موديل أسود

في إطار مقياس التسعير المحايد للمخاطر، فإن عملية تسعير العقود الآجلة أو الأسعار المستقبلية${\displaystyle (F_{t})_{0\leq t\leq T}}$يتم تمثيلها كحركة براونية هندسية ذات تقلب ثابت وانجراف معدوم. ويمكن كتابة ذلك في صيغة تفاضلية على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathrm {d} F_{t}=\sigma F_{t}\,\mathrm {d} W_{t},\quad 0\leq t\leq T,}$$

أين${\displaystyle \sigma }$هو معامل التقلب و${\displaystyle (W_{t})}$هي حركة براونية قياسية. ^{[ 1 ] [ 4 ]} وهذا يعني أن${\displaystyle \ln F_{T}}$يتم توزيعها بشكل طبيعي ويمكن حساب القيمة المخصومة لعائد الخيار عن طريق أخذ التوقعات فيما يتعلق بهذا التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.

يترك${\displaystyle X_{T}}$يشير إلى عائد في وقت${\displaystyle T}$. في ظل مقياس الحياد تجاه المخاطر، يُعطى سعر العائد عند الزمن صفر بالقيمة المتوقعة المخصومة.

$${\displaystyle {\text{Price}}_{0}=e^{-rT}\mathbb {E} [X_{T}],}$$

أين${\displaystyle \mathbb {E} }$يشير إلى التوقع. ^{[ 3 ]} بالنسبة لخيار الشراء الأوروبي على عقد آجل بتاريخ انتهاء الصلاحية${\displaystyle T}$واضرب${\displaystyle K}$المكافأة هي${\displaystyle (F_{T}-K)^{+}}$. باستبدال هذا العائد في معادلة التسعير واستخدام التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي لـ${\displaystyle F_{T}}$يؤدي التكامل إلى الصيغ المغلقة لأسعار خيارات الشراء والبيع. ^{[ 4 ]}

ينظر تفسير بديل إلى خيار الشراء في عقد آجل أو عقد مستقبلي على أنه خيار لتبادل أصل بآخر. وبموجب هذا النهج، يحق لحامل الخيار عند تاريخ انتهاء الصلاحية استلام عائد العقد الآجل ودفع المبلغ الثابت.${\displaystyle K}$ويمكن تمثيل ذلك على أنه تبادل بين مركز مرتبط بعقد آجل وسند بدون فوائد. ^{[ 11 ]} في ظل افتراضات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي لنموذج بلاك ومع أسعار فائدة محددة، يمكن تقييم خيار التبادل هذا باستخدام صيغة مارغراب ، وتُختزل النتيجة إلى صيغة بلاك لتسعير خيارات العقود الآجلة والعقود المستقبلية. ^{[ 3 ] [ 12 ]}

في أسواق العقود الآجلة للسلع والأسواق المالية، يُعدّ نموذج بلاك أساسًا لتسعير خيارات العقود الآجلة المتداولة في البورصة وخارجها. ومن الأمثلة على ذلك خيارات العقود الآجلة للنفط الخام، وعقود المعادن الآجلة، وعقود مؤشرات الأسهم الآجلة. ^{[ 1 ] [ 13 ]} غالبًا ما تتعامل البورصات والمتعاملون مع مُعامل التقلب في صيغة بلاك باعتباره الكمية الأساسية المُقتبسة، ويُحوّلون بين أسعار الخيارات وما يُسمى بالتقلبات الضمنية لنموذج بلاك عند مقارنة العقود ذات أسعار التنفيذ وتواريخ الاستحقاق المختلفة. ^{[ 14 ]} تُوفّر أسطح التقلب المُنشأة من هذه التقلبات الضمنية طريقةً لتلخيص أسعار الخيارات عبر نطاق واسع من تواريخ الاستحقاق ومستويات التنفيذ.

