المشي المتجنب للذات

في الرياضيات ، يُعرف المسار المتجنب ذاتيًا ( SAW ) بأنه سلسلة من التحركات على شبكة ( مسار شبكي ) لا تمر بالنقطة نفسها أكثر من مرة. وهو حالة خاصة من مفهوم المسار في نظرية الرسوم البيانية . أما المضلع المتجنب ذاتيًا ( SAP ) فهو مسار مغلق متجنب ذاتيًا على شبكة. لا تزال المعلومات المتوفرة بدقة حول المسار المتجنب ذاتيًا من منظور رياضي قليلة، على الرغم من أن الفيزيائيين قدّموا العديد من التخمينات التي يُعتقد بصحتها، والتي تدعمها بقوة المحاكاة العددية.

في الفيزياء الحاسوبية ، يُعرف المسار المتجنب ذاتيًا بأنه مسارٌ شبيهٌ بالسلسلة في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد (R² ⁾ أو ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ ، يتكون من عددٍ معينٍ من العقد، وعادةً ما تكون له خطوةٌ ثابتة، ويتميز بخاصية عدم تقاطعه مع نفسه أو مع أي مسارٍ آخر. ويُحقق نظام المسارات المتجنبة ذاتيًا ما يُعرف بشرط الحجم المستبعد . وفي الأبعاد الأعلى، يُعتقد أن المسار المتجنب ذاتيًا يتصرف بشكلٍ مشابهٍ للمسار العشوائي العادي .

تلعب الموجات الصوتية السطحية (SAWs) والشبكات الصوتية السطحية (SAPs) دورًا محوريًا في نمذجة السلوك الطوبولوجي وسلوك نظرية العقد للجزيئات الشبيهة بالخيوط والحلقات مثل البروتينات . في الواقع، ربما يكون الكيميائي بول فلوري قد قدم الموجات الصوتية السطحية لأول مرة ^{[ 1 ]} لنمذجة السلوك الواقعي للكيانات الشبيهة بالسلاسل مثل المذيبات والبوليمرات ، والتي يمنع حجمها الفيزيائي شغل أكثر من جزيء لنفس النقطة المكانية.

تُعدّ مسارات التجنب الذاتي (SAWs) أشكالًا كسورية . على سبيل المثال، في بُعد d = 2، يكون البُعد الكسوري 4/3، وفي d = 3 يكون قريبًا من 5/3، بينما في d ≥ 4 يكون البُعد الكسوري 2. يُسمى هذا البُعد بالبُعد الحرج الأعلى ، والذي يصبح عنده الحجم المستبعد ضئيلاً. دُرِسَ مؤخرًا مسار تجنب ذاتي لا يُحقق شرط الحجم المستبعد لنمذجة هندسة السطح الصريحة الناتجة عن تمدد مسار التجنب الذاتي. ^{[ 2 ]} يزداد متوسط ​​حجم مسار التجنب الذاتي بالنسبة لطوله وفقًا لأسّ هو مقلوب البُعد الكسوري. يعتمد نصف قطر الدوران لمسار التجنب الذاتي على القوة 3/4 للطول في بُعدين، وعلى القوة 3/5 تقريبًا في ثلاثة أبعاد.

لا يمكن حساب خصائص مسارات التجنب الذاتي تحليليًا، لذا تُستخدم المحاكاة العددية. تُعد خوارزمية المحور طريقة شائعة لمحاكاة مونت كارلو لسلاسل ماركوف لحساب المقياس الموحد على مسارات التجنب الذاتي ذات n خطوة. تعمل خوارزمية المحور عن طريق اختيار مسار تجنب ذاتي، ثم اختيار نقطة عشوائيًا عليه، وبعد ذلك تطبيق تحويلات متناظرة (دوران وانعكاس) على المسار بعد الخطوة n لإنشاء مسار جديد.

