العنصر الصفري

في الرياضيات ، يُعدّ العنصر الصفري أحد التعميمات العديدة للعدد صفر في بنى جبرية أخرى . وقد تُختزل هذه المعاني البديلة إلى الشيء نفسه أو لا، وذلك بحسب السياق.

العنصر المحايد الجمعي هو العنصر المحايد في زمرة أو شبه زمرة جمعية . وهو يقابل العنصر${\displaystyle 0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x}$في المجموعة،${\displaystyle 0+x=x+0=x}$تتضمن بعض الأمثلة على العنصر المحايد الجمعي ما يلي:

• المتجه الصفري في عملية جمع المتجهات : هو المتجه الذي تكون جميع مكوناته صفرية${\displaystyle 0}$في فضاء متجهي معياري ، يكون معياره (طوله) أيضًا${\displaystyle 0}$يُشار إليه غالبًا باسم${\displaystyle \mathbf {0} }$أو${\displaystyle {\vec {0}}}$[ ^{1 ]​}
• الدالة الصفرية أو الخريطة الصفرية المعرفة بواسطة${\displaystyle z(x)=0}$، في ظل الجمع النقطي${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• المجموعة الفارغة تحت اتحاد المجموعات
• مجموع فارغ أو ناتج مشترك فارغ
• كائن أولي في فئة (ناتج مشترك فارغ، وبالتالي عنصر محايد في ظل النواتج المشتركة )

يُعمم العنصر الممتص في شبه المجموعة الضربية أو شبه الحلقة الخاصية${\displaystyle 0\cdot x=0}$ومن الأمثلة على ذلك:

• المجموعة الفارغة ، وهي عنصر امتصاصي تحت الضرب الديكارتي للمجموعات، لأن${\displaystyle \varnothing \times S=\varnothing }$
• الدالة الصفرية أو الخريطة الصفرية المعرفة بواسطة${\displaystyle z(x)=0}$في عملية الضرب النقطي${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

العديد من العناصر الممتصة هي أيضًا عناصر محايدة جمعية، بما في ذلك المجموعة الفارغة والدالة الصفرية. ومن الأمثلة المهمة الأخرى العنصر المميز.${\displaystyle 0}$في حقل أو حلقة ، وهو كل من العنصر المحايد الجمعي والعنصر الممتص الضربي، ويكون مثالي الرئيسي هو أصغر مثالي.

الكائن الصفري في فئة ما هو كائن ابتدائي ونهائي في آنٍ واحد (وبالتالي هو كائن محايد في كلٍّ من الضرب المشترك والضرب ). على سبيل المثال، البنية التافهة (التي تحتوي على الكائن المحايد فقط) هي كائن صفري في الفئات التي يجب أن تربط فيها التشكلات الكائنات المحايدة ببعضها. ومن الأمثلة المحددة ما يلي:

• المجموعة التافهة ، التي تحتوي فقط على العنصر المحايد (عنصر صفري في فئة المجموعات ).
• الوحدة الصفرية ، التي تحتوي فقط على العنصر المحايد (كائن صفري في فئة الوحدات فوق حلقة)

A zero morphism in a category is a generalised absorbing element under function composition: any morphism composed with a zero morphism gives a zero morphism. Specifically, if ${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$ is the zero morphism among morphisms from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$, and ${\displaystyle f:A\to X}$ and ${\displaystyle g:Y\to B}$ are arbitrary morphisms, then ${\displaystyle g\circ 0_{XY}=0_{XB}}$ and ${\displaystyle 0_{XY}\circ f=0_{AY}}$.

If a category has a zero object ${\displaystyle 0}$, then there are canonical morphisms ${\displaystyle X\to 0}$ and ${\displaystyle 0\to Y}$, and composing them gives a zero morphism ${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$. In the category of groups, for example, zero morphisms are morphisms which always return group identities, thus generalising the function ${\displaystyle z(x)=0}$.

A least element in a partially ordered set or lattice may sometimes be called a zero element, and written either as ${\displaystyle 0}$ or ${\displaystyle \bot }$.

In mathematics, the zero module is the module consisting of only the additive identity for the module's addition function. In the integers, this identity is zero, which gives the name zero module. That the zero module is in fact a module is simple to show; it is closed under addition and multiplication trivially.

In mathematics, the zero ideal in a ring${\displaystyle R}$ is the ideal${\displaystyle 0}$ consisting of only the additive identity (or zero element). The fact that this is an ideal follows directly from the definition.

In mathematics, particularly linear algebra, a zero matrix is a matrix with all its entries being zero. It is alternately denoted by the symbol ${\displaystyle O}$.^[2] Some examples of zero matrices are

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

The set of m × n matrices with entries in a ringK forms a module ${\displaystyle K_{m,n}}$. The zero matrix ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$ in ${\displaystyle K_{m,n}}$ is the matrix with all entries equal to ${\displaystyle 0_{K}}$, where ${\displaystyle 0_{K}}$ is the additive identity in K.

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

The zero matrix is the additive identity in ${\displaystyle K_{m,n}}$. That is, for all ${\displaystyle A\in K_{m,n}}$:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

There is exactly one zero matrix of any given size ${\displaystyle m\times n}$ (with entries from a given ring), so when the context is clear, one often refers to the zero matrix. In a matrix ring, the zero matrix serves the role of both an additive identity and an absorbing element. In general, the zero element of a ring is unique, and typically denoted as ${\displaystyle 0}$ without any subscript to indicate the parent ring. Hence the examples above represent zero matrices over any ring.

The zero matrix also represents the linear transformation which sends all vectors to the zero vector.

In mathematics, the zero tensor is a tensor, of any order, all of whose components are zero. The zero tensor of order ${\displaystyle 1}$ is sometimes known as the zero vector.

Taking a tensor product of any tensor with any zero tensor results in another zero tensor. Among tensors of a given type, the zero tensor of that type serves as the additive identity among those tensors.

• Null semigroup
• Zero divisor
• Zero object
• Zero of a function
• Zero — non-mathematical uses