المورفية

في الرياضيات ، يُعدّ التشكل مفهومًا من مفاهيم نظرية الفئات ، وهو يُعمّم التطبيقات التي تحافظ على البنية، مثل التشكل بين البنى الجبرية ، والدوال من مجموعة إلى أخرى، والدوال المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية . مع أن العديد من أمثلة التشكلات هي تطبيقات تحافظ على البنية، إلا أن التشكلات لا يشترط أن تكون تطبيقات، بل يمكن تركيبها بطريقة مشابهة لتركيب الدوال .

تُعدّ التشكلات والكائنات مكونات أساسية للفئة . تربط التشكلات، التي تُسمى أيضًا الخرائط أو الأسهم ، كائنين يُطلق عليهما مصدر التشكل وهدفه . توجد عملية جزئية ، تُسمى التركيب ، على تشكلات الفئة، وتُعرَّف إذا كان هدف التشكل الأول مساويًا لمصدر التشكل الثاني. يتصرف تركيب التشكلات كتركيب الدوال ( خاصية التجميع عند تعريف التركيب، ووجود تشكل محايد لكل كائن)، ويكون ناتج التركيب تشكلًا.

تتكرر التشكلات والفئات في كثير من فروع الرياضيات المعاصرة. وقد طُرحت في الأصل للجبر التماثلي والطوبولوجيا الجبرية . وهي تُعدّ من الأدوات الأساسية لنظرية المخططات لغروتينديك ، وهي تعميم للهندسة الجبرية ينطبق أيضاً على نظرية الأعداد الجبرية .

تعريف

فئة ${\mathcal {C}}$ يتكون من فئتين ، إحداهما للكائنات والأخرى للتشاكلات . يرتبط بكل تشاكل كائنان، المصدر والهدف . التشاكل $f$ من $X$ ل $Y$ هو تشاكل ذو مصدر $X$ والهدف $Y$ تُكتب عادةً على النحو التالي: $f:X\to Y$ أو $X\xrightarrow {f} Y$ ، حيث أن الشكل الأخير أكثر ملاءمة للمخططات التبادلية .

بالنسبة للعديد من الفئات الشائعة، يُعتبر الكائن مجموعة (غالباً مع بعض البنية الإضافية)، والتشاكل دالة من كائن إلى كائن آخر. لذلك، يُطلق على مصدر التشاكل وهدفه عادةً اسمالمجال وعلى التوالي .

تُزوَّد التشكلات بعملية ثنائية جزئية تُسمى التركيب ( جزئية لأن التركيب ليس بالضرورة مُعرَّفًا على كل زوج من التشكلات في فئة ما). تركيب تشكلين $f$ و $g$ يتم تحديدها بدقة عندما يكون هدف $f$ هو مصدر $g$ ، ويُشار إليه بـ $g\circ f$ (أو أحيانًا ببساطة) $gf$ ). ينتج عن التركيب تشاكل بحيث يكون مصدر $g\circ f$ هو مصدر $f$ ، والهدف من $g\circ f$ هو هدف $g$ . يفي التركيب ببديهيتين :

هوية: لكل كائن $X$ يوجد تشاكل $\mathrm {id} _{X}:X\to X$ يُطلق عليه اسم تشاكل الهوية على $X$ بحيث يكون لكل تشاكل $f:A\to B$ لدينا $\mathrm {id} _{B}\circ f=f=f\circ \mathrm {id} _{A}$ .
الترابط: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ عندما يتم تحديد جميع التركيبات، أي عندما يكون هدف $f$ هو مصدر $g$ ، والهدف من $g$ هو مصدر $h$ .

بالنسبة لفئة ملموسة (فئة تكون فيها الكائنات عبارة عن مجموعات، ربما مع بنية إضافية، وتكون التشكلات عبارة عن دوال تحافظ على البنية)، فإن التشكل المحايد هو مجرد دالة محايدة ، والتركيب هو مجرد تركيب عادي للدوال .

غالبًا ما يتم تمثيل تركيب التشكلات بواسطة مخطط تبادلي . على سبيل المثال،

مجموعة جميع التشكلات من $X$ ل $Y$ يُشار إليه بـ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ أو ببساطة $\mathrm {Hom} (X,Y)$ وأطلق عليه اسم مجموعة المنازل الواقعة بين $X$ و $Y$ يكتب بعض المؤلفين $\mathrm {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ ، $\mathrm {Mor} (X,Y)$ أو ${\mathcal {C}}(X,Y)$ يُعدّ مصطلح "مجموعة التماثل" تسميةً غير دقيقة إلى حدٍّ ما، إذ لا يُشترط أن تكون مجموعة التشكلات مجموعةً؛ وهي فئة حيث $\mathrm {Hom} (X,Y)$ هي مجموعة لجميع الكائنات $X$ و $Y$ يُطلق عليها اسم صغيرة محليًا . ولأن مجموعات التماثل قد لا تكون مجموعات، يفضل بعض الناس استخدام مصطلح "فئة التماثل".

