نموذج تقلبات SABR

في مجال التمويل الرياضي ، يُعدّ نموذج SABR نموذجًا للتقلبات العشوائية ، يسعى إلى رصد منحنى التقلبات في أسواق المشتقات. ويشير اسمه إلى " التقلبات العشوائية ألفا ، وبيتا ، ورو "، وهي معلمات النموذج. يُستخدم نموذج SABR على نطاق واسع من قِبل العاملين في القطاع المالي، لا سيما في أسواق مشتقات أسعار الفائدة . وقد طوّره كلٌّ من باتريك إس. هاجان، وديب كومار، وأندرو ليسنيوسكي، وديانا وودوارد. ^{[ 1 ]}

يصف نموذج SABR عملية أمامية واحدة${\displaystyle F}$مثل سعر الفائدة الآجل لليبور ، أو سعر مقايضة آجل، أو سعر سهم آجل. يُعد هذا أحد المعايير المستخدمة في السوق من قبل المشاركين فيه لتسعير التقلبات. تقلبات الأسعار الآجلة${\displaystyle F}$يتم وصفها بواسطة معلمة${\displaystyle \sigma }$SABR هو نموذج ديناميكي يتضمن كلاً من${\displaystyle F}$و${\displaystyle \sigma }$يتم تمثيلها بواسطة متغيرات حالة عشوائية يتم تحديد تطورها الزمني بواسطة نظام المعادلات التفاضلية العشوائية التالي :

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

مع القيم المحددة للوقت صفر (القيم المرصودة حاليًا)${\displaystyle F_{0}}$و${\displaystyle \sigma _{0}}$. هنا،${\displaystyle W_{t}}$و${\displaystyle Z_{t}}$هما عمليتان مترابطتان من عمليات وينر بمعامل ارتباط${\displaystyle -1<\rho <1}$:

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

المعاملات الثابتة${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$استيفاء الشروط${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$. ${\displaystyle \alpha }$هو معامل يشبه معامل التقلب بالنسبة للتقلب.${\displaystyle \rho }$هو الارتباط اللحظي بين الأصل الأساسي وتقلباته. التقلبات الأولية${\displaystyle \sigma _{0}}$يتحكم في ارتفاع مستوى التقلب الضمني في السوق . كلا الارتباطين${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \beta }$يتحكم في ميل الانحراف الضمني. تقلب التقلب${\displaystyle \alpha }$يتحكم في انحنائه.

تمثل الديناميكيات المذكورة أعلاه نسخة عشوائية من نموذج CEV مع معامل الانحراف${\displaystyle \beta }$في الواقع، يختزل الأمر إلى نموذج السيارة الكهربائية المغلقة إذا${\displaystyle \alpha =0}$المعلمة${\displaystyle \alpha }$يُشار إليه غالبًا باسم volvol ، ومعناه هو التقلب اللوغاريتمي الطبيعي لمعامل التقلب${\displaystyle \sigma }$.

نحن ندرس خيارًا أوروبيًا (على سبيل المثال، خيار شراء) على العقد الآجل${\displaystyle F}$ضرب${\displaystyle K}$والتي تنتهي صلاحيتها${\displaystyle T}$بعد سنوات من الآن. قيمة هذا الخيار تساوي القيمة المتوقعة للعائد بعد خصمها بشكل مناسب${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$في ظل التوزيع الاحتمالي للعملية${\displaystyle F_{t}}$.

باستثناء الحالات الخاصة لـ${\displaystyle \beta =0}$و${\displaystyle \beta =1}$لا توجد صيغة مغلقة معروفة لهذا التوزيع الاحتمالي. يمكن حل الحالة العامة تقريبًا باستخدام توسيع تقاربي في المعامل${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$في ظل ظروف السوق المعتادة، تكون هذه المعلمة صغيرة، والحل التقريبي دقيق للغاية. ومن الجدير بالذكر أيضاً أن هذا الحل يتميز بصيغة وظيفية بسيطة، ويسهل تطبيقه في برامج الحاسوب، كما أنه مناسب تماماً لإدارة مخاطر محافظ الخيارات الكبيرة في الوقت الفعلي.

