التوزيع الغاوسي المعكوس

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 122 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، يُعد التوزيع الغاوسي العكسي (المعروف أيضًا باسم توزيع والد ) عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ذات معلَمين ، ولها نطاق على(0،∞){\displaystyle (0,\infty )}⁠ .

دالة كثافة الاحتمال الخاصة بها معطاة بـ

و(x؛μ،λ)=λ2πx3خبرة⁡(-λ(x-μ)22μ2x){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}

لـ​x>0{\displaystyle x>0}، حيثμ>0{\displaystyle \mu >0}هو المتوسط ​​وλ>0{\displaystyle \lambda >0}هو مُعامل شكل . [ 1 ] إماμ{\displaystyle \mu }أو​​λ{\displaystyle \lambda }( أو بشكل عام أي مزيج من الشكلμصλ1-ص{\displaystyle \mu ^{p}\lambda ^{1-p}}لأي حقيقيص{\displaystyle p}يمكن أن يعمل ) كمعامل قياس ، لذا فإن معامل الشكل المناسب (أي غير المقياس) سيكون أي قوة غير صفرية لـ ⁠φ=λ/μ{\displaystyle \varphi =\lambda /\mu }اقترح تويدي استخدام(μ،φ){\displaystyle (\mu ,\varphi )}و​​(φ،λ){\displaystyle (\varphi ,\lambda )}معلمات إضافية بالإضافة إلى المعيار(μ،λ){\displaystyle (\mu ,\lambda )}⁠ المعلمة ("كل من هذه الأشكال مناسب أو موحٍ لغرض ما." [ 2 ] )، وفي وقت لاحق يستخدم حصريًا ⁠(φ،λ){\displaystyle (\varphi ,\lambda )}تحديد المعلمات. [ 3 ]

يتمتع التوزيع الغاوسي المعكوس بعدة خصائص مشابهة للتوزيع الغاوسي . قد يكون الاسم مُضللاً بعض الشيء: فهو معكوس فقط من حيث أنه، بينما يصف التوزيع الغاوسي مستوى الحركة البراونية عند زمن ثابت، يصف التوزيع الغاوسي المعكوس توزيع الزمن الذي تستغرقه الحركة البراونية ذات الانحراف الموجب للوصول إلى مستوى موجب ثابت. وبالتالي، فإن العلاقة بين التوزيع الغاوسي والتوزيع الغاوسي المعكوس هي نفسها العلاقة بين التوزيع ذي الحدين (عدد مرات النجاح لعدد ثابت من تجارب برنولي ) والتوزيع ذي الحدين السالب (عدد مرات تجارب برنولي لعدد ثابت من مرات النجاح). [ 4 ]

انعكاسات المحور الصادي لدوال توليد العزوم التراكمية لتوزيعات غاوس وغاوس المعكوسة هي انعكاسات لبعضها البعض (أي أن رسوم دوال توليد العزوم التراكمية هي انعكاسات لبعضها البعض عبر الخط ).y=-x{\displaystyle y=-x}) ، وهي خاصية مشتركة أيضًا بين التوزيعات ذات الحدين والتوزيعات ذات الحدين السالبة (بعد قسمة دوال توليد العزوم التراكمية الخاصة بها على المعلمة الثابتة الخاصة بها). [ 4 ]

للإشارة إلى أن متغيرًا عشوائيًاX{\displaystyle X}يتبع التوزيع الطبيعي العكسي بمتوسطμ{\displaystyle \mu }⁠ and shape parameter ⁠λ{\displaystyle \lambda }⁠ we write ⁠X∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}⁠.

Properties

Single parameter form

The probability density function (pdf) of the inverse Gaussian distribution has a single parameter form given by

f(x;μ,μ2)=μ2πx3exp⁡(−(x−μ)22x).{\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

In this form, the mean and variance of the distribution are equal, ⁠E[X]=Var⁡(X){\displaystyle \mathbb {E} [X]=\operatorname {Var} (X)}⁠.

Also, the cumulative distribution function (cdf) of the single parameter inverse Gaussian distribution is related to the standard normal distribution by

Pr(X<x)=Φ(−z1)+e2μΦ(−z2),{\displaystyle {\begin{align}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{محاذاة}}}

where ⁠z1=μx1/2−x1/2{\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}}⁠, ⁠z2=μx1/2+x1/2{\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2}}⁠, and the Φ{\displaystyle \Phi } is the cdf of standard normal distribution. The variables z1{\displaystyle z_{1}} and z2{\displaystyle z_{2}} are related to each other by the identity ⁠z22=z12+4μ{\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu }⁠.

In the single parameter form, the MGF simplifies to

M(t)=exp⁡[μ(1−1−2t)].{\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}

An inverse Gaussian distribution in double parameter form f(x;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )} can be transformed into a single parameter form f(y;μ0,μ02){\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})} by appropriate scaling ⁠y=μ2xλ{\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }}}⁠, where ⁠μ0=μ3/λ{\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda }⁠.