في أسواق الدخل الثابت، يُستخدم إطار عمل بلاك لخيارات السندات وحدودها الدنيا والعليا . يمكن تقسيم الحد الأقصى أو الأدنى إلى أجزاء أصغر. لكل جزء عائد يعتمد على سعر فائدة آجل واحد خلال فترة استحقاق محددة. ^{[ 4 ] [ 7 ]} بافتراض أن سعر الفائدة الآجل ذي الصلة يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وفقًا لمقياس تسعير مناسب، يتم تقييم كل جزء من الحد الأقصى أو الأدنى بتطبيق صيغة بلاك على ذلك السعر الآجل وضربه في القيمة الاسمية وعامل الاستحقاق. ^{[ 15 ]} يُحدد المشاركون في السوق أسعار الحد الأقصى والأدنى بدلالة التقلبات الضمنية لبلاك لآجال استحقاق ومستويات تنفيذ قياسية.

تُعامل خيارات المقايضة الأوروبية بنفس المبدأ. المتغير الأساسي هو سعر مقايضة آجل، وعادةً ما تُقاس أسعار خيارات المقايضة عبر آجال استحقاق مختلفة بتقلبات بلاك الضمنية. ^{[ 6 ] [ 15 ]} في نماذج أسعار الفائدة الآجلة ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، تظل صيغة بلاك هي اللبنة الأساسية لتقييم خيارات المقايضة الفردية، وخيارات الحد الأدنى والحد الأقصى للسعر. يحدد النموذج ديناميكيات مشتركة لمجموعة من أسعار الفائدة الآجلة، ويتم معايرته بحيث يُعيد إنتاج أسطح تقلبات بلاك أو التقلبات الضمنية الطبيعية المستخدمة في أسواق خيارات المقايضة وخيارات الحد الأدنى والحد الأقصى للسعر. ^{[ 8 ] [ 16 ]}

في المملكة المتحدة، توفر العديد من خطط المعاشات التقاعدية ذات المزايا المحددة زيادات مرتبطة بمؤشر أسعار التجزئة أو مؤشر أسعار المستهلك ، مع مراعاة حد أدنى وحد أقصى سنويين، وهو هيكل يُعرف باسم مؤشر الأسعار المحدود ويُكتب غالبًا بالاختصار LPI.${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$قد تتضمن المزايا النموذجية زيادات سنوية تتماشى مع مؤشر أسعار التجزئة، مع مراعاة حد أدنى قدره${\displaystyle 0\%}$وغطاء من${\displaystyle 5\%}$، ويُرمز لها بـ LPI(0,5). ^{[ 17 ] [ 18 ]} يمكن تقييم هذه الضمانات أو التحوّط منها باستخدام مشتقات التضخم مثل مقايضات مؤشر أسعار التجزئة وحدود التضخم الدنيا والعليا. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

لمدة عام واحد${\displaystyle I}$يرمز إلى معدل التضخم السنوي العشوائي لمؤشر أسعار التجزئة معبراً عنه كنسبة مئوية. مع حد أدنى${\displaystyle a}$وغطاء${\displaystyle b}$يمكن كتابة معدل فهرسة الأسعار المحدود على النحو التالي:

$${\displaystyle L(I)=\min {\bigl (}\max(I,a),b{\bigr )}.}$$

باستخدام الترميز${\displaystyle x^{+}=\max(x,0)}$يتحلل هذا إلى

$${\displaystyle L(I)=I-(Ib)^{+}+(aI)^{+}.}$$

يُزيل الحد الثاني النتائج التي يتجاوز فيها التضخم الحد الأقصى، بينما يستبدل الحد الثالث نتائج التضخم المنخفض جدًا بالحد الأدنى. ^{[ 19 ] [ 21 ]}

للحصول على صيغة قابلة للتطبيق، افترض أنه في ظل إجراء تسعير، فإن معدل التضخم لمدة عام واحد${\displaystyle I}$موجبة تمامًا وتوزع لوغاريتميًا طبيعيًا بمتوسط ​​أمامي${\displaystyle F}$، التقلب${\displaystyle \sigma }$والوقت اللازم للنضج${\displaystyle T}$هذا هو نفس إعداد التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي المستخدم سابقًا في صيغة بلاك، مع${\displaystyle F}$يلعب سعر الخيار دور السعر الآجل، بينما يلعب سعرا الحد الأقصى والأدنى دور سعر الخيار. ^{[ 19 ] [ 20 ]} بناءً على هذا الافتراض

$${\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-\mathbb {E} {\bigl [}(Ib)^{+}{\bigr ]}+\mathbb {E} {\bigl [}(aI)^{+}{\bigr ]}.}$$

