جسيمات لا يمكن تمييزها

فيما يلي مثال لجعل المناقشة أعلاه ملموسة، باستخدام الشكلية التي تم تطويرها في المقالة حول الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم .

لنفترض أن n يمثل مجموعة كاملة من الأعداد الكمومية (المنفصلة) لتحديد حالات الجسيمات المفردة (على سبيل المثال، في مسألة الجسيم في صندوق ، نعتبر n متجه الموجة الكمومي للدالة الموجية). ولتبسيط الأمر _، لنفترض نظامًا مكونًا من جسيمين لا يتفاعلان مع بعضهما البعض. لنفترض أن أحد الجسيمين في الحالة n₁ ، والآخر في الحالة n₂ . يُرمز إلى الحالة الكمومية للنظام بالتعبير التالي _:

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

حيث يكون ترتيب حاصل الضرب الموتري مهمًا (إذا${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$ثم يشغل الجسيم 1 الحالة n2 بينما يشغل الجسيم 2 الحالة n1 . هذه هي الطريقة المتعارف عليها لبناء أساس لفضاء حاصل الضرب _{الموتري .}${\displaystyle H\otimes H}$من النظام المدمج من المساحات الفردية. هذا التعبير صالح للجسيمات القابلة للتمييز، ولكنه غير مناسب للجسيمات غير القابلة للتمييز لأن${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$و${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$نتيجة لتبادل الجسيمات، تكون الحالات مختلفة بشكل عام.

• "الجسيم 1 يشغل الحالة n ₁ والجسيم 2 يشغل الحالة n ₂ " ≠ "الجسيم 1 يشغل الحالة n ₂ والجسيم 2 يشغل الحالة n ₁ ".

تكون حالتان متكافئتين فيزيائيًا فقط إذا كان الفرق بينهما لا يتجاوز عامل طور مركب. بالنسبة لجسيمين غير قابلين للتمييز، يجب أن تكون الحالة قبل تبادل الجسيمات مكافئة فيزيائيًا للحالة بعد التبادل، لذا فإن هاتين الحالتين لا يختلفان إلا بعامل طور مركب. تشير هذه الحقيقة إلى أن حالة جسيمين غير قابلين للتمييز (وغير متفاعلين) تُعطى بأحد الاحتمالين التاليين: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

تُعرف الحالات التي يكون فيها المجموع متماثلة ، بينما تُسمى الحالات التي يكون فيها الفرق غير متماثلة . وبشكل أكثر تفصيلاً، فإن الحالات المتماثلة لها الشكل التالي:

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

بينما تتخذ الحالات المتناظرة شكل

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

لاحظ أنه إذا كان _n1 و n2 متساويين ، فإن التعبير المضاد للتناظر يُعطي صفرًا، وهو ما لا يمكن أن يكون متجه حالة لأنه لا يمكن تطبيعه. بعبارة أخرى، لا يمكن لأكثر من جسيم متطابق أن يشغل حالة مضادة للتناظر (لا يمكن أن تشغل الحالة المضادة للتناظر إلا جسيم واحد). يُعرف هذا بمبدأ _{استبعاد} باولي ، وهو السبب الأساسي وراء الخصائص الكيميائية للذرات واستقرار المادة .

تستند أهمية الحالات المتناظرة وغير المتناظرة في نهاية المطاف إلى أدلة تجريبية. ويبدو أن من حقائق الطبيعة أن الجسيمات المتطابقة لا تشغل حالات ذات تناظر مختلط، مثل

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

هناك استثناء لهذه القاعدة، سيتم تناوله لاحقاً. من جهة أخرى، يمكن إثبات أن الحالات المتناظرة وغير المتناظرة تُعتبر، بمعنى ما، حالات خاصة، وذلك بدراسة تناظر معين لحالات الجسيمات المتعددة يُعرف بتناظر التبادل .

عرّف مؤثرًا خطيًا P ، يُسمى مؤثر التبادل. عندما يؤثر هذا المؤثر على حاصل ضرب موتر لمتجهي حالة، فإنه يبدل قيم متجهي الحالة:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P هيرميتية ووحدوية في آن واحد . ولأنها وحدوية ، يمكن اعتبارها عامل تناظر . ويمكن وصف هذا التناظر بأنه التناظر الناتج عن تبادل التصنيفات المرفقة بالجسيمات (أي، بفضاءات هيلبرت أحادية الجسيم).

