حيث يتم وصف دوال الحالة بواسطة المتوسط ​​الإحصائي. ^{[ 11 ]}

يظهر توزيع بولتزمان في الميكانيكا الإحصائية عند دراسة الأنظمة المغلقة ذات التركيب الثابت والتي تكون في حالة توازن حراري (توازن فيما يتعلق بتبادل الطاقة). الحالة الأكثر عمومية هي توزيع الاحتمال للمجموعة الكنسية. تُظهر بعض الحالات الخاصة (المشتقة من المجموعة الكنسية) توزيع بولتزمان من جوانب مختلفة.

المجموعة الكنسية (الحالة العامة)

تُعطي المجموعة الكنسية احتمالات الحالات المختلفة الممكنة لنظام مغلق ذي حجم ثابت، في حالة توازن حراري مع خزان حراري . وتتمتع المجموعة الكنسية بتوزيع احتمالي للحالة على شكل بولتزمان.

الترددات الإحصائية لحالات الأنظمة الفرعية (في مجموعة غير متفاعلة)

عندما يكون النظام محل الاهتمام عبارة عن مجموعة من نسخ متعددة غير متفاعلة لنظام فرعي أصغر، يكون من المفيد أحيانًا إيجاد التكرار الإحصائي لحالة معينة من النظام الفرعي ضمن هذه المجموعة. تتميز المجموعة الكنسية بخاصية الفصل عند تطبيقها على مثل هذه المجموعة: فما دامت الأنظمة الفرعية غير المتفاعلة ذات تركيب ثابت، فإن حالة كل نظام فرعي تكون مستقلة عن غيرها، وتتميز أيضًا بمجموعة كنسية. ونتيجة لذلك، يكون التوزيع المتوقع للتكرار الإحصائي لحالات النظام الفرعي على شكل بولتزمان.

إحصاءات ماكسويل-بولتزمان للغازات الكلاسيكية (أنظمة الجسيمات غير المتفاعلة)

في الأنظمة الجسيمية، تتشارك العديد من الجسيمات نفس الحيز وتتبادل مواقعها بانتظام؛ ويُعدّ حيز حالة الجسيم الواحد الذي تشغله حيزًا مشتركًا. تُعطي إحصائيات ماكسويل-بولتزمان العدد المتوقع للجسيمات الموجودة في حالة جسيم واحد معينة، في غاز كلاسيكي من الجسيمات غير المتفاعلة في حالة اتزان. ويأخذ توزيع هذا العدد المتوقع شكل بولتزمان.

على الرغم من وجود أوجه تشابه قوية بين هذه الحالات، إلا أنه من المفيد التمييز بينها لأنها تعمّم بطرق مختلفة عند تغيير الافتراضات الأساسية:

• عندما يكون النظام في حالة توازن ديناميكي حراري فيما يتعلق بتبادل الطاقة وتبادل الجسيمات ، يُستغنى عن شرط ثبات التركيب، ويُحصل على مجموعة إحصائية كبرى بدلاً من المجموعة الإحصائية الأساسية. من ناحية أخرى، إذا كان كل من التركيب والطاقة ثابتين، فإن المجموعة الإحصائية الصغرى هي التي تُطبق.
• إذا تفاعلت الأنظمة الفرعية ضمن مجموعة ما مع بعضها البعض، فإن الترددات المتوقعة لحالات النظام الفرعي لا تتبع توزيع بولتزمان، بل قد لا يكون لها حل تحليلي . ^{[ 12 ]} ومع ذلك، لا يزال من الممكن تطبيق المجموعة الكنسية على الحالات الجماعية للنظام بأكمله عند اعتباره كوحدة واحدة، شريطة أن يكون النظام بأكمله في حالة توازن حراري.
• في حالة الغازات الكمومية المكونة من جسيمات غير متفاعلة في حالة توازن، لا يتبع عدد الجسيمات الموجودة في حالة جسيم واحد معينة إحصاءات ماكسويل-بولتزمان، ولا يوجد تعبير رياضي بسيط مغلق للغازات الكمومية في المجموعة الكنسية. في المجموعة الكنسية الكبرى، تُوصف إحصاءات ملء الحالة للغازات الكمومية بإحصاءات فيرمي-ديراك أو إحصاءات بوز-أينشتاين ، وذلك تبعًا لما إذا كانت الجسيمات فرميونات أو بوزونات ، على التوالي.

• في سياقات رياضية أكثر عمومية، يُعرف توزيع بولتزمان أيضًا باسم مقياس جيبس .
• في الإحصاء والتعلم الآلي ، يُطلق عليه اسم النموذج اللوغاريتمي الخطي .
• في مجال التعلم العميق ، يُستخدم توزيع بولتزمان في توزيع العينات للشبكات العصبية العشوائية ، مثل آلة بولتزمان ، وآلة بولتزمان المقيدة ، والنماذج القائمة على الطاقة ، وآلة بولتزمان العميقة . تُعتبر آلة بولتزمان في التعلم العميق أحد نماذج التعلم غير الخاضع للإشراف . عند تصميم آلة بولتزمان في التعلم العميق، ومع ازدياد عدد العقد، تزداد صعوبة تطبيقها في التطبيقات الآنية، لذا تم تقديم نوع مختلف من البنية يُسمى آلة بولتزمان المقيدة .

يمكن استخدام توزيع بولتزمان لتوزيع تصاريح الانبعاثات في تجارة الانبعاثات . ^{[ 13 ] [ 14 ]} تستخدم طريقة توزيع جديدة، تُعرف باسم تقسيم بولتزمان العادل ، توزيع بولتزمان لوصف التوزيع الأكثر احتمالًا وطبيعية وغير متحيزة لتصاريح الانبعاثات بين عدة دول. ^{[ 15 ]} وقد تم توسيع هذا الإطار لمعالجة المشكلات العامة للعدالة التوزيعية، بما في ذلك تقاسم الموارد وتخصيصها، من خلال إتاحة المرونة في كيفية ترجيح عوامل مثل المساهمة أو الحاجة أو التفضيل. يُعرف تقسيم بولتزمان العادل بتقديمه نموذجًا احتماليًا بسيطًا وفعالًا يمكن تكييفه مع مختلف السياقات الاجتماعية والسياسية والاقتصادية. ^{[ 15 ]}

يتخذ توزيع بولتزمان نفس شكل نموذج اللوجيت متعدد الحدود . وباعتباره نموذج اختيار منفصل ، فهو معروف جيدًا في علم الاقتصاد منذ أن ربط دانيال مكفادين بينه وبين تعظيم المنفعة العشوائية. ^{[ 16 ]}

• قسم معرض بولتزمان
• إحصائيات بوز-أينشتاين
• إحصائيات فيرمي-ديراك
• درجة حرارة سلبية
• دالة سوفتماكس