من أجل الإضراب${\displaystyle K}$يُعرِّف

$${\displaystyle d_{1}^{(K)}={\frac {\ln(F/K)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}T}{\sigma {\sqrt {T}}}},\quad d_{2}^{(K)}=d_{1}^{(K)}-\sigma {\sqrt {T}},}$$

ودع${\displaystyle N}$تشير إلى دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي طبيعي معياري. مع تجاهل الخصم على مدار عام واحد، تكون توقعات خيارات الشراء والبيع المقابلة هي

$${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(IK)^{+}{\bigr ]}=FN{\bigl (}d_{1}^{(K)}{\bigr )}-KN{\bigl (}d_{2}^{(K)}{\bigr )},}$$

$${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}(KI)^{+}{\bigr ]}=KN{\bigl (}-d_{2}^{(K)}{\bigr )}-FN{\bigl (}-d_{1}^{(K)}{\bigr )},}$$

والتي تعكس صيغ خيارات الشراء والبيع الخاصة بـ Black في قسم الصيغ، مع حذف عامل الخصم الأسي للتبسيط. ^{[ 3 ]}

لـ LPI العامة (${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$) هذا يعطي

$${\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-{\bigl (}FN{\bigl (}d_{1}^{(b)}{\bigr )}-bN{\bigl (}d_{2}^{(b)}{\bigr )}{\bigr )}+{\bigl (}aN{\bigl (}-d_{2}^{(a)}{\bigr )}-FN{\bigl (}-d_{1}^{(a)}{\bigr )}{\bigr )},}$$

أين${\displaystyle d_{1}^{(a)}}$،${\displaystyle d_{2}^{(a)}}$استخدم الضربة${\displaystyle a}$و${\displaystyle d_{1}^{(b)}}$،${\displaystyle d_{2}^{(b)}}$استخدم الضربة${\displaystyle b}$.

كمثال توضيحي، لنفترض هيكل مؤشر أسعار المستهلكين لمدة عام واحد (0,5) مع معدل تضخم مؤشر أسعار التجزئة المستقبلي التالي:${\displaystyle 3.5\%}$، لذا${\displaystyle F=0.035}$غطاء${\displaystyle b=0.05}$، طابق${\displaystyle a=0}$معامل التقلب${\displaystyle \sigma =0.02}$و${\displaystyle T=1}$في النموذج اللوغاريتمي الطبيعي، يكون حد الجزء الصحيح صفرًا، لأن${\displaystyle I}$إيجابي تمامًا، و

$${\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]=F-{\bigl (}FN{\bigl (}d_{1}^{(0.05)}{\bigr )}-0.05N{\bigl (}d_{2}^{(0.05)}{\bigr )}{\bigr )}.}$$

مع${\displaystyle F}$بما أن قيمة التقلبات أقل بكثير من الحد الأقصى مقارنةً بالتقلبات اللوغاريتمية الطبيعية المفترضة، فإن الحد الأقصى نادرًا ما يُفعّل، ويكون أجل الاستدعاء صغيرًا جدًا، وبالتالي فإن الزيادة المتوقعة في مؤشر أسعار المستهلكين (0,5) قريبة جدًا من معدل التضخم الآجل.${\displaystyle 3.5\%}$.

من الشائع تقريب معدل التضخم السنوي بمتغير عشوائي طبيعي، بما يتماشى مع نموذج باشيليه ، خاصةً عند النظر في التضخم السلبي. ^{[ 22 ] [ 23 ]} وبموجب هذا النموذج الطبيعي، مع نفس الافتراض المركزي${\displaystyle F=3.5\%}$، التقلب${\displaystyle \sigma =2\%}$و LPI(0,5)، التوقع${\displaystyle \mathbb {E} [L(I)]}$أقل، تقريبًا${\displaystyle 3.27\%}$لأن كلا الغطاء عند${\displaystyle 5\%}$والطابق في${\displaystyle 0\%}$وهي فعالة في نطاق أوسع من النتائج. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}