دالة ذات قيم متجهة

يتم تعريف المشتق الجزئي لدالة متجهة a بالنسبة لمتغير قياسي q على النحو التالي ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial a_{i}}{\partial q}}\mathbf {e} _{i}}$$ حيث يمثل aᵢ المركبة العددية للمتجه a _في اتجاه eᵢ . ويُسمى أيضًا _جيب تمام الاتجاه للمتجهين a و eᵢ أو _حاصل ضربهما القياسي . تشكل المتجهات e₁ _و e₂ _و e₃ أساسًا متعامدًا ثابتًا في الإطار المرجعي الذي تُحسب فيه _{المشتقة} .

إذا اعتبرنا a دالة متجهة لمتغير قياسي واحد، مثل الزمن t ، فإن المعادلة أعلاه تختزل إلى المشتق الزمني العادي الأول لـ a بالنسبة إلى t ، ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}.}$$

إذا كان المتجه a دالة لعدد n من المتغيرات العددية q _r ( r = 1, ..., n ) ، وكان كل q _r دالة للوقت t فقط ، فإن المشتقة العادية لـ a بالنسبة إلى t يمكن التعبير عنها، في شكل يُعرف باسم المشتقة الكلية ، على النحو التالي ^{[ 1 ].}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q_{r}}}{\frac {dq_{r}}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial t}}.}$$

يفضل بعض المؤلفين استخدام الحرف D الكبير للإشارة إلى عامل المشتقة الكلية، كما في D / Dt . وتختلف المشتقة الكلية عن المشتقة الزمنية الجزئية في أن المشتقة الكلية تأخذ في الحسبان التغيرات في a الناتجة عن التباين الزمني للمتغيرات q _r .

بينما لا يوجد سوى إطار مرجعي واحد ممكن للدوال العددية ، فإن حساب مشتقة دالة متجهة يتطلب اختيار إطار مرجعي (على الأقل عندما لا يُفترض وجود نظام إحداثيات ديكارتية ثابت). بمجرد اختيار الإطار المرجعي، يمكن حساب مشتقة الدالة المتجهة باستخدام تقنيات مشابهة لتلك المستخدمة في حساب مشتقات الدوال العددية. وبشكل عام، ينتج عن اختيار إطار مرجعي مختلف دالة مشتقة مختلفة. وترتبط دوال المشتقة في الأطر المرجعية المختلفة بعلاقة حركية محددة .

تعتمد الصيغ المذكورة أعلاه لحساب مشتقة دالة متجهة على افتراض أن متجهات الأساس e1 ، e2 ، e3 ثابتة، أي أنها مثبتة في الإطار المرجعي الذي تُحسب فيه مشتقة الدالة _a ، وبالتالي فإن مشتقة كل من e1، e2 ، _{e3 تساوي صفرًا} . غالبًا ما يصح هذا الافتراض في المسائل المتعلقة بحقول المتجهات في نظام إحداثيات ثابت، أو في المسائل البسيطة في الفيزياء . مع ذلك، تتضمن العديد من المسائل المعقدة _حساب مشتقة دالة متجهة في أطر مرجعية متحركة متعددة، مما يعني أن متجهات الأساس لن تكون ثابتة بالضرورة. في هذه الحالة، حيث تكون متجهات الأساس _e1 ، e2 _، e3 _ثابتة في الإطار المرجعي E، ولكنها غير _ثابتة في الإطار المرجعي N، فإن الصيغة الأكثر عمومية لحساب المشتقة الزمنية العادية لمتجه في الإطار المرجعي N هي ^{[ 1 ]} .$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N}} d\mathbf {a} }{dt}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {da_{i}}{dt}}\mathbf {e} _{i}+\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\frac {{}^{\mathrm {N} }د\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$$ حيث يشير الرمز N العلوي على يسار عامل الاشتقاق إلى الإطار المرجعي الذي يُجرى فيه الاشتقاق. وكما سبق بيانه ، فإن الحد الأول في الطرف الأيمن يساوي مشتقة a في الإطار المرجعي E حيث e₁ _و e₂ و e₃ ثوابت _. ويمكن أيضًا إثبات أن الحد الثاني في الطرف الأيمن يساوي السرعة الزاوية النسبية للإطارين المرجعيين مضروبة ضربًا تبادليًا في المتجه a نفسه. ^{[ 1 ]} وبالتالي، بعد التعويض ، _تكون الصيغة التي تربط مشتقة دالة متجهة في إطارين مرجعيين هي ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N}} d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {{}^{\mathrm {E} }d\mathbf {a} }{dt}}+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {أ} }$$ حيث ^N ω ^E هي السرعة الزاوية للإطار المرجعي E بالنسبة للإطار المرجعي N.