The above paragraph can be re-written as: if ⁠Y=λX/μ2<{\displaystyle Y=\lambda X/\mu ^{2}<}⁠, then ⁠Y∼IG⁡(λ/μ,(λ/μ)2){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (\lambda /\mu ,(\lambda /\mu )^{2})}⁠[5]. This approach is better in the sense that it clearly shows dimensionless nature of the single parameter form (note that ⁠dim⁡λ=dim⁡μ=dim⁡x{\displaystyle \dim \lambda =\dim \mu =\dim x}⁠). This property follows from a more general fact: if a>0{\displaystyle a>0} and ⁠Y=aX{\displaystyle Y=aX}⁠, then ⁠Y∼IG⁡(aμ,aλ){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (a\mu ,a\lambda )}⁠[2].

The standard form of inverse Gaussian distribution is

f(x;1,1)=12πx3exp⁡(−(x−1)22x).{\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

Summation

If ⁠Xi{\displaystyle X_{i}}⁠ has an IG⁡(μ0wi,λ0wi2){\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})} distribution for ⁠i=1,2,…,n{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}⁠ and all ⁠Xi{\displaystyle X_{i}}⁠ are independent, then

S=∑i=1nXi∼IG⁡(μ0∑wi,λ0(∑wi)2).{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}

The special case wi=1/n{\displaystyle w_{i}=1/n} shows that the inverse Gaussian distribution is infinitely divisible.

Note that

Var⁡(Xi)E⁡(Xi)=μ02wi2λ0wi2=μ02λ0{\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}

is constant for all ⁠i{\displaystyle i}⁠. This is a necessary condition for the summation. Otherwise ⁠S{\displaystyle S}⁠ would not be Inverse Gaussian distributed.

Scaling

For any ⁠t>0{\displaystyle t>0}⁠ it holds that

X∼IG⁡(μ,λ)⇒tX∼IG⁡(tμ,tλ).{\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}

Exponential family

The inverse Gaussian distribution is a two-parameter exponential family with natural parameters⁠−λ/(2μ2){\displaystyle -\lambda /(2\mu ^{2})}⁠ and ⁠−λ/2{\displaystyle -\lambda /2}⁠, and natural statistics⁠X{\displaystyle X}⁠ and ⁠1/X{\displaystyle 1/X}⁠.

For λ>0{\displaystyle \lambda >0} fixed, it is also a single-parameter natural exponential family distribution[6] where the base distribution has density

h(x)=λ2πx3exp⁡(−λ2x)1[0,∞)(x).{\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

Indeed, with ⁠θ≤0{\displaystyle \theta \leq 0}⁠,

p(x;θ)=exp⁡(θx)h(x)∫exp⁡(θy)h(y)dy{\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}

is a density over the reals. Evaluating the integral, we get

p(x;θ)=λ2πx3exp⁡(−λ2x+θx−−2λθ)1[0,∞)(x).{\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

Substituting θ=−λ/(2μ2){\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})} makes the above expression equal to ⁠f(x;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}⁠.

Relationship with Brownian motion

مثال على مسارات عشوائية متوقفة معα=1،ν=0.1،σ=0.2{\displaystyle \alpha =1,\nu =0.1,\sigma =0.2}يُظهر الشكل العلوي المدرج التكراري لأوقات الانتظار، بالإضافة إلى التنبؤ وفقًا لتوزيع غاوسي معكوس. أما الشكل السفلي فيُظهر المسارات .

لنفترض أن العملية العشوائيةXت{\displaystyle X_{t}}يُعطى بواسطة

X0=0{\displaystyle X_{0}=0\quad }
Xت=νت+σدبليوت{\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }

أين​دبليوت{\displaystyle W_{t}}⁠ هي حركة براونية قياسية. أي أن ⁠Xت{\displaystyle X_{t}}هي حركة براونية مع انجرافν>0{\displaystyle \nu >0}⁠ .

ثم زمن المرور الأول لمستوى ثابتα>0{\displaystyle \alpha >0}بواسطة​Xت{\displaystyle X_{t}}يتم توزيعها وفقًا لتوزيع غاوسي معكوس:

تيα=معلومات{ت>0|Xت=α}∼إنستغرام⁡(αν،(ασ)2)=ασ2πx3خبرة⁡(-(α-νx)22σ2x){\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}

أي

P(تيα∈(تي،تي+دتي))=ασ2πتي3خبرة⁡(-(α-νتي)22σ2تي)دتي{\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}

(انظر معادلة شرودنغر [ 7 ] 19، وسمولوشوفسكي [ 8 ] ، المعادلة 8، وفولكس [ 5 ] ، المعادلة 1).

عندما يكون الانحراف صفراً

تنشأ حالة خاصة شائعة لما سبق عندما لا يكون للحركة البراونية أي انجراف. في هذه الحالة، يكون المعامل ⁠μ{\displaystyle \mu }يؤول إلى اللانهاية ، ووقت المرور الأول لمستوى ثابتα{\displaystyle \alpha }دالة كثافة الاحتمال

و(x؛0،(ασ)2)=ασ2πx3خبرة⁡(-α22σ2x){\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}

(انظر أيضًا Bachelier [ 9 ] : 74 [ 10 ] : 39 ). هذا توزيع ليفي ذو معلماتج=(ασ)2{\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}و​μ=0{\displaystyle \mu =0}⁠ .

