عنصر امتصاص

في الرياضيات ، يُعرف العنصر الممتص (أو العنصر المُفني ) بأنه نوع خاص من عناصر المجموعة بالنسبة لعملية ثنائية تُجرى على تلك المجموعة. ينتج عن دمج عنصر ممتص مع أي عنصر من عناصر المجموعة العنصر الممتص نفسه. في نظرية أنصاف الزمر ، يُسمى العنصر الممتص بالعنصر الصفري ^{[ 1 ] [ 2 ]،} لأنه لا يوجد خطر للخلط بينه وبين مفاهيم أخرى للصفر ، باستثناء ملحوظ: في ظل الترميز الجمعي، قد يُشير الصفر ، بشكل طبيعي، إلى العنصر المحايد في أحادي الزمرة. في هذه المقالة، يُستخدم مصطلحا "العنصر الصفري" و"العنصر الممتص" بشكل مترادف.

بصورة رسمية، دع${\displaystyle (S,*)}$كن مجموعة${\displaystyle S}$مع عملية ثنائية مغلقة${\displaystyle *}$عليها (المعروفة باسم الصهارة ). العنصر الصفري (أو العنصر الممتص / المفني ) هو عنصر${\displaystyle z}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle s}$في${\displaystyle S}$،${\displaystyle z*s=s*z=z}$يمكن تحسين هذا المفهوم إلى مفهوم الصفر الأيسر ، حيث لا يتطلب الأمر سوى ذلك .${\displaystyle z*s=z}$، والصفر الأيمن ، حيث${\displaystyle s*z=z}$[ ^{2 ]​}

تُعدّ العناصر الممتصة ذات أهمية خاصة بالنسبة لأنصاف الزمر ، ولا سيما نصف الزمرة الضربية لنصف الحلقة . في حالة نصف الحلقة ذات${\displaystyle 0}$يتم أحيانًا تخفيف تعريف العنصر الممتص بحيث لا يُشترط أن يكون ممتصًا.${\displaystyle 0}$؛ خلاف ذلك،${\displaystyle 0}$سيكون العنصر الوحيد الممتص. ^{[ 3 ]}

• إذا كان للصهارة صفر أيسر${\displaystyle z}$وصفر أيمن${\displaystyle z'}$إذن، يكون لها صفر، لأن${\displaystyle z=z*z'=z'}$.
• يمكن أن تحتوي الصهارة على عنصر صفري واحد على الأكثر.

• أشهر مثال على العنصر الممتص يأتي من الجبر الابتدائي، حيث أن أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن الصفر عنصر ممتص.
• يُعتبر الصفر في أي حلقة عنصرًا ماصًا أيضًا. بالنسبة لعنصر ما${\displaystyle r}$من خاتم${\displaystyle R}$،${\displaystyle r0=r(0+0)=r0+r0}$، لذا${\displaystyle 0=r0}$لأن الصفر هو العنصر الوحيد${\displaystyle a}$والتي${\displaystyle rr=a}$لأي${\displaystyle r}$في الحلبة${\displaystyle R}$تنطبق هذه الخاصية أيضًا على مولد الأرقام العشوائية نظرًا لعدم اشتراط العنصر المحايد الضربي.
• تتضمن العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة ، كما هو محدد في معيار IEEE-754، قيمة خاصة تسمى "ليس رقمًا" (${\displaystyle \mathrm {NaN} }$). إنه عنصر امتصاص لكل عملية؛ أي،${\displaystyle x+\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} +x=\mathrm {NaN} }$،${\displaystyle x-\mathrm {NaN} =\mathrm {NaN} -x=\mathrm {NaN} }$، إلخ.
• مجموعة العلاقات الثنائية على مجموعة${\displaystyle X}$، بالإضافة إلى تركيب العلاقات يشكل أحاديًا مع الصفر، حيث يكون العنصر الصفري هو العلاقة الفارغة ( المجموعة الفارغة ).
• الفترة المغلقة${\displaystyle H=[0,1]}$مع${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$وهي أيضًا مجموعة أحادية تحتوي على الصفر، وعنصرها الصفري هو${\displaystyle 0}$.
• أمثلة أخرى:

اِختِصاص	عملية		ماص
أرقام حقيقية	${\displaystyle \cdot }$	الضرب	0
الأعداد الصحيحة	${\displaystyle \gcd }$	القاسم المشترك الأكبر	1
${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$المصفوفات المربعة		ضرب المصفوفات		مصفوفة جميع أصفارها
الأعداد الحقيقية الموسعة	${\displaystyle \min ,\inf }$	الحد الأدنى/الحد الأدنى	${\displaystyle -\infty }$
	${\displaystyle \max ,\sup }$	الحد الأقصى/الأعلى	${\displaystyle +\infty }$
مجموعات	${\displaystyle \cap }$	تقاطع	${\displaystyle \varnothing }$	مجموعة فارغة
المجموعات الجزئية من مجموعة${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cup }$	الاتحاد	${\displaystyle M}$
المنطق البولياني	${\displaystyle \land }$	منطقي و	${\displaystyle \bot }$	زيف
	${\displaystyle \lor }$	منطقي أو	${\displaystyle \top }$	حقيقة

• مجموعة امتصاصية - مجموعة يمكن "نفخها" للوصول إلى أي نقطة 
• المُبيد (توضيح)
• المُبيد (نظرية الحلقات) - مثالي يُحول مجموعة جزئية من وحدة إلى الصفر 
• مثالي (نظرية الحلقة)
• العنصر المتساوي القوة (في نظرية الحلقات) – في الرياضيات، هو العنصر الذي يساوي مربعه – عنصر  ${\displaystyle x}$من حلقة بحيث${\displaystyle x^{2}=x}$
• عنصر الهوية - عنصر محدد من بنية جبرية 
• شبه المجموعة الصفرية

• هاوي، جون م. (1995). أساسيات نظرية شبه الزمر . مطبعة كلارندون . ISBN 0-19-851194-9.
• كيلب، م.؛ كناور، يو. Mikhalev، AV (2000)، “Monoids، Acts and Categories مع تطبيقات على منتجات الأكاليل والرسوم البيانية”، معارض De Gruyter في الرياضيات ، المجلد.  29 والتر دي جرويتر، ISBN 3-11-015248-7
• جولان، جوناثان س. (1999). أنصاف الحلقات وتطبيقاتها . سبرينغر. ISBN 0-7923-5786-8.

• عنصر امتصاص في بلانيت ماث