أحد الأمثلة الشائعة لاستخدام هذه الصيغة هو إيجاد سرعة جسم فضائي، مثل صاروخ ، في الإطار المرجعي العطالي باستخدام قياسات سرعة الصاروخ بالنسبة للأرض. يمكن إيجاد السرعة ^N v ^R في الإطار المرجعي العطالي N لصاروخ R موجود في الموضع r ^R باستخدام الصيغة. $${\displaystyle {\frac {{}^{\mathrm {N} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })={\frac {{}^{\mathrm {E} }d}{dt}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {R} })+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega} ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {R} }.}$$ حيث ^{NωE هي} السرعة الزاوية للأرض بالنسبة للإطار المرجعي N. وبما أن السرعة هي مشتقة الموضع، فإن ^{NvR وEvR هما مشتقتا rR} في ^{الإطارين} المرجعيين ^{N و} E على التوالي . وبالتعويض ^،$${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {E} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }+{}^{\mathrm {N} }\mathbf {\omega } ^{\mathrm {E} }\times \mathbf {r} ^ {\mathrm {R} }}$$ حيث ^E v ^R هو متجه سرعة الصاروخ كما تم قياسه من إطار مرجعي E مثبت على الأرض.

يتشابه سلوك مشتق حاصل ضرب الدوال المتجهة مع سلوك مشتق حاصل ضرب الدوال القياسية. ^{[ أ ]} تحديدًا، في حالة الضرب القياسي لمتجه، إذا كانت p دالة قياسية للمتغير q ، ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(p\mathbf {a} )={\frac {\partial p}{\partial q}}\mathbf {a} +p{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}.}$$

في حالة الضرب النقطي ، بالنسبة لمتجهين a و b كلاهما دالتان لـ q ، ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial} {\partial q}}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial ف}}.}$$

وبالمثل، فإن مشتق الضرب الاتجاهي لدالتين متجهتين هو ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial q}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {\partial \mathbf {b} }{\partial q}}.}$$

دالة f لعدد حقيقي t بقيم في الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \mathbf {f} (t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),\ldots ,f_{n}(t))}$مشتقته تساوي $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),\ldots ,f_{n}'(t)).}$$ إذا كانت f دالة لعدة متغيرات، لنقل${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{m}}$ثم تشكل المشتقات الجزئية لمكونات f${\displaystyle n\times m}$مصفوفة تسمى مصفوفة جاكوبي للدالة f .

إذا كان وسيط الدالة f عددًا حقيقيًا وكان X فضاء هيلبرت، فيمكن تعريف مشتقة الدالة f عند نقطة t كما في الحالة ذات الأبعاد المحدودة:$${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}}.}$$ تنطبق معظم نتائج الحالة ذات الأبعاد المحدودة أيضًا على الحالة ذات الأبعاد غير المحدودة، مع مراعاة الاختلافات الطفيفة . ويمكن تعريف التفاضل أيضًا لدوال ذات عدة متغيرات (مثلًا،${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$أو حتى${\displaystyle t\in Y}$(حيث Y عبارة عن فضاء متجهي لا نهائي الأبعاد).

ملاحظة: إذا كان X فضاء هيلبرت، فيمكن إثبات بسهولة أنه يمكن حساب أي مشتقة (وأي نهاية أخرى) عنصرًا عنصرًا: إذا$${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )}$$ (أي،${\displaystyle \mathbf {f} =f_{1}\mathbf {e} _{1}+f_{2}\mathbf {e} _{2}+f_{3}\mathbf {e} _{3}+\cdots }$، أين${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\ldots }$هي أساس متعامد للفضاء X )، و${\displaystyle f'(t)}$موجود، إذن $${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t),\ldots ).}$$ ومع ذلك، فإن وجود مشتقة مكونة لا يضمن وجود مشتقة، لأن التقارب المكون في فضاء هيلبرت لا يضمن التقارب فيما يتعلق بالطوبولوجيا الفعلية لفضاء هيلبرت.

معظم ما سبق ينطبق على فضاءات المتجهات الطوبولوجية الأخرى X أيضًا. مع ذلك، لا تنطبق العديد من النتائج الكلاسيكية على فضاءات باناخ ، على سبيل المثال، الدالة المطلقة الاستمرارية التي لها قيم في فضاء باناخ مناسب لا يشترط أن يكون لها مشتقة في أي مكان. علاوة على ذلك، لا توجد قواعد متعامدة في معظم فضاءات باناخ.