أقصى احتمال

النموذج حيث

Xأنا∼إنستغرام⁡(μ،λwأنا)،أنا=1،2،...،ن{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}

مع الجميعwأنا{\displaystyle w_{i}}معروف ،​(μ،λ){\displaystyle (\mu ,\lambda )}مجهول وكل شيءXأنا{\displaystyle X_{i}}للمستقل دالة الاحتمال التالية :

ل(μ،λ)=(λ2π)ن2(∏أنا=1نwأناXأنا3)12خبرة⁡(λμ∑أنا=1نwأنا-λ2μ2∑أنا=1نwأناXأنا-λ2∑أنا=1نwأنا1Xأنا).{\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}

ينتج عن حل معادلة الاحتمالية تقديرات الاحتمالية القصوى التالية

μ^=∑أنا=1نwأناXأنا∑أنا=1نwأنا،1λ^=1ن∑أنا=1نwأنا(1Xأنا-1μ^).{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}

μ^{\displaystyle {\widehat {\mu }}}وλ^{\displaystyle {\widehat {\lambda }}}مستقلون و

μ^∼إنستغرام⁡(μ،λ∑أنا=1نwأنا)،نλ^∼1λχن-12.{\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}

أخذ العينات من توزيع غاوسي معكوس

يمكن استخدام الخوارزمية التالية. [ 11 ]

قم بتوليد متغير عشوائي من توزيع طبيعي بمتوسط ​​⁠0{\displaystyle 0}والانحراف المعياري يساوي1{\displaystyle 1}⁠

ν∼شمال(0،1).{\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}

ربع القيمة

y=ν2{\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}

واستخدم العلاقة

x=μ+μ2y2λ-μ2λ4μλy+μ2y2.{\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}

قم بتوليد متغير عشوائي آخر، هذه المرة يتم أخذ عينة منه من توزيع منتظم بين0{\displaystyle 0}و​​1{\displaystyle 1}⁠

z∼يو(0،1).{\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}

لوz≤μμ+x{\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}ثم العودة x{\displaystyle \displaystyle x} وإلا فارجع μ2x.{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}

نموذج كود بلغة جافا :

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand.nextGaussian ( ); // أخذ عينة من توزيع طبيعي بمتوسط ​​0 وانحراف معياري 1 double y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math.sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ) ; double test = rand.nextDouble ( ); // أخذ عينة من توزيع منتظم بين 0 و 1 if ( test < = ( mu ) / ( mu + x ) ) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }
توزيع والد باستخدام بايثون بمساعدة matplotlib و NumPy

ولرسم توزيع والد في بايثون باستخدام matplotlib و NumPy :

استيراد matplotlib.pyplot كـ plt واستيراد numpy كـ nph = plt.hist ( np.random.wald ( 3 , 2 , 100000 ) , bins = 200 , density = True )​​​​​plt.show ( )​
  • إذا​X∼إنستغرام⁡(μ،λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}ثم​​كX∼إنستغرام⁡(كμ،كλ){\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )}لأي عدد​ك>0{\displaystyle k>0}[ 1 ]​​
  • لوXأنا∼إنستغرام⁡(μ،λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}ثم​1{\displaystyle {1}}⁠ .
  • لوXأنا∼إنستغرام⁡(μ،λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}لأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\ldots ,n}ثم​X¯∼إنستغرام⁡(μ،نλ){\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )}⁠ .
  • لوXأنا∼إنستغرام⁡(μأنا،2μأنا2){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})}ثم​∑أنا=1نXأنا∼إنستغرام⁡(∑أنا=1نμأنا،2(∑أنا=1نμأنا)2){\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)}⁠ .
  • إذا​X∼إنستغرام⁡(μ،λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}ثم​​λ(X-μ)2/μ2X∼χ2(1){\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)}[ 12 ]​​

يُستخدم الالتفاف بين التوزيع الغاوسي العكسي (توزيع والد) والتوزيع الأسي (توزيع إكس-والد) كنموذج لأوقات الاستجابة في علم النفس، [ 13 ] مع البحث البصري كمثال على ذلك. [ 14 ]

تاريخ

يبدو أن هذا التوزيع قد تم اشتقاقه لأول مرة عام 1900 على يد لويس باشيليه [ 9 ] [ 10 ] باعتباره الوقت الذي يصل فيه سعر السهم إلى سعر معين لأول مرة. وفي عام 1915، استخدمه إرفين شرودنغر [ 7 ] وماريان فون سمولوشوفسكي [ 8 ] بشكل مستقل باعتباره الوقت اللازم لأول مرور لحركة براونية. في مجال نمذجة التكاثر، يُعرف هذا التوزيع باسم دالة هادويغر، نسبةً إلى هوغو هادويغر الذي وصفه عام 1940. [ 15