عملية الإضافة

عملية عشوائية${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$تكون الزيادات مستقلة إذا وفقط إذا كان لأي${\displaystyle 0\leq p<r\leq s<t}$ المتغير العشوائي${\displaystyle X_{t}-X_{s}}$مستقل عن المتغير العشوائي${\displaystyle X_{r}-X_{p}}$[ ^{5 ]​}

عملية عشوائية${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$تكون متصلة في الاحتمال إذا وفقط إذا كان لأي${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \lim _{s\to t^{-}}\Pr \left({\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}\geq \varepsilon \right)=0.}$^{[ 5 ]}

عائلة من العمليات الجمعية ذات التوزيع اللوجستي المعمم . دالتها المميزة ذات المعلمات الخمس هي

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha _{t}+i\sigma _{t}u,\beta _{t}-i\sigma u)}{B(\alpha _{t},\beta _{t})}}\right)^{\delta _{t}}e^{i\mu _{t}u}\;\;.}$

هناك حالتان فرعيتان من عملية اللوجستيات الجمعية وهما: عملية اللوجستيات الجمعية المتناظرة ذات التوزيع اللوجستي القياسي (${\displaystyle \alpha _{t}=1}$،${\displaystyle \beta _{t}=1}$،${\displaystyle \delta _{t}=1}$) وعملية داغوم المضافة ذات القوة المترافقة مع توزيع داغوم (${\displaystyle \alpha _{t}=1}$،${\displaystyle \beta _{t}=1-\sigma (t)}$،${\displaystyle \alpha _{t}=1}$).

الوظيفة${\displaystyle \mu _{t}}$يمكن دائمًا اختيارها عندما تكون العملية الإضافية عبارة عن مارتينجال . ^{[ 11 ]}

امتداد لعمليات ليفي المستقرة المعتدلة الطبيعية؛ بعض عمليات ليفي المستقرة المعتدلة الطبيعية المعروفة لها توزيع غاوسي معكوس طبيعي وتوزيع غاما للتباين . العمليات المستقرة المعتدلة الطبيعية الجمعية ^{[ 12 ]} لها نفس الدالة المميزة لعمليات ليفي المستقرة المعتدلة الطبيعية ولكن بمعاملات تعتمد على الزمن${\displaystyle \sigma _{t}}$(مستوى التقلب)،${\displaystyle k_{t}}$(تباين القفزات) و${\displaystyle \eta _{t}}$(مرتبط بالانحراف):

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta _{t}\right)\sigma _{t}^{2}+{\frac {u^{2}\sigma _{t}^{2}}{2}};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi _{t}t},}$

أين

${\displaystyle \ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{cases}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}}\displaystyle {\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha }}\right)^{\alpha }\right\}&{\mbox{if }}\;0<\alpha <1\\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if }}\;\alpha =0\end{cases}}}$

الوظيفة${\displaystyle \varphi _{t}}$يمكن دائمًا اختيارها عندما تكون العملية الإضافية عبارة عن مارتينجال . ^{[ 12 ]}

عملية إضافية موجبة غير متناقصة${\displaystyle \{S_{t}\}_{t\geq 0}}$مع القيم في${\displaystyle \mathbb {R} }$هو مُرَتِّب فرعي جمعي . المُرَتِّب الفرعي الجمعي هو شبه مارتينجال (بفضل كونه غير متناقص) ويمكن دائمًا إعادة كتابة تحويل لابلاس الخاص به على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-uS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right).}$^{[ 13 ]}

من الممكن استخدام مُرَتِّب إضافي لتغيير وقت عملية ليفي والحصول على فئة جديدة من العمليات الإضافية. ^{[ 14 ]}

عملية ذاتية التشابه تراكمية${\displaystyle \{Z_{t}\}_{t\geq 0}}$تُسمى عملية ساتو. ^{[ 15 ]} من الممكن إنشاء عملية ساتو من عملية ليفي ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$بحيث${\displaystyle Z_{t}}$ينطبق عليه نفس قانون${\displaystyle t^{h}X_{1}}$.

ومن الأمثلة على ذلك عملية ساتو ذات التباين غاما، والتي تم الحصول عليها انطلاقاً من عملية التباين غاما .

الدالة المميزة لتباين جاما عند الزمن${\displaystyle t=1}$يكون

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}}}\right)^{1/\nu },}$

أين${\displaystyle \theta ,\nu }$و${\displaystyle \sigma }$هي ثوابت موجبة.

