فضاء وينر المجرد

يُعد مفهوم فضاء وينر المجرد بناءً رياضيًا طوره ليونارد غروس لفهم بنية المقاييس الغاوسية على الفضاءات اللانهائية الأبعاد. ويؤكد هذا البناء على الدور المحوري الذي يلعبه فضاء كاميرون-مارتن ، ويُعد فضاء وينر الكلاسيكي المثال النموذجي له.

تنص نظرية البنية للمقاييس الغاوسية على أنه يمكن تمثيل جميع المقاييس الغاوسية بواسطة بناء فضاء وينر المجرد .

يترك${\displaystyle H}$ليكن فضاء هيلبرت حقيقيًا ، يُفترض أنه لا نهائي الأبعاد وقابل للفصل . في أدبيات الفيزياء، يصادف المرء غالبًا تكاملات من الشكل التالي:

${\frac {1}{Z}}\int _{H}f(v)e^{-{\frac {1}{2}}\Vert v\Vert ^{2}}Dv,$

أين${\displaystyle Z}$من المفترض أن يكون ثابتًا للتطبيع، وحيث${\displaystyle Dv}$من المفترض أن يكون مقياس ليبيغ غير موجود على${\displaystyle H}$تنشأ هذه التكاملات، على وجه الخصوص، في سياق صياغة التكامل المساري الإقليدي لنظرية الحقل الكمومي. على المستوى الرياضي، لا يمكن تفسير هذا التكامل على أنه تكامل مقابل مقياس على فضاء هيلبرت الأصلي.${\displaystyle H}$من ناحية أخرى، لنفترض${\displaystyle B}$هو فضاء باناخ يحتوي على${\displaystyle H}$كفضاء فرعي كثيف . إذا${\displaystyle B}$أكبر بما فيه الكفاية من${\displaystyle H}$إذاً، يمكن تفسير التكامل أعلاه على أنه تكامل مقابل مقياس (غاوسي) محدد جيدًا على${\displaystyle B}$في هذه الحالة، الزوج${\displaystyle (H,B)}$يُشار إليه باسم فضاء وينر المجرد.

المثال النموذجي هو فضاء وينر الكلاسيكي، الذي فيه${\displaystyle H}$هو فضاء هيلبرت للدوال ذات القيم الحقيقية${\displaystyle b}$على فاصل زمني${\displaystyle [0,T]}$المشتقة الأولى في${\displaystyle L^{2}}$ومُرضٍ${\displaystyle b(0)=0}$، حيث يتم تحديد المعيار بواسطة

${\displaystyle \left\Vert b\right\Vert ^{2}=\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt.}$

في هذه الحالة،${\displaystyle B}$يمكن اعتبارها فضاء باناخ للدوال المتصلة على${\displaystyle [0,T]}$باستخدام معيار القيمة العليا . في هذه الحالة، يكون المقياس على${\displaystyle B}$هو مقياس وينر الذي يصف الحركة البراونية التي تبدأ من نقطة الأصل. الفضاء الفرعي الأصلي${\displaystyle H\subset B}$يُطلق عليه اسم فضاء كاميرون-مارتن ، والذي يشكل مجموعة ذات قياس صفري بالنسبة إلى قياس وينر.

ما يعنيه المثال السابق هو أن لدينا تعبيرًا رسميًا لمقياس وينر معطى بواسطة $${\displaystyle d\mu (b)={\frac {1}{Z}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt\right\}\,Db.}$$

على الرغم من أن هذا التعبير الرسمي يشير إلى أن مقياس وينر يجب أن يكون موجودًا في فضاء المسارات التي${\textstyle \int _{0}^{T}b'(t)^{2}\,dt<\infty }$، هذا ليس هو الحال في الواقع، حيث من المعروف أن مسارات براون العينة غير قابلة للتفاضل في أي مكان تقريبًا ، على الرغم من أنه يمكن تعميمها على القياسات العشوائية كتوزيعات معتدلة من خلال الدالة المميزة كمقياس للضوضاء البيضاء .

يُجرّد بناء فضاء وينر المجرد لغروس الوضع بالنسبة لفضاء وينر الكلاسيكي، ويُقدّم شرطًا ضروريًا وكافيًا (وإن كان يصعب التحقق منه أحيانًا) لوجود المقياس الغاوسي على${\displaystyle B}$على الرغم من أن المقياس الغاوسي${\displaystyle \mu }$لا يزال حيًا${\displaystyle B}$بدلاً من${\displaystyle H}$إنها هندسة${\displaystyle H}$بدلاً من${\displaystyle B}$التي تتحكم في خصائص${\displaystyle \mu }$وكما يقول غروس نفسه ^{[ 1 ]} (مُعدَّلًا ليناسب ترميزنا): "مع ذلك، لم يتضح إلا مع عمل إي. إي. سيغال الذي تناول التوزيع الطبيعي على فضاء هيلبرت حقيقي، أن دور فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$كان ذلك بالفعل أمراً محورياً، وذلك بقدر ما يتعلق الأمر بالتحليل.${\displaystyle B}$فيما يتعلق بدور${\displaystyle B}$كانت بحد ذاتها مساعدة للعديد من نظريات كاميرون ومارتن، بل وفي بعض الحالات كانت غير ضرورية. إحدى السمات الجذابة لبناء فضاء وينر المجرد لغروس هي أنها تأخذ${\displaystyle H}$كنقطة انطلاق ويعامل${\displaystyle B}$كعنصر مساعد.