من الملائم التعبير عن الحل بدلالة التقلب الضمني${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$بالنسبة للخيار. أي أننا نُجبر سعر الخيار في نموذج SABR على أن يكون على شكل صيغة تقييم نموذج بلاك . عندئذٍ، يُعطى التقلب الضمني، وهو قيمة مُعامل التقلب اللوغاريتمي الطبيعي في نموذج بلاك الذي يُجبره على مُطابقة سعر SABR، تقريبًا بالصيغة التالية:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \يمين\}،}$

حيث قمنا، للتوضيح، بتحديد${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$تكون الصيغة غير مُعرَّفة عندما${\displaystyle K=F_{0}}$لذلك نستبدله بنهايته كما يلي:${\displaystyle K\to F_{0}}$، والذي يتم الحصول عليه عن طريق استبدال العامل${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$بمقدار 1. القيمة${\displaystyle F_{\text{mid}}}$يشير إلى نقطة منتصف مختارة بشكل ملائم بين${\displaystyle F_{0}}$و${\displaystyle K}$(مثل المتوسط ​​الهندسي)${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$أو المتوسط ​​الحسابي${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$). لقد قمنا أيضاً بتحديد

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

و

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

الوظيفة${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$يتم إدخال الصيغة أعلاه بواسطة

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن سعر SABR باستخدام نموذج باشيليه . عندئذٍ، يمكن حساب التقلب الطبيعي الضمني تقريبًا باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

تجدر الإشارة إلى أن التقلب الضمني الطبيعي SABR يكون بشكل عام أكثر دقة إلى حد ما من التقلب الضمني اللوغاريتمي الطبيعي.

يمكن تحسين دقة التقريب ودرجة المراجحة بشكل أكبر إذا كانت التقلبات المكافئة في ظل نموذج CEV مع نفس${\displaystyle \beta }$يُستخدم لتحديد خيارات التسعير. ^{[ 2 ]}

يُعد نموذج SABR المُحوَّل أحد امتدادات نموذج SABR لأسعار الفائدة السلبية ، والذي اكتسب شعبية في السنوات الأخيرة، حيث يُفترض أن سعر الفائدة الآجل المُحوَّل يتبع عملية SABR.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

لتحقيق بعض التحول الإيجابي${\displaystyle s}$بما أن التحولات مضمنة في عروض أسعار السوق، وهناك حد مرن بديهي لكيفية تحول أسعار الفائدة السلبية، فقد أصبح تعديل أسعار الفائدة المعدلة وفقًا لمؤشر SABR أفضل ممارسة في السوق لاستيعاب أسعار الفائدة السلبية.

يمكن أيضًا تعديل نموذج SABR لتغطية أسعار الفائدة السلبية عن طريق:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

ل ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$وشرط حدودي حر لـ${\displaystyle F=0}$يتوفر حل دقيق لهذه الطريقة في حالة انعدام الارتباط، بالإضافة إلى تقريب فعال للحالة العامة. ^{[ 3 ]} من أبرز عيوب هذه الطريقة افتراضها المسبق لإمكانية وجود معدلات فائدة سلبية عالية عبر الحدود الحرة.

على الرغم من أن الحل التقاربي سهل التنفيذ للغاية، إلا أن الكثافة التي ينطوي عليها التقريب ليست دائمًا خالية من المراجحة، وخاصة بالنسبة للأسعار المنخفضة جدًا (تصبح سالبة أو لا تتكامل الكثافة إلى واحد).

إحدى الطرق الممكنة لتصحيح الصيغة هي استخدام طريقة التجميع العشوائي وإسقاط النموذج الضمني غير المحدد جيدًا على دالة متعددة الحدود لمتغيرات خالية من المراجحة، مثل التوزيع الطبيعي. يضمن هذا تساوي الاحتمالية عند نقاط التجميع مع بقاء الكثافة الناتجة خالية من المراجحة. ^{[ 4 ]} باستخدام طريقة الإسقاط، تتوفر أسعار الخيارات الأوروبية التحليلية، وتبقى التقلبات الضمنية قريبة جدًا من تلك التي تم الحصول عليها مبدئيًا باستخدام الصيغة التقاربية.

ثمة احتمال آخر يتمثل في الاعتماد على حلّ سريع وقوي للمعادلات التفاضلية الجزئية على توسيع مكافئ للمعادلة التفاضلية الجزئية الأمامية، والذي يحافظ عدديًا على العزم الصفري والعزم الأول، مما يضمن عدم وجود فرص للمراجحة. ^{[ 5 ]}

يمكن توسيع نموذج SABR بافتراض أن معاييره تعتمد على الزمن. إلا أن هذا يُعقّد عملية المعايرة. وتعتمد إحدى طرق المعايرة المتقدمة لنموذج SABR المعتمد على الزمن على ما يُسمى "المعايير الفعّالة". ^{[ 6 ]}

بدلاً من ذلك، يُبين غيريرو وأورلاندو ^{[ 7 ]} أن نموذج التقلب العشوائي المحلي المعتمد على الزمن (SLV) يُمكن اختزاله إلى نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية المستقلة التي يُمكن حلها باستخدام نواة الحرارة، وذلك عن طريق طريقة تحليل وي-نورمان وتقنيات جبر لي. وتُضاهي الحلول الصريحة المُستخلصة بهذه التقنيات نتائج محاكاة مونت كارلو التقليدية، مما يُتيح تقليل وقت الحسابات العددية.

