عملية التلغراف

في نظرية الاحتمالات ، تُعدّ عملية التلغراف عملية عشوائية مستمرة الزمن عديمة الذاكرة ، تُظهر قيمتين متميزتين. وهي تُحاكي ضوضاء الانفجارات (وتُسمى أيضًا ضوضاء الفشار أو إشارة التلغراف العشوائية). إذا كانت القيمتان المحتملتان لمتغير عشوائي هما${\displaystyle c_{1}}$و${\displaystyle c_{2}}$إذاً، يمكن وصف العملية بالمعادلات الرئيسية التالية :

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

و

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).}$

أين${\displaystyle \lambda _{1}}$معدل الانتقال من الحالة${\displaystyle c_{1}}$للتصريح${\displaystyle c_{2}}$و${\displaystyle \lambda _{2}}$معدل الانتقال من حالة إلى أخرى${\displaystyle c_{2}}$للتصريح${\displaystyle c_{1}}$. تُعرف هذه العملية أيضًا باسم عملية كاك (نسبة إلى عالم الرياضيات مارك كاك )، ^{[ 1 ]} وعملية عشوائية ثنائية التفرع . ^{[ 2 ]}

تُكتب المعادلة الرئيسية بشكل مختصر في شكل مصفوفة عن طريق إدخال متجه${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$،

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

أين

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

هي مصفوفة معدل الانتقال . يتم بناء الحل الرسمي من الشرط الأولي.${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$(هذا يحدد ذلك في${\displaystyle t=t_{0}}$، الدولة هي${\displaystyle x}$) بواسطة

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

يمكن إثبات ذلك ^{[ 3 ]}

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$هو معدل الانتقال المتوسط.${\displaystyle t\rightarrow \infty }$، يقترب الحل من توزيع ثابت${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$مقدم من

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

تتلاشى معرفة الحالة الأولية بشكل أُسّي . لذلك، لفترة من الزمن${\displaystyle t\gg (2\lambda )^{-1}}$، ستصل العملية إلى القيم الثابتة التالية، المشار إليها بالرمز السفلي s :

يقصد:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

التباين:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

يمكن أيضاً حساب دالة الارتباط :

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |tu|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

تجد هذه العملية العشوائية تطبيقاً واسعاً في بناء النماذج:

• في الفيزياء ، تُظهر أنظمة الدوران وتقطع التألق خصائص ثنائية. ولكن، وخاصة في تجارب الجزيء الواحد، تُستخدم توزيعات احتمالية ذات ذيول جبرية بدلاً من التوزيع الأسي المُضمّن في جميع الصيغ المذكورة أعلاه.
• في مجال التمويل لوصف أسعار الأسهم ^{[ 1 ]}
• في علم الأحياء ، لوصف ارتباط عامل النسخ وانفصاله.

• سلسلة ماركوف
• قائمة بمواضيع العمليات العشوائية
• إشارة تلغراف عشوائية