بوضوح،${\displaystyle P^{2}=1}$(المؤثر المحايد)، لذا فإن القيم الذاتية لـ P هي +1 و -1 . والمتجهات الذاتية المقابلة هي الحالات المتناظرة وغير المتناظرة:

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

بمعنى آخر، تبقى الحالات المتناظرة وغير المتناظرة دون تغيير جوهري عند تبديل رموز الجسيمات: فهي تُضرب فقط بمعامل +1 أو -1 ، بدلاً من أن "تدور" في مكان آخر في فضاء هيلبرت. وهذا يدل على أن رموز الجسيمات لا تحمل أي معنى فيزيائي، وهو ما يتوافق مع المناقشة السابقة حول عدم التمييز.

بما أن P هيرميتية، فيمكن اعتبارها كمية قابلة للرصد في النظام: إذ يمكن إجراء قياس لمعرفة ما إذا كانت الحالة متناظرة أم مضادة للتناظر. علاوة على ذلك، يشير تكافؤ الجسيمات إلى إمكانية كتابة الهاميلتوني بصيغة متناظرة، مثل:

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

من الممكن إثبات أن هذه الهاميلتونيان تحقق علاقة التبادل

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

وفقًا لمعادلة هايزنبرغ ، فإن قيمة P ثابتة الحركة. إذا كانت الحالة الكمومية متناظرة (أو غير متناظرة) في البداية، فستبقى متناظرة (أو غير متناظرة) مع تطور النظام. رياضيًا، يعني هذا أن متجه الحالة محصور في أحد الفضاءين الذاتيين لـ P ، ولا يُسمح له بالانتشار في فضاء هيلبرت بأكمله. بالتالي، يمكن اعتبار هذا الفضاء الذاتي بمثابة فضاء هيلبرت الفعلي للنظام. هذه هي الفكرة الكامنة وراء تعريف فضاء فوك .

يُحدد نوع الجسيم اختيار التناظر أو عدم التناظر. فعلى سبيل المثال، يجب استخدام الحالات المتناظرة دائمًا عند وصف الفوتونات أو ذرات الهيليوم-4 ، والحالات غير المتناظرة عند وصف الإلكترونات أو البروتونات .

تُسمى الجسيمات التي تُظهر حالات متناظرة بالبوزونات . ولطبيعة هذه الحالات المتناظرة آثارٌ بالغة الأهمية على الخصائص الإحصائية للأنظمة المكونة من العديد من البوزونات المتطابقة. وتُعرف هذه الخصائص الإحصائية بإحصاءات بوز-أينشتاين .

تُسمى الجسيمات التي تُظهر حالات مضادة للتناظر بالفيرميونات . وينتج عن عدم التناظر مبدأ استبعاد باولي ، الذي يمنع الفيرميونات المتطابقة من مشاركة الحالة الكمومية نفسها. وتُوصَف أنظمة العديد من الفيرميونات المتطابقة بإحصاءات فيرمي-ديراك .

الإحصاءات الموازية ممكنة رياضياً، ولكن لا توجد أمثلة عليها في الطبيعة. ^{[ 6 ]}

في بعض الأنظمة ثنائية الأبعاد، قد يحدث تناظر مختلط. تُعرف هذه الجسيمات الغريبة باسم الأنيونات ، وهي تخضع لإحصاءات كسرية . يوجد دليل تجريبي على وجود الأنيونات في تأثير هول الكمي الكسري ، وهي ظاهرة تُلاحظ في غازات الإلكترونات ثنائية الأبعاد التي تُشكل طبقة الانعكاس في ترانزستورات MOSFET . وهناك نوع آخر من الإحصاءات، يُعرف باسم إحصاءات الجدائل ، ويرتبط بجسيمات تُعرف باسم البلكتونات .

تربط نظرية الإحصاء الدوراني تناظر التبادل بين الجسيمات المتطابقة بدورانها . وتنص على أن البوزونات لها دوران صحيح، والفيرميونات لها دوران نصف صحيح. أما الأنيونات فلها دوران كسري.

يمكن تعميم المناقشة السابقة بسهولة على حالة N جسيمًا. لنفترض وجود N جسيمًا بأعداد كمومية n1 _، n2 _، ...، _nN . إذا كانت الجسيمات بوزونات، فإنها تشغل حالة متناظرة تمامًا ، وهي حالة متناظرة عند تبديل أي رمزين للجسيمات.