بما أن عملية التقلب العشوائي تتبع حركة براونية هندسية ، فإن محاكاتها الدقيقة أمرٌ مباشر. مع ذلك، فإن محاكاة عملية الأصل الآجل ليست مهمة سهلة. عادةً ما تُؤخذ مخططات المحاكاة القائمة على تايلور في الاعتبار، مثل أويلر-ماروياما أو ميلستين . مؤخرًا، تم اقتراح طرق جديدة لمحاكاة مونت كارلو شبه الدقيقة لنموذج SABR. ^{[ 8 ]} وقد أُجريت دراسات مستفيضة على نموذج SABR مؤخرًا. ^{[ 9 ]} بالنسبة لنموذج SABR العادي (${\displaystyle \beta =0}$بدون أي شرط حدودي عند${\displaystyle F=0}$^{[ 10 ]}​

• التقلبات (التمويل)
• التقلب العشوائي
• مقياس محايد للمخاطر

• هاغان، باتريك؛ ليسنيوسكي، أندرو؛ وودوارد، ديانا (22 مارس 2005). "توزيع الاحتمالات في نموذج SABR للتقلب العشوائي" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 8 مارس 2021. تاريخ الاسترجاع: 30 أبريل 2022 .
• بارتليت، بروس (فبراير 2006). "التحوط في ظل نموذج SABR" (ملف PDF) . ويلموت . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 30 ديسمبر 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أبريل 2022 .
• هاغان، باتريك؛ ليسنيوسكي، أندرو (30 أبريل 2008). "نموذج سوق ليبور مع تقلبات عشوائية على غرار سابر" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 3 مارس 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أبريل 2022 .
• هاجان، باتريك س.؛ كومار، ديب؛ ليسنيوسكي، أندرو س.؛ وودوارد، ديانا إي. (29 يناير 2014). "SABR الخالي من المراجحة" . ويلموت . المجلد  2014، العدد  69. الصفحات 60-75 . doi : 10.1002/wilm.10290 . تاريخ الاسترجاع : 30 أبريل 2022 . 
• أوبلوج ، يناير (2008-03-18). “ضبط ابتسامتك – تصحيح لهاجان وآخرون”. أرخايف : 0708.0998 [ q-fin.CP ].
• ويست، غرايم. "ملخص لمناهج نموذج SABR لمشتقات الأسهم Smile" . ريسك ووركس . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 سبتمبر 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أبريل 2022 .
• هنري-لابوردير، بيير (15 فبراير 2005). "توحيد نموذجي BGM وSABR: رحلة قصيرة في الهندسة الزائدية". arXiv : physics/0602102 .
• جوردان، ريتشارد؛ تير، تشارلز (17-05-2011). "التقريبات التقاربية لنماذج CEV وSABR". SSRN 1850709 . 
• "معايرة SABR" . 26-12-2012. مؤرشف من الأصل بتاريخ 27-05-2016 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-04-2022 .
• أنتونوف، ألكسندر؛ سبيكتور، مايكل (23-03-2012). "التحليلات المتقدمة لنموذج SABR". SSRN 2026350 . 
• أنتونوف، ألكسندر؛ كونيكوف، مايكل؛ سبيكتور، مايكل (2019-05-02). تحليلات SABR الحديثة: صيغ ورؤى للمحللين الكميين والفيزيائيين والرياضيين السابقين (سلسلة Springer Briefs في التمويل الكمي). الطبعة الأولى . doi : 10.1007/978-3-030-10656-0 . ISBN 978-3-030-10655-3ISSN 2192-7014 . S2CID 182484805 .​  بيان صحفي ، نيويورك، نيويورك - 24 يونيو 2019
• جوليساشفيلي، أرتشيل؛ هورفاث، بلانكا؛ جاكييه، أنطوان (جاك) (22-11-2016). "الكتلة عند الصفر في نموذج SABR غير المرتبط والتقارب الضمني للتقلب". SSRN 2563510 .