عملية عشوائية مستمرة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، تُعرَّف العملية العشوائية المستمرة بأنها نوع من العمليات العشوائية التي يمكن وصفها بأنها " مستمرة " كدالة لمعامل "الزمن" أو مؤشرها. تُعدّ الاستمرارية خاصيةً مرغوبةً لمسارات العينة في أي عملية، إذ تدلّ على انتظام سلوكها ، وبالتالي سهولة تحليلها. ومن البديهي هنا أن مؤشر العملية العشوائية متغير مستمر. يُعرّف بعض الباحثين [ 1 ] "العملية (العشوائية) المستمرة" بأنها تتطلب فقط استمرارية متغير المؤشر، دون اشتراط استمرارية مسارات العينة: بعبارة أخرى، تُسمى هذه العملية "عملية عشوائية مستمرة الزمن "، على غرار "عملية منفصلة الزمن". ونظرًا لاحتمالية حدوث لبس، يُنصح بالحذر. [ 1 ]

التعريفات

ليكن (Ω,  Σ, P ) فضاء احتماليًا ، ولتكن T فترة زمنية ما ، وليكن X : T × Ω → S عملية عشوائية. ولتبسيط الأمر، سنفترض في بقية هذه المقالة أن فضاء الحالة S هو الخط الحقيقي R ، ولكن التعريفات قابلة للتطبيق مع بعض التعديلات إذا كان S هو Rⁿ ، أو فضاء متجه معياري ، أو حتى فضاء متري عام .       

الاستمرارية شبه مؤكدة

إذا كان الزمن t  ∈ T ، يُقال إن X متصلة باحتمال واحد عند t إذا 

P({ω∈Ω|ليمs→ت|Xs(ω)-Xت(ω)|=0})=1.{\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.}

استمرارية متوسط ​​المربعات

بالنظر إلى زمن t  ∈ T ، يُقال إن X متصلة في المتوسط ​​التربيعي عند t إذا كان E [| X t | 2 ] < +∞ و   

ليمs→تهـ[|Xs-Xت|2]=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}

الاستمرارية في الاحتمالية

بالنظر إلى زمن t  ∈ T ، يُقال إن X متصلة احتماليًا عند t إذا كان، لجميع ε > 0،   

ليمs→تP({ω∈Ω||Xs(ω)-Xت(ω)|≥ε})=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.}

أو ما يعادل ذلك

ليمs→تP({ω∈Ω||Xs(ω)-Xت(ω)|<ε})=1.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}<\varepsilon \right.\right\}\right)=1.}

وبالمثل، يكون X متصلاً احتمالياً عند الزمن t إذا

ليمs→تهـ[|Xs-Xت|1+|Xs-Xت|]=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}

استمرارية التوزيع

إذا كان الزمن t  ∈ T ، فإن X يُقال إنه متصل في التوزيع عند t إذا 

ليمs→تFs(x)=Fت(x){\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}

لجميع النقاط x التي تكون عندها F t متصلة، حيث تشير F t إلى دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي X t .

استمرارية العينة

يُقال إن X متصلة عينة إذا كانت X t ( ω ) متصلة في t لجميع قيم ω ∈ Ω تقريبًا . وتُعد اتصالية العينة المفهوم المناسب للاتصالية في عمليات مثل انتشار إيتو .  

استمرارية فيلر

يُقال إن العملية X هي عملية متصلة وفقًا لـ Feller إذا كان، لأي قيمة ثابتة t  ∈ T وأي دالة محدودة ومتصلة وقابلة للقياس Σ g : S → R ، فإن E x [ g ( X t )] تعتمد بشكل مستمر على x . هنا، x تشير إلى الحالة الابتدائية للعملية X ، و E x تشير إلى القيمة المتوقعة المشروطة بحدث أن X تبدأ عند x .     

العلاقات

إن العلاقات بين مختلف أنواع استمرارية العمليات العشوائية تشبه العلاقات بين مختلف أنواع تقارب المتغيرات العشوائية . على وجه الخصوص:

  • الاستمرارية باحتمال واحد تعني الاستمرارية في الاحتمال؛
  • الاستمرارية في متوسط ​​المربعات تعني الاستمرارية في الاحتمالية؛
  • الاستمرارية باحتمال واحد لا تعني، ولا يتم الاستدلال عليها من خلال، الاستمرارية في المتوسط ​​التربيعي؛
  • الاستمرارية في الاحتمالية تعني، ولكن لا يُستدل عليها من، الاستمرارية في التوزيع.

قد يميل البعض إلى الخلط بين الاستمرارية باحتمال واحد واستمرارية العينة. تعني الاستمرارية باحتمال واحد عند الزمن t أن P ( A( t ))  = 0، حيث يُعطى  الحدث A( t) بالعلاقة التالية:

أت={ω∈Ω|ليمs→ت|Xs(ω)-Xت(ω)|≠0}،{\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}

ومن الممكن تمامًا التحقق مما إذا كان هذا صحيحًا أم لا لكل t  ∈ T. من ناحية أخرى، يتطلب استمرار العينة أن يكون P ( A ) = 0، حيث   

أ=⋃ت∈تيأت.{\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}

A عبارة عن اتحاد غير قابل للعد من الأحداث، لذا قد لا يكون حدثًا بحد ذاته، وبالتالي قد تكون P ( A ) غير مُعرَّفة! والأسوأ من ذلك، حتى لو كان A حدثًا، فقد تكون P ( A ) موجبة تمامًا حتى لو كانت P ( A t ) = 0 لكل t ∈ T. هذا هو الحال، على سبيل المثال، مع عملية التلغراف .    

ملحوظات

  1. 1 2 دودج، واي. (2006) قاموس أكسفورد للمصطلحات الإحصائية ، مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-920613-9(مدخل "العملية المستمرة")

مراجع

  • كلويدن، بيتر إي . بلاتين، إيكهارد (1992). الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية . تطبيقات الرياضيات (نيويورك) 23. برلين: Springer-Verlag. ص 38 – 39. ISBN  3-540-54062-8.
  • أوكسندال، بيرنت ك. (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات (الطبعة السادسة  ). برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-04758-1.(انظر اللمة 8.1.4)