التوزيع الطبيعي المعكوس الغاوسي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

التوزيع الطبيعي -الغاوسي المعكوس ( NIG ، المعروف أيضًا بتوزيع والد الطبيعي ) هو توزيع احتمالي مستمر يُعرَّف بأنه مزيج التباين والمتوسط ​​الطبيعي حيث تكون كثافة المزج هي التوزيع الغاوسي المعكوس . وقد لاحظ بليسلد توزيع NIG في عام 1977 كفئة فرعية من التوزيع الزائدي المعمم الذي اكتشفه أولي بارندورف-نيلسن . [ 2 ] وفي العام التالي، نشر بارندورف-نيلسن توزيع NIG في ورقة بحثية أخرى. [ 3 ] وقد تم تقديمه في أدبيات التمويل الرياضي في عام 1997. [ 4 ]

تُستخدم معلمات التوزيع الطبيعي-الغاوسي المعكوس غالبًا لإنشاء مخطط الثقل والالتواء المسمى مثلث NIG. [ 5 ]

ملكيات

لحظات

إن وجود صيغة بسيطة لدالة توليد العزوم يعني أن الصيغ البسيطة لجميع العزوم متاحة. [ 6 ] [ 7 ]

التحويل الخطي

هذه الفئة مغلقة تحت التحويلات الأفينية ، لأنها حالة خاصة من التوزيع الزائدي المعمم ، الذي يتمتع بنفس الخاصية. إذا x∼شمالأناجي(α،β،دلتا،μ) و y=أx+ب،{\displaystyle x\sim {\mathcal {NIG}}(\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ){\text{ and }}y=ax+b,} ثم [ 8 ]y∼شمالأناجي(α|أ|،βأ،|أ|دلتا،أμ+ب).{\displaystyle y\sim {\mathcal {NIG}}{\bigl (}{\frac {\alpha }{\left|a\right|}},{\frac {\beta }{a}},\left|a\right|\delta ,a\mu +b{\bigr )}.}

الخلاصة

هذه الفئة قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية ، لأنها حالة خاصة من التوزيع الزائدي المعمم ، والذي له نفس الخاصية.

التفاف

تُعتبر فئة التوزيعات الطبيعية-الغاوسية المعكوسة مغلقة تحت عملية الالتفاف بالمعنى التالي: [ 9 ] إذاX1{\displaystyle X_{1}}وX2{\displaystyle X_{2}}هي متغيرات عشوائية مستقلة تتبع توزيع NIG ولها نفس قيم المعلماتα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }ولكن ربما بقيم مختلفة لمعاملات الموقع والمقياس،μ1{\displaystyle \mu _{1}}،دلتا1{\displaystyle \delta _{1}}وμ2،{\displaystyle \mu _{2},}دلتا2{\displaystyle \delta _{2}}على التوالي، ثم X1+X2{\displaystyle X_{1}+X_{2}}يتم توزيعها بواسطة NIG مع المعلماتα{\displaystyle \alpha }،β{\displaystyle \beta }،μ1+μ2{\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}ودلتا1+دلتا2.{\displaystyle \delta _{1}+\delta _{2}.}

تُعدّ فئة توزيعات NIG نظامًا مرنًا من التوزيعات يشمل التوزيعات ذات الذيل السميك والتوزيعات الملتوية، والتوزيع الطبيعي .شمال(μ،σ2)،{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}),}ينشأ كحالة خاصة عن طريق تحديدβ=0،دلتا=σ2α،{\displaystyle \beta =0,\delta =\sigma ^{2}\alpha ,}والسماحα→∞{\displaystyle \alpha \rightarrow \infty }.