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{n}m_{n}!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

هنا، يُحسب المجموع على جميع الحالات المختلفة تحت تأثير التباديل p التي تؤثر على N عنصرًا. الجذر التربيعي للمجموع على اليسار هو ثابت التوحيد . تمثل الكمية m _{_n} عدد مرات ظهور كل حالة من حالات الجسيم الواحد n في حالة N جسيم. لاحظ أن Σ _{_n} m_{_n} = N.

وبالمثل، تشغل الفرميونات حالات متناظرة تمامًا :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

هنا، sgn( p ) هي إشارة كل تبديل (أي${\displaystyle +1}$لو${\displaystyle p}$يتكون من عدد زوجي من عمليات النقل، و${\displaystyle -1}$(إذا كان فرديًا). لاحظ أنه لا يوجد${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$يُعزى ذلك إلى أن كل حالة جسيم منفرد لا يمكن أن تظهر إلا مرة واحدة في حالة فرميونية. وإلا فإن المجموع سيكون صفرًا مرة أخرى بسبب التناظر العكسي، مما يمثل حالة مستحيلة فيزيائيًا. هذا هو مبدأ استبعاد باولي للجسيمات المتعددة.

تم توحيد هذه الحالات بحيث

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

لنفترض وجود نظام من N بوزونات (فرميونات) في الحالة المتناظرة (المضادة للتناظر)

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

ويتم إجراء قياس على مجموعة أخرى من الكميات القابلة للرصد المنفصلة، ​​m . بشكل عام، ينتج _عن ذلك نتيجة m1 لجسيم واحد، _و m2 لجسيم آخر، وهكذا. إذا كانت الجسيمات بوزونات (فرميونات)، فيجب أن تظل الحالة بعد القياس متناظرة (مضادة للتناظر)، أي

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

احتمالية الحصول على نتيجة معينة لقياس m هي

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

مما يؤكد أن الاحتمال الكلي هو 1. يجب أن يقتصر المجموع على القيم المرتبة لـ m ₁ ، ... ، m _N لضمان عدم احتساب كل حالة متعددة الجسيمات أكثر من مرة.

حتى الآن، اقتصر النقاش على المتغيرات المنفصلة القابلة للرصد. ويمكن توسيعه ليشمل المتغيرات المستمرة القابلة للرصد، مثل الموضع x . 

تذكر أن الحالة الذاتية لمتغير مستمر تمثل نطاقًا متناهيًا في الصغر من قيم هذا المتغير، وليس قيمة واحدة كما هو الحال مع المتغيرات المنفصلة. على سبيل المثال، إذا كان جسيم ما في حالة | ψ⟩ ، ^فإن احتمال وجوده في منطقة حجمها d³x تحيط بموضع ما x هو

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

ونتيجة لذلك، يتم تطبيع الحالات الذاتية المستمرة | x ⟩ إلى دالة دلتا بدلاً من الوحدة:

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

يمكن إنشاء حالات الجسيمات المتعددة المتناظرة وغير المتناظرة من الحالات الذاتية المستمرة بنفس الطريقة السابقة. ومع ذلك، من المعتاد استخدام ثابت تطبيع مختلف ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

يمكن كتابة دالة موجية متعددة الأجسام ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {1}{N!\prod _{j}n_{j}!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

حيث تُعرَّف الدوال الموجية للجسيم الواحد، كالمعتاد، بواسطة

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

أهم خاصية لهذه الدوال الموجية هي أن تبديل أي متغيرين من متغيرات الإحداثيات لا يُغير الدالة الموجية إلا بإشارة موجبة أو سالبة. وهذا هو تجلّي التناظر والتناظر العكسي في تمثيل الدالة الموجية.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

للدالة الموجية متعددة الأجسام الأهمية التالية: إذا كان النظام في البداية في حالة ذات أعداد كمية n1 _، ...، nN _، وتم إجراء قياس للموقع، فإن احتمال وجود جسيمات في أحجام متناهية الصغر بالقرب من x1 ، _x2 ، ... _، xN _هو

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

يأتي العامل N ! من ثابت التطبيع لدينا، والذي تم اختياره بحيث يكون، قياسًا على الدوال الموجية للجسيمات المفردة،

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

بما أن كل تكامل يشمل جميع القيم الممكنة لـ x ، فإن كل حالة من حالات الجسيمات المتعددة تظهر N ! مرة في التكامل. بعبارة أخرى، يتوزع الاحتمال المرتبط بكل حدث بالتساوي على N ! نقطة متكافئة في فضاء التكامل. ولأن التعامل مع التكاملات غير المقيدة عادةً ما يكون أسهل من التعامل مع التكاملات المقيدة، فقد تم اختيار ثابت التوحيد ليعكس ذلك.