يُعدّ المجال والمجال المقابل جزءًا من المعلومات التي تُحدد التشكل. على سبيل المثال، في فئة المجموعات ، حيث تكون التشكلات دوالًا، قد تكون دالتان متطابقتين كمجموعات من الأزواج المرتبة، مع اختلاف مجاليهما المقابلين. هاتان الدالتان متميزتان من وجهة نظر نظرية الفئات. يشترط العديد من المؤلفين أن تكون فئات التماثل $\mathrm {Hom} (X,Y)$ أن تكون منفصلة . من الناحية العملية، لا يمثل هذا مشكلة لأنه إذا لم يتحقق هذا الانفصال، فيمكن ضمانه عن طريق إلحاق المجال والمجال المقابل بالتشاكلات (على سبيل المثال، كمكونين ثاني وثالث لثلاثية مرتبة).

بعض التشكلات الخاصة

الأشكال الأحادية والأشكال المتداخلة

التشكل $f:X\to Y$ يُطلق عليه اسم أحادي الشكل إذا $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ يشير إلى $g_{1}=g_{2}$ لجميع التشكلات $g_{1},g_{2}:Z\to X$ يمكن تسمية الشكل الأحادي اختصارًا بـ "أحادي" ، ويمكننا استخدام "أحادي" كصفة. ^{[ 1 ]} الشكل $f$ له معكوس يساري أو يكون أحادي الشكل منقسم إذا كان هناك شكل $g:Y\to X$ بحيث $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ . هكذا $f\circ g:Y\to Y$ هو دالة متكررة ؛ أي $(f\circ g)^{2}=f\circ (g\circ f)\circ g=f\circ g$ المعكوس الأيسر $g$ ويُطلق عليه أيضاً اسم التراجع عن $f$ [ ¹^]

التشاكلات ذات المعكوسات اليسرى هي دائماً تشاكلات أحادية ( $f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{1}=f_{l}^{-1}\circ f\circ g_{2}$ يشير إلى $g_{1}=g_{2}$ ، أين $f_{l}^{-1}$ هو المعكوس الأيسر لـ $f$ لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام؛ فقد لا يمتلك التشاكل الأحادي معكوسًا أيسر. في الفئات الملموسة ، حيث تكون التشاكلات دوالًا، يكون التشاكل الذي يمتلك معكوسًا أيسرًا أحاديًا ، والتشاكل الأحادي الأحادي هو تشاكل أحادي. في الفئات الملموسة، غالبًا ما تكون التشاكلات الأحادية أحادية، ولكن ليس دائمًا؛ وبالتالي فإن شرط كونها أحادية أقوى من شرط كونها أحادية، ولكنه أضعف من شرط كونها أحادية منقسمة.

على عكس التشكلات الأحادية، فإن التشكل $f:X\to Y$ يُطلق عليه اسم التماثل الفوقي إذا $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ يشير إلى $g_{1}=g_{2}$ لجميع التشكلات $g_{1},g_{2}:Y\to Z$ يمكن تسمية التشاكل الفوقي اختصارًا بـ "إبي" ، ويمكننا استخدام كلمة "إبيك " كصفة. ^{[ 1 ]} التشاكل $f$ له معكوس أيمن أو يكون تشاكلًا فوقيًا منقسمًا إذا كان هناك تشاكل $g:Y\to X$ بحيث $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ المعكوس الأيمن $g$ ويُطلق عليه أيضًا اسم قسم من $f$ [ ¹^] التشاكلات التي لها معكوس يميني هي دائمًا تشاكلات شاملة ⁽ $g_{1}\circ f\circ f_{r}^{-1}=g_{2}\circ f\circ f_{r}^{-1}$ يشير إلى $g_{1}=g_{2}$ أين $f_{r}^{-1}$ هو المعكوس الأيمن لـ $f$ )، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام، حيث قد يفشل التحويل الفوقي في أن يكون له معكوس يميني.

إذا كان أحادي الشكل $f$ ينقسم مع عكس اليسار $g$ ، ثم $g$ هو شكل فوقي منقسم مع معكوس أيمن $f$ في الفئات الملموسة ، تُسمى الدالة التي لها معكوس يميني دالة شاملة . ^{[ 2 ]} وبالتالي، في الفئات الملموسة، غالبًا ما تكون الدوال الشاملة شاملة، ولكن ليس دائمًا. شرط كون الدالة شاملة أقوى من شرط كونها شاملة، ولكنه أضعف من شرط كونها شاملة منقسمة. في فئة المجموعات ، فإن القول بأن لكل دالة شاملة مقطعًا يُكافئ بديهية الاختيار .

يُطلق على التشاكل الذي يكون في نفس الوقت تشاكلًا فوقيًا وتشاكلًا أحاديًا اسم التشاكل الثنائي .

على سبيل المثال، في فئة الفضاءات المتجهة على حقل ثابت، تكون التشكلات الحقنية، والتشكلات الأحادية، والتشكلات الأحادية المنقسمة متماثلة، وكذلك التشكلات الشاملة، والتشكلات فوقية، والتشكلات فوقية المنقسمة.