يُعدّ حساب عدد المسارات التي تتجنب نفسها في أي شبكة معينة مشكلة حسابية شائعة . لا توجد حاليًا صيغة معروفة، على الرغم من وجود طرق تقريبية دقيقة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

إحدى الظواهر المرتبطة بالمسارات ذاتية التجنب ونماذج الفيزياء الإحصائية عمومًا هي مفهوم الشمولية ، أي استقلالية المتغيرات العيانية عن التفاصيل المجهرية، مثل اختيار الشبكة. إحدى الكميات المهمة التي تظهر في التخمينات المتعلقة بالقوانين الشاملة هي ثابت الربط ، المعرّف كما يلي: لنفترض أن c _{_n} يمثل عدد المسارات ذاتية التجنب ذات n خطوة. بما أن كل مسار ذاتي التجنب ذي ( n + m ) خطوة يمكن تحليله إلى مسار ذاتي التجنب ذي n خطوة ومسار ذاتي التجنب ذي m خطوة، فإنه يترتب على ذلك أن c_{_n + m} ≤ c_{_n} + _m . بالتالي، فإن المتتالية {log c _{_n} } شبه جمعية ، ويمكننا تطبيق مبرهنة فيكيت لإثبات وجود النهاية التالية:

${\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }c_{n}^{\frac {1}{n}}.}$

يُطلق على μ اسم ثابت الاتصال ، لأن c _n يعتمد على الشبكة المحددة المختارة للمسار، وكذلك μ . القيمة الدقيقة لـ μ معروفة فقط للشبكة السداسية، وقد وجدها ستانيسلاف سميرنوف وهوغو دومينيل-كوبين ، حيث تساوي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.}$

بالنسبة للشبكات الأخرى، لم يتم تقدير قيمة μ إلا عدديًا، ويُعتقد أنها ليست عددًا جبريًا . ويُفترض أن ^{[ 6 ]}

${\displaystyle c_{n}\approx \mu ^{n}n^{\frac {11}{32}}}$

عندما n → ∞ ، حيث تعتمد μ على الشبكة، ولكن تصحيح قانون القوة${\displaystyle n^{\frac {11}{32}}}$لا يفعل ذلك؛ بعبارة أخرى، يُعتقد أن هذا القانون عالمي.

المشي المتنامي المتجنب للذات (GSAW) هو عملية ديناميكية يبدأ فيها مسار من نقطة الأصل في شبكة ويتجه خطوةً إلى موقع غير مشغول في اتجاه عشوائي. عندما لا توجد مواقع مجاورة فارغة، يُقال إن المسار محاصر، على غرار سيناريو النهاية في لعبة الفيديو Snake . على شبكة مربعة، من المعروف من خلال المحاكاة الحاسوبية أن متوسط ​​عدد الخطوات التي يصل إليها المشي المتنامي المتجنب للذات يبلغ حوالي 71 خطوة. ^{[ 7 ]} أقصر مسار يؤدي إلى الحصار على شبكة مربعة هو ست خطوات، ويمكن تحقيقه بالبدء من شبكة فارغة والتحرك لأعلى، ثم يمينًا، ثم يمينًا، ثم لأسفل، ثم لأسفل، ثم يسارًا، ثم لأعلى. يعتمد متوسط ​​عدد الخطوات اللازمة للحصار على الشبكة، فهو متقارب لشبكة قرص العسل ولكنه يقارب 78 خطوة للشبكة المثلثية . متوسط ​​طول الحصار أعلى بكثير في ثلاثة أبعاد، حيث يقترب من 4000 للشبكة المكعبة البسيطة . ^{[ ٨ ]} تفترض إحصائيات المشي التقليدي المتجنب للذات أن كل مسار بطول معين له احتمال متساوٍ، وهو ما لا ينطبق على مسارات GSAW. على سبيل المثال، يوجد ١٠٠ مسار SAW شبكي مربع بطول ٤ يبدأ من نقطة الأصل، وأربعة منها مستقيمة تمامًا، بحيث يكون احتمال أن يكون أحد هذه المسارات مستقيمًا هو ٠.٠٤. مع ذلك، يجب أن يخطو مسار GSAW خطوته الأولى في أي اتجاه باحتمال ١، وخطوته الثانية في نفس الاتجاه باحتمال ١/٣، وكذلك خطوته الثالثة والرابعة. وبالتالي، فإن احتمال أن يكون مسار GSAW مستقيمًا هو ١/٨١ ≈ ٠.٠١٢. لهذا السبب، لوحظ تجريبيًا في عمليات المحاكاة أن لمسارات GSAW أسًا قياسيًا أصغر (العلاقة بين متوسط ​​نصف قطر الدوران والطول) من ٣/٤ الذي تنبأ به نموذج فلوري، ويُلاحظ أنه قريب من ٠.٦٨. ^{[ ٩ ]}