وأخيرًا، يمكن كتابة الدالة الموجية المتناظرة عكسيًا على شكل محدد مصفوفة ، وهو ما يُعرف بمحدد سلاتر :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

مساحة هيلبرت لـ${\displaystyle n}$تُعطى الجسيمات بواسطة حاصل الضرب الموتري${\textstyle \bigotimes _{n}H}$مجموعة التبديلات لـ${\displaystyle S_{n}}$يؤثر على هذه المساحة عن طريق تبديل المدخلات. وبحسب التعريف، فإن القيم المتوقعة لمتغير قابل للملاحظة${\displaystyle a}$ل${\displaystyle n}$ينبغي أن تظل الجسيمات غير القابلة للتمييز ثابتة تحت هذه التبديلات. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle \psi \in H}$و${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

أو ما يعادل ذلك لكل${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

تكون حالتان متكافئتين عندما تتطابق قيمهما المتوقعة لجميع المتغيرات القابلة للرصد. إذا اقتصرنا على المتغيرات القابلة للرصد من${\displaystyle n}$باعتبار الجسيمات متطابقة، وبالتالي الكميات القابلة للرصد التي تحقق المعادلة أعلاه، نجد أن الحالات التالية (بعد التطبيع) متكافئة

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

ترتبط فئات التكافؤ بعلاقة تقابلية مع الفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال لـ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$تحت${\displaystyle S_{n}}$.

من الفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال الواضحة، الفضاء الجزئي المتناظر/البوزوني أحادي البعد والفضاء الجزئي غير المتناظر/الفرميوني. مع ذلك، توجد أنواع أخرى من الفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال. تُسمى الحالات المرتبطة بهذه الفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال الأخرى بالحالات شبه الإحصائية . ^{[ 8 ]} توفر جداول يونغ طريقة لتصنيف جميع هذه الفضاءات الجزئية غير القابلة للاختزال.

إن عدم تمييز الجسيمات له تأثير عميق على خصائصها الإحصائية. لتوضيح ذلك، لنفترض نظامًا مكونًا من N جسيمًا مميزًا وغير متفاعل. لنرمز مرة أخرى إلى حالة الجسيم j (أي أعداده الكمومية) بالرمز n_{_j} . إذا كانت الجسيمات تمتلك نفس الخصائص الفيزيائية، فإن قيم n_{_j} تقع ضمن نفس نطاق القيم. لنرمز إلى طاقة الجسيم في الحالة n بالرمز ε ( n ) . بما أن الجسيمات لا تتفاعل، فإن الطاقة الكلية للنظام هي مجموع طاقات الجسيمات المفردة. دالة التوزيع للنظام هي

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

حيث k هو ثابت بولتزمان و T هي درجة الحرارة . يمكن تحليل هذا التعبير للحصول على

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

أين

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

_{إذا كانت الجسيمات متطابقة، فإن} هذه المعادلة غير صحيحة. لنفترض حالةً للنظام، موصوفةً بحالات الجسيمات المفردة [ n1 , ..., nN ]. في معادلة Z ، يظهر كل تبديل ممكن لـ n مرةً واحدةً في المجموع، على الرغم من أن كل تبديل من هذه التبديلات يصف نفس حالة الجسيمات المتعددة. وبالتالي، _فإن عدد الحالات مُبالغ فيه.

إذا تم إهمال احتمال تداخل الحالات، وهو أمر صحيح في حالة ارتفاع درجة الحرارة، فإن عدد مرات حساب كل حالة يساوي تقريبًا N !. دالة التقسيم الصحيحة هي

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

لاحظ أن هذا التقريب "لدرجة الحرارة العالية" لا يميز بين الفرميونات والبوزونات.

كان التباين في دوال التوزيع للجسيمات القابلة للتمييز وغير القابلة للتمييز معروفًا منذ القرن التاسع عشر، قبل ظهور ميكانيكا الكم. ويؤدي هذا التباين إلى معضلة تُعرف باسم مفارقة جيبس . وقد بيّن جيبس ​​أن إنتروبيا الغاز المثالي الكلاسيكي في المعادلة Z = ξ ^N هي

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

حيث V هو حجم الغاز و f دالة تعتمد على T فقط. تكمن مشكلة هذه النتيجة في أن S ليست شاملة - فإذا تضاعفت N و V ، فإن S لا تتضاعف تبعًا لذلك. لا يلتزم هذا النظام بمسلمات الديناميكا الحرارية .