في فئة الحلقات التبادلية ، تكون التشكلات الأحادية والتشكلات الحقنية متماثلة، بينما الحقن من $\mathbb {Z}$ إلى $\mathbb {Q}$ هو تشاكل فوقي غير شامل؛ فهو ليس تشاكلاً فوقياً منقسماً ولا تشاكلاً أحادياً منقسماً. (انظر قسم التشاكل#التشاكلات الخاصة لمزيد من التفاصيل والبراهين.)

التشاكلات

التشكل $f:X\to Y$ يُطلق عليه اسم التشاكل إذا وُجد تشاكل $g:Y\to X$ بحيث $f\circ g=\mathrm {id} _{Y}$ و $g\circ f=\mathrm {id} _{X}$ إذا كان للتشاكل معكوس أيسر ومعكوس أيمن، فإن المعكوسين متساويان، لذلك $f$ هو تماثل، و $g$ يُطلق عليه ببساطة عكس $f$ تكون التشاكلات العكسية، إن وجدت، فريدة. $g$ وهو أيضًا تماثل، مع معكوس $f$ يُقال عن جسمين بينهما تماثل أو تكافؤ.

على الرغم من أن كل تماثل هو تماثل ثنائي، إلا أن التماثل الثنائي ليس بالضرورة تماثلاً. على سبيل المثال، في فئة الحلقات التبديلية، فإن الاحتواء $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ هو ثنائي الشكل ليس تماثلاً. مع ذلك، أي شكل يكون في الوقت نفسه شكلاً فوقياً وشكلاً أحادياً منقسماً ، أو شكلاً أحادياً وشكلاً فوقياً منقسماً ، يجب أن يكون تماثلاً. تُعرف الفئة، مثل فئة المجموعة ، التي يكون فيها كل شكل ثنائي الشكل تماثلاً، بالفئة المتوازنة .

التشكلات الداخلية والتشكلات الذاتية

التشكل $f:X\to X$ (أي، التشكل الذي له مصدر وهدف متطابقان) هو تشكل داخلي لـ $X$ التشاكل الداخلي المنقسم هو تشاكل داخلي متطابق $f$ لو $f$ يسمح بالتحلل $f=h\circ g$ مع $g\circ h=\mathrm {id}$ . على وجه الخصوص، يقوم غلاف كاروبي لفئة ما بتقسيم كل تشاكل متماثل.

التشاكل الذاتي هو تشاكل يكون تشاكلاً داخلياً وتشاكلاً متماثلاً في آن واحد. في كل فئة، تشكل التشاكلات الذاتية للكائن دائمًا زمرة تُسمى زمرة التشاكل الذاتي للكائن.

أمثلة

بالنسبة للبنى الجبرية الشائعة في الجبر ، مثل الزمر والحلقات والوحدات النمطية، فإن التشكلات عادةً ما تكون تشكلات متماثلة ، ومفاهيم التشاكل الذاتي، والتشاكل الداخلي، والتشاكل الفوقي، والتشاكل الأحادي هي نفسها المفاهيم المذكورة سابقًا. مع ذلك، في حالة الحلقات، يُعتبر مصطلح "التشاكل الفوقي" غالبًا مرادفًا لمصطلح " الشمولية "، على الرغم من وجود تشكلات فوقية حلقية غير شاملة (مثل تضمين الأعداد الصحيحة في الأعداد النسبية ).
في فئة الفضاءات الطوبولوجية ، والتي يُشار إليها غالبًا بـ $\mathbf {Top}$ تُسمى التشكلات الدوال المتصلة ، وتُسمى التشاكلات التشاكلات الموضعية . توجد تقابلات متصلة (أي تشاكلات بين مجموعات) ليست تشاكلات موضعية.
في فئة المشعبات الملساء ، تكون التشاكلات هي الدوال الملساء وتسمى التشاكلات بالتشاكلات التفاضلية .
في فئة الفئات الصغيرة ، تكون التشكلات عبارة عن دوال .
في فئة الدوال ، تكون التشكلات عبارة عن تحويلات طبيعية .

للمزيد من الأمثلة، انظر نظرية الفئات .

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 3 4 جاكوبسون (2009)، ص. 15.
↑ "الشمولية إذا وفقط إذا كان الإلغاء من اليمين" . ProofWiki . تم الاسترجاع في 30-06-2025 .

مراجع

جاكوبسون، ناثان (2009)، الجبر الأساسي ، المجلد 2 ( الطبعة الثانية)، دوفر، رقم ISBN 978-0-486-47187-7.
أداميك، جيري؛ هيرليخ، هورست؛ ستريكر، جورج إي. (1990). الفئات المجردة والخرسانية (PDF) . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-471-60922-6.متوفر الآن كنسخة إلكترونية مجانية (ملف PDF بحجم 4.2 ميجابايت).

روابط خارجية

"المورفية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[jacobson:morphisms-1] 1 2 3 4 جاكوبسون (2009)، ص. 15.

[2] "الشمولية إذا وفقط إذا كان الإلغاء من اليمين" . ProofWiki . تم الاسترجاع في 30-06-2025 .

[ 2 ]