عملية عشوائية

يمكن أيضًا اعتبار التوزيع الطبيعي-الغاوسي العكسي بمثابة التوزيع الهامشي لعملية التوزيع الطبيعي-الغاوسي العكسي، مما يوفر طريقة بديلة لبنائه بشكل صريح. بدءًا من حركة براونية منجرفة ( عملية وينر )،دبليو(γ)(ت)=دبليو(ت)+γت{\displaystyle W^{(\gamma )}(t)=W(t)+\gamma t}يمكننا تعريف عملية غاوس العكسيةأت=معلومات{s>0:دبليو(γ)(s)=دلتات}.{\displaystyle A_{t}=\inf\{s>0:W^{(\gamma )}(s)=\delta t\}.}ثم بالنظر إلى حركة براونية مستقلة ثانية منجرفة،دبليو(β)(ت)=دبليو~(ت)+βت{\displaystyle W^{(\beta )}(t)={\tilde {W}}(t)+\beta t}إن عملية غاوس المعكوسة العادية هي عملية متغيرة زمنيًاXت=دبليو(β)(أت){\displaystyle X_{t}=W^{(\beta )}(A_{t})}العمليةX(ت){\displaystyle X(t)}في ذلك الوقتت=1{\displaystyle t=1}يتبع التوزيع الطبيعي-الغاوسي المعكوس الموصوف أعلاه. وتُعد عملية NIG حالة خاصة من فئة عمليات ليفي الأكثر عمومية .

كمزيج من التباين والمتوسط

يتركأناجي{\displaystyle {\mathcal {IG}}}يرمز إلى التوزيع الغاوسي العكسي وشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}لنرمز إلى التوزيع الطبيعي .z∼أناجي(دلتا،γ){\displaystyle z\sim {\mathcal {IG}}(\delta ,\gamma )}، أينγ=α2-β2{\textstyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}ودعx∼شمال(μ+βz،z){\displaystyle x\sim {\mathcal {N}}(\mu +\beta z,z)}، ثمx{\displaystyle x}يتبع توزيع NIG، مع المعلمات التالية:α،β،دلتا،μ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta ,\mu }يمكن استخدام هذا لتوليد متغيرات NIG عن طريق أخذ عينات من الأجداد . كما يمكن استخدامه لاستنتاج خوارزمية EM لتقدير معلمات NIG باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى . [ 10 ]

مراجع

  1. ↑ أولي إي بارندورف-نيلسن، توماس ميكوش، وسيدني آي. ريسنيك، عمليات ليفي: النظرية والتطبيقات، بيركهاوزر 2013. ملاحظة: يُشار إلى هذه الدالة في الأدبيات أيضًا باسم دالة بيسل المعدلة من النوع الثالث.
  2. ↑ بارندورف-نيلسن، أولي (1977). "توزيعات متناقصة أُسّيًا للوغاريتم حجم الجسيمات". وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية . 353 (1674). الجمعية الملكية: 401-409 . doi : 10.1098/rspa.1977.0041 . JSTOR 79167 . 
  3. ↑ أو. بارندورف-نيلسن، التوزيعات الزائدية والتوزيعات على القطع الزائدية، المجلة الإسكندنافية للإحصاء 1978
  4. ↑ O. Barndorff-Nielsen، التوزيعات الطبيعية العكسية الغاوسية ونمذجة التقلبات العشوائية، المجلة الإسكندنافية للإحصاء 1997
  5. ↑ إس تي راتشيف، دليل التوزيعات ذات الذيل الثقيل في التمويل، المجلد 1: أدلة في التمويل، الكتاب 1، نورث هولاند 2003
  6. ↑ إريك بولفيكن، فريد إسبن بيث، قياس المخاطر في الأسهم النرويجية عبر التوزيع الطبيعي العكسي الغاوسي، وقائع ندوة AFIR 2000
  7. ↑ آنا كاليمانوفا، بيرند شميد، رالف فيرنر، التوزيع الطبيعي العكسي الغاوسي لتسعير سندات الدين المضمونة التركيبية، مجلة المشتقات 2007
  8. ↑ باوليلا، مارك س (2007). الاحتمال المتوسط: منهج حسابي . جون وايلي وأولاده.
  9. ↑ أولي إي بارندورف-نيلسن، توماس ميكوش وسيدني آي. ريسنيك، عمليات ليفي: النظرية والتطبيقات، بيركهاوزر 2013
  10. ↑ كارليس، ديميتريس (2002). "خوارزمية من نوع EM لتقدير الاحتمال الأقصى للتوزيع الطبيعي - التوزيع الغاوسي المعكوس". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 57 : 43-52 .