أظهر جيبس ​​أيضًا أن استخدام Z = ξ ^N / N ! يغير النتيجة إلى

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

وهو أمر واسع النطاق تماماً.

توجد اختلافات جوهرية بين السلوك الإحصائي للبوزونات والفيرميونات، والتي تُوصف على التوالي بإحصاءات بوز-أينشتاين وإحصاءات فيرمي-ديراك . بشكل عام، تميل البوزونات إلى التجمع في نفس الحالة الكمومية، وهو ما يُفسر ظواهر مثل الليزر ، وتكثيف بوز-أينشتاين ، والميوعة الفائقة . أما الفيرميونات، فمن غير الممكن لها مشاركة الحالات الكمومية، مما يُؤدي إلى ظهور أنظمة مثل غاز فيرمي . يُعرف هذا بمبدأ استبعاد باولي، وهو مسؤول عن جزء كبير من الكيمياء، حيث تملأ الإلكترونات في الذرة (الفيرميونات) تباعًا الحالات المتعددة داخل الأغلفة بدلاً من أن تتواجد جميعها في نفس حالة الطاقة الأدنى.

يمكن توضيح الاختلافات بين السلوك الإحصائي للفيرميونات والبوزونات والجسيمات المميزة باستخدام نظام مكون من جسيمين. يُرمز للجسيمين بـ A و B. يمكن أن يوجد كل جسيم في حالتين محتملتين، تُسميان${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$والتي لها نفس الطاقة.

يمكن للنظام المركب أن يتطور بمرور الوقت، متفاعلاً مع بيئة صاخبة. لأن${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$تكون الحالات متكافئة طاقيًا، ولا تُفضّل أيٌّ منها، لذا فإن هذه العملية تُؤدي إلى عشوائية الحالات. (يُناقش هذا في مقال التشابك الكمومي ). بعد فترة، سيحظى النظام المركب باحتمالية متساوية لشغل كل حالة من الحالات المتاحة له. ثم تُقاس حالات الجسيمات.

إذا كانت الجسيمات A و B قابلة للتمييز، فإن النظام المركب له أربع حالات متميزة:${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$،${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$،${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$، و${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$احتمالية الحصول على جسيمين في${\displaystyle |0\rangle }$الحالة هي 0.25؛ احتمال الحصول على جسيمين في${\displaystyle |1\rangle }$الحالة هي 0.25؛ واحتمالية الحصول على جسيم واحد في${\displaystyle |0\rangle }$الولاية والآخر في${\displaystyle |1\rangle }$الحالة هي 0.5.

إذا كان A و B بوزونات متطابقة، فإن النظام المركب له ثلاث حالات متميزة فقط:${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$،${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$، و${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$عند إجراء التجربة، يكون احتمال الحصول على جسيمين في${\displaystyle |0\rangle }$تبلغ قيمة الحالة الآن 0.33؛ أي احتمال الحصول على جسيمين في${\displaystyle |1\rangle }$تبلغ قيمة الحالة 0.33؛ واحتمالية الحصول على جسيم واحد في${\displaystyle |0\rangle }$الولاية والآخر في${\displaystyle |1\rangle }$تبلغ قيمة الحالة 0.33. لاحظ أن احتمال وجود جسيمات في الحالة نفسها أكبر نسبيًا مما هو عليه في حالة التمييز. وهذا يدل على ميل البوزونات إلى التكتل.

إذا كان A و B عبارة عن فرميونات متطابقة، فلا يوجد سوى حالة واحدة متاحة للنظام المركب: الحالة المتناظرة تمامًا${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$عند إجراء التجربة، يكون جسيم واحد دائمًا في${\displaystyle |0\rangle }$الولاية والآخر في${\displaystyle |1\rangle }$ولاية.

تم تلخيص النتائج في الجدول 1:

كما هو واضح، حتى نظام مكون من جسيمين يُظهر سلوكيات إحصائية مختلفة بين الجسيمات المتميزة، البوزونات والفيرميونات. في المقالات المتعلقة بإحصاءات فيرمي-ديراك وإحصاءات بوز-أينشتاين ، تم توسيع هذه المبادئ لتشمل عددًا كبيرًا من الجسيمات، مع نتائج متشابهة نوعيًا.