قد تُشكّل المضلعات ذاتية التجنب في ثلاثة أبعاد عُقدًا . على شبكة مكعبة بسيطة، أقصر مضلع ذاتي التجنب مُعقّد هو عقدة ثلاثية الفصوص تشغل 24 رأسًا. ^{[ 10 ]} مع ازدياد طول المضلعات ذاتية التجنب، يزداد احتمال وجود عُقد. وقد ثبت أنه مع ازدياد طول مضلع ذاتي التجنب مُختار عشوائيًا، يتناقص احتمال وجود عقدة بشكل أُسّي ، مما يعني أن احتمال أن يكون المضلع ذاتي التجنب مُعقّدًا يقترب من 100% مع ازدياد طوله. يبلغ طول المضلع ذاتي التجنب الذي يصل عنده احتمال وجود عقدة على شبكة مكعبة مركزية الوجوه 50% حوالي 100,000، وقد يختلف هذا في الشبكات الأخرى. ^{[ 11 ]} قد تشكل المسارات التي تتجنب نفسها والتي لا تغلق في المضلعات أيضًا تشابكات معترف بها بشكل عام على أنها عقد، ولكن هذه لا تعتبر رسميًا عقدًا ضمن نظرية العقد إلا إذا كانت نهايتا المسار متصلتين بطريقة ما.

تمت دراسة المسارات ذاتية التجنب أيضًا في سياق نظرية الشبكات . ^{[ 12 ]} في هذا السياق، من المعتاد التعامل مع المسار ذاتي التجنب كعملية ديناميكية، بحيث يقفز المتجول عشوائيًا بين العقد المتجاورة في الشبكة في كل خطوة زمنية. ينتهي المسار عندما يصل المتجول إلى طريق مسدود، بحيث لا يمكنه التقدم إلى عقد جديدة لم تتم زيارتها. وقد وُجد مؤخرًا أنه في شبكات إردوش-ريني ، يمكن حساب توزيع أطوال المسارات لهذه المسارات ذاتية التجنب المتنامية ديناميكيًا تحليليًا، ويتبع توزيع جومبيرتز . ^{[ 13 ]} بالنسبة للشبكات العشوائية، يمكن الحصول على توزيع أطوال المسارات، وتوزيع درجات الشبكة غير المزارة، وتوزيع وقت الوصول الأول إلى عقدة ما عن طريق حل مجموعة من المعادلات التكرارية المترابطة. ^{[ 14 ]}

لنفترض وجود مقياس موحد على مسارات ذاتية التجنب مكونة من n خطوة في المستوى الكامل. من غير المعروف حاليًا ما إذا كانت نهاية المقياس الموحد عندما n → ∞ تُنتج مقياسًا على مسارات لانهائية في المستوى الكامل. مع ذلك، أثبت هاري كيستن وجود مثل هذا المقياس للمسارات ذاتية التجنب في نصف المستوى. أحد الأسئلة المهمة المتعلقة بالمسارات ذاتية التجنب هو وجود وثبات حد القياس ، أي النهاية عندما يؤول طول المسار إلى اللانهاية وتؤول شبكة الشبكة إلى الصفر. يُفترض أن حد القياس للمسار ذاتي التجنب يُوصف بتطور شرام -لوينر بمعامل κ = 8/3 .

• الظواهر الحرجة – الفيزياء المرتبطة بالنقاط الحرجة 
• المسار الهاميلتوني – مسار في الرسم البياني يمر بكل رأس مرة واحدة فقط 
• جولة الفارس – مجموعة مسائل رياضية على رقعة الشطرنج 
• المسار العشوائي – عملية تشكل مسارًا من عدة خطوات عشوائية 
• لعبة الثعبان – نوع من ألعاب الفيديو 
• الشمولية – مفهوم في الميكانيكا الإحصائية 
• المنحنيات التي تملأ الفراغ – جميعها تتجنب نفسها.

• تسلسل OEIS A007764 (عدد مسارات الرخ غير المتقاطعة (أو المتجنبة ذاتيًا) التي تربط الزوايا المتقابلة لشبكة n × n) - عدد المسارات المتجنبة ذاتيًا التي تربط الزوايا المتقابلة لشبكة N × N ، لـ N من 0 إلى 12. يتضمن أيضًا قائمة موسعة حتى N = 21.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المشي المتجنب للذات" . عالم الرياضيات .
• تطبيق جافا صغير لمحاكاة مسار ثنائي الأبعاد لتجنب الاصطدام
• تطبيق بايثون عام لمحاكاة الموجات الصوتية السطحية وتوسيع مسارات الألياف على شبكات مربعة في أبعاد n.
• برنامج نوريس لتوليد موجات صوتية سطحية على المكعب الماسي .