على الرغم من أن التعبيرات الرسمية لـ${\displaystyle \mu }$إن التعبيرات التي ظهرت سابقًا في هذا القسم هي تعبيرات رسمية بحتة، على غرار التعبيرات الفيزيائية، وهي مفيدة جدًا في المساعدة على فهم خصائص${\displaystyle \mu }$والجدير بالذكر أنه يمكن بسهولة استخدام هذه التعبيرات لاستنتاج الصيغة (الصحيحة!) لكثافة المقياس المترجم${\displaystyle d\mu (b+h)}$بالنسبة إلى${\displaystyle d\mu (b)}$، ل${\displaystyle h\in H}$(انظر نظرية كاميرون-مارتن .)

• ${\displaystyle \mu }$هو مقياس بوريل : يتم تعريفه على جبر بوريل σ الناتج عن المجموعات الفرعية المفتوحة من B.
• ${\displaystyle \mu }$هو مقياس غاوسي بمعنى أن f _∗ (${\displaystyle \mu }$) هو مقياس غاوسي على R لكل دالة خطية f ∈ B ^∗ ، f ≠ 0 .
• لذلك،${\displaystyle \mu }$موجبة تمامًا ومحدودة محليًا.
• سلوك${\displaystyle \mu }$يتم وصف عملية الترجمة بواسطة نظرية كاميرون-مارتن .
• بفرض وجود فضاءين مجردين من نوع وينر، i ₁  : H ₁ → B ₁ و i ₂  : H ₂ → B ₂ ، يمكن إثبات أن${\displaystyle \gamma _{12}=\gamma _{1}\otimes \gamma _{2}}$كاملاً:$${\displaystyle (i_{1}\times i_{2})_{*}(\mu ^{H_{1}\times H_{2}})=(i_{1})_{*}\left(\mu ^{H_{1}}\right)\otimes (i_{2})_{*}\left(\mu ^{H_{2}}\right),}$$أي، مقياس وينر المجرد${\displaystyle \mu _{12}}$إن حاصل الضرب الديكارتي B ₁ × B ₂ هو حاصل ضرب مقاييس وينر المجردة على العاملين B ₁ و B ₂ .
• إذا كانت H (و B ) ذات أبعاد لا نهائية، فإن صورة H لها قياس يساوي صفرًا . هذه الحقيقة هي نتيجة لقانون كولموغوروف للصفر والواحد .
• خريطة الإدماج${\displaystyle i\colon H\hookrightarrow E}$يُعد مثالاً على${\displaystyle \gamma }$- خريطة تحويل الرادون ، منذ إجراء الدفع للأمام${\displaystyle i_{*}\mu }$هو مقياس للرادون . وقد صاغ غروس في الأصل شرطًا ضروريًا وكافيًا لـ${\displaystyle \gamma }$-الرادونية من حيث المعايير شبه القابلة للقياس.

يأخذ المثال النموذجي لفضاء وينر المجرد الفضاء${\displaystyle B}$أن تكون فضاء وينر الكلاسيكي ، أي فضاء المسارات المتصلة . الفضاء الجزئي${\displaystyle H}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}H&:=L_{0}^{2,1}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\\&:=\{{\text{Absolutely continuous paths starting at 0 with square-integrable first derivative}}\}\end{aligned}}}$

مع حاصل الضرب الداخلي المعطى بواسطة

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\rangle _{L_{0}^{2,1}}:=\int _{0}^{T}\langle {\dot {\sigma }}_{1}(t),{\dot {\sigma }}_{2}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,dt.}$

فضاء فيينا الكلاسيكي${\displaystyle B}$إذن، هو فضاء الخرائط المتصلة لـ${\displaystyle [0,T]}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بدءًا من الصفر، بالمعيار المنتظم . في هذه الحالة، المقياس الغاوسي${\displaystyle \mu }$هو مقياس وينر ، الذي يصف الحركة البراونية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، بدءًا من الأصل.

النتيجة العامة هي${\displaystyle H}$تشكل مجموعة ذات قياس صفري بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$في هذه الحالة، يعكس ذلك خشونة المسار البراوني النموذجي، المعروف بأنه غير قابل للتفاضل في أي مكان . وهذا يتناقض مع قابلية التفاضل المفترضة للمسارات في${\displaystyle H}$.

• مقياس بيسوف – تعميم للمقياس الغاوسي باستخدام معيار بيسوف 
• نظرية كاميرون-مارتن – نظرية تصف تحويل المقاييس الغاوسية على فضاءات هيلبرت 
• صيغة بويه – دوبوي – صيغة حساب التفاضل والتكامل العشوائية 
• نظرية فيلدمان-هاجيك – النظرية في نظرية الاحتمالات 
• فضاء الاحتمالية الغاوسي
• حساب ماليافين – تقنيات رياضية تُستخدم في نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة 
• نظرية البنية للمقاييس الغاوسية – نظرية رياضية 
• لا يوجد مقياس ليبيغ ذو أبعاد لا نهائية – خرافات رياضية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• بيل، دينيس ر. (2006). حساب ماليافين . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص.  س+113. ISBN 0-486-44994-7MR 2250060​​ (انظر القسم 1.1)
• غروس، ليونارد (1967). "فضاءات وينر المجردة". وقائع الندوة الخامسة في بيركلي حول الإحصاء الرياضي والاحتمالات (بيركلي، كاليفورنيا، 1965/1966)، المجلد الثاني: مساهمات في نظرية الاحتمالات، الجزء الأول . بيركلي، كاليفورنيا: مطبعة جامعة كاليفورنيا. الصفحات 31-42 . MR 0212152 .  
• كو، هوي-هسيونغ (1975). المقاييس الغاوسية في فضاءات باناخ . برلين-نيويورك: سبرينغر. ص  232. ISBN 978-1419645808.
• إيلورثي، ديفيد (2008)، MA482 التحليل العشوائي (ملف PDF) ، مذكرات المحاضرات، جامعة وارويك