دالة ثابتة

في الرياضيات ، الدالة الثابتة هي دالة تكون قيمة (الناتج) الخاصة بها هي نفسها لكل قيمة مدخلة.

باعتبارها دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي القيمة، تأخذ الدالة الثابتة الشكل العام y ( x ) = c أو ببساطة y = c . على سبيل المثال، الدالة y ( x ) = 4 هي دالة ثابتة محددة حيث تكون قيمة الخرج c = 4. مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية . صورة هذه الدالة هي المجموعة الأحادية {4} . لا يظهر المتغير المستقل x في الجانب الأيمن من تعبير الدالة، لذا يتم استبدال قيمته تلقائيًا؛ أي y (0) = 4 ، y (−2.7) = 4 ، y (π) = 4 ، وهكذا. بغض النظر عن قيمة x المدخلة ، يكون الخرج 4. ^{[ 1 ]}

يمثل الرسم البياني للدالة الثابتة y = c خطًا أفقيًا في المستوى يمر بالنقطة (0, c ) . ^{[ 2 ]} في سياق متعددة الحدود في متغير واحد x ، تُسمى الدالة الثابتة دالة ثابتة غير صفرية لأنها متعددة حدود من الدرجة 0، وصيغتها العامة هي f ( x ) = c ، حيث c قيمة غير صفرية. لا تتقاطع هذه الدالة مع المحور x ، أي ليس لها جذر (صفر) . من جهة أخرى، فإن متعددة الحدود f ( x ) = 0 هي دالة صفرية مطابقة . إنها الدالة الثابتة (التافهة)، وكل قيمة لـ x هي جذر لها. يمثل الرسم البياني لها المحور x في المستوى. ^{[ 3 ]} رسمها البياني متناظر بالنسبة للمحور y ، وبالتالي فإن الدالة الثابتة هي دالة زوجية . ^{[ 4 ]}

في السياق الذي يُعرَّف فيه، تُعدّ مشتقة الدالة مقياسًا لمعدل تغير قيم الدالة بالنسبة لتغير قيم المدخلات. ولأن الدالة الثابتة لا تتغير، فإن مشتقتها تساوي صفرًا. ^{[ 5 ]} وغالبًا ما يُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$والعكس صحيح أيضًا. أي، إذا كانت y ′( x ) = 0 لجميع الأعداد الحقيقية x ، فإن y دالة ثابتة. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، إذا كانت لدينا الدالة الثابتة${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$مشتقة y هي دالة تساوي صفرًا تمامًا${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$.

بالنسبة للدوال بين المجموعات المرتبة مسبقًا ، فإن الدوال الثابتة تحافظ على الترتيب وتعكسه في نفس الوقت ؛ وعلى العكس من ذلك، إذا كانت f تحافظ على الترتيب وتعكسه في نفس الوقت، وإذا كان مجال f عبارة عن شبكة ، فيجب أن تكون f ثابتة.

• كل دالة ثابتة يكون مجالها ومجالها المقابل هو نفس المجموعة X هي صفر يساري للتحويل الكامل أحادي على X ، مما يعني أنها أيضًا متطابقة .
• ليس له ميل أو انحدار .
• كل دالة ثابتة بين الفضاءات الطوبولوجية تكون متصلة .
• تُحلل الدالة الثابتة مجموعة النقطة الواحدة ، وهي العنصر النهائي في فئة المجموعات . تُعد هذه الملاحظة أساسية لوضع بديهيات نظرية المجموعات التي وضعها ف. ويليام لوفير ، وهي النظرية الأولية لفئة المجموعات (ETCS). ^{[ 7 ]}
• لكل مجموعة غير فارغة X ، تكون كل مجموعة Y متماثلة مع مجموعة الدوال الثابتة في${\displaystyle X\to Y}$لكل X ولكل عنصر y في Y ، توجد دالة فريدة${\displaystyle {\tilde {y}}:X\to Y}$بحيث${\displaystyle {\tilde {y}}(x)=y}$للجميع${\displaystyle x\in X}$. على العكس من ذلك، إذا كانت الدالة${\displaystyle f:X\to Y}$يرضي${\displaystyle f(x)=f(x')}$للجميع${\displaystyle x,x'\in X}$،${\displaystyle f}$هي بطبيعتها دالة ثابتة.
  • وكنتيجة لذلك، فإن مجموعة النقطة الواحدة هي مولد في فئة المجموعات.
  • كل مجموعة${\displaystyle X}$متماثلة بشكل قانوني مع مجموعة الدوال${\displaystyle X^{1}}$أو مجموعة هوم${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$في فئة المجموعات، حيث 1 هي مجموعة النقطة الواحدة. وبسبب هذا، وبسبب الاقتران بين الضرب الديكارتي و hom في فئة المجموعات (لذا يوجد تماثل قانوني بين دوال متغيرين ودوال متغير واحد مُقَيَّمة في دوال متغير آخر (مفرد))،${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$تُعتبر فئة المجموعات فئة أحادية مغلقة، حيث يكون حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات هو حاصل الضرب الموتري، ومجموعة النقطة الواحدة هي وحدة الموتري. في التشاكلات${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$طبيعي في X ، وحدات الوحد اليسرى واليمنى هي الإسقاطات${\displaystyle p_{1}}$و${\displaystyle p_{2}}$الأزواج المرتبة${\displaystyle (*,x)}$و${\displaystyle (x,*)}$بالنسبة للعنصر${\displaystyle x}$، أين${\displaystyle *}$هي النقطة الفريدة في مجموعة النقاط الواحدة.

تكون الدالة على مجموعة متصلة ثابتة محلياً إذا وفقط إذا كانت ثابتة.

• هيرليش، هورست وستريكر، جورج إي.، نظرية الفئة ، هيلديرمان فيرلاغ (2007).

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الثابتة" . عالم الرياضيات .
• "الدالة الثابتة" . PlanetMath .