الدالة المميزة لتباين جاما SSD هي

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}t^{2}h}}\right)^{1/\nu }}$^{[ 16 ]}

تُعدّ محاكاة القفز تعميمًا لتقنية محاكاة القفز المُطوّرة لعمليات ليفي، لتشمل فئة العمليات الجمعية. تعتمد هذه الطريقة على اقتطاع القفزات الصغيرة التي تقلّ عن عتبة مُحدّدة، ومحاكاة عدد محدود من القفزات المستقلة. علاوة على ذلك، يُمكن تطبيق تقريب غاوسي لاستبدال القفزات الصغيرة بحدّ انتشاري. كما يُمكن استخدام خوارزمية الزقورة لتسريع محاكاة القفزات. ^{[ 18 ]}

تُعدّ محاكاة عملية ليفي عبر عكس الدالة المميزة تقنية راسخة في الأدبيات العلمية. ^{[ 19 ]} ويمكن توسيع نطاق هذه التقنية لتشمل العمليات الجمعية. وتتمثل الفكرة الأساسية في الحصول على تقريب لدالة التوزيع التراكمي (CDF) عن طريق عكس الدالة المميزة . ويتم تحسين سرعة العكس باستخدام تحويل فورييه السريع . وبمجرد الحصول على تقريب دالة التوزيع التراكمي، يصبح من الممكن محاكاة زيادة العملية الجمعية بمجرد محاكاة متغير عشوائي منتظم. وتتشابه التكلفة الحسابية لهذه الطريقة مع تكلفة محاكاة الحركة البراونية الهندسية القياسية. ^{[ 20 ]}

تُستخدم عملية ليفي لنمذجة العوائد اللوغاريتمية لأسعار السوق. مع ذلك، لا تُحاكي استقرارية الزيادات بيانات السوق بدقة. تُناسب عملية ليفي أسعار خيارات الشراء والبيع ( التقلب الضمني ) لتاريخ انتهاء صلاحية واحد، لكنها تعجز عن مُلاءمة أسعار الخيارات ذات آجال استحقاق مختلفة ( سطح التقلب ). تُدخل العملية الجمعية عدم استقرار حتمي يسمح لها بملاءمة جميع تواريخ انتهاء الصلاحية. ^{[ 3 ]}

يمكن لعملية ساتو ذات الأربعة معلمات (عملية جمع ذاتية التشابه) أن تعيد إنتاج سطح التقلب بدقة (بنسبة خطأ 3% في سوق الأسهم S&P 500 ). عادةً ما يتم الحصول على هذا القدر من الخطأ باستخدام نماذج ذات 6-10 معلمات لملاءمة بيانات السوق. ^{[ 21 ]} تصف العملية ذاتية التشابه بيانات السوق بدقة نظرًا لتوزيعها المسطح ذي الالتواء والتفرطح الزائد ؛ وقد لاحظت الدراسات التجريبية هذا السلوك في توزيع السوق ذي الالتواء والتفرطح الزائد. ^{[ 22 ]} من بين العمليات التي تُطابق أسعار الخيارات بنسبة خطأ 3%: VGSSD وNIGSSD وMXNRSSD المُستمدة من عملية جاما التباينية، وعملية غاوس العكسية الطبيعية، وعملية ميكسنر. ^{[ 23 ]}

تتوافق العمليات المستقرة المعتدلة المضافة بدقة مع بيانات سوق الأسهم (بنسبة خطأ أقل من 0.8% في سوق أسهم مؤشر ستاندرد آند بورز 500 )، وخاصةً بالنسبة لآجال الاستحقاق القصيرة. كما تُحاكي هذه المجموعة من العمليات بدقة عالية انحراف التقلب الضمني في سوق الأسهم. علاوة على ذلك، تظهر خاصية قياس القوة المثيرة للاهتمام في المعاملات المُعايرة.${\displaystyle k_{t}={\bar {k}}t^{\beta }}$و${\displaystyle \eta _{t}={\bar {\eta }}t^{\delta }}$هناك أدلة إحصائية على ذلك ${\displaystyle \beta =1}$ و${\displaystyle \delta =-1/2}$[ ^{24 ]​}

يُستخدم التبعية الليفية لإنشاء عمليات ليفية جديدة (مثل عملية غاما التباينية وعملية غاوس العكسية الطبيعية). توجد تطبيقات مالية عديدة للعمليات المُنشأة بواسطة التبعية الليفية. تحافظ العملية الجمعية المُنشأة عبر التبعية الجمعية على سهولة التحليل للعملية المُنشأة عبر التبعية الليفية، ولكنها تعكس بشكل أفضل بنية بيانات السوق غير المتجانسة زمنيًا. ^{[ 25 ]} تُطبق التبعية الجمعية على سوق السلع ^{[ 26 ]} وعلى خيارات مؤشر تقلبات السوق (VIX). ^{[ 27 ]}

يمكن تطبيق مُقدِّر يعتمد على الحد الأدنى لعملية جمعية على معالجة الصور. ويهدف هذا المُقدِّر إلى التمييز بين الإشارة الحقيقية والضوضاء في وحدات البكسل في الصورة. ^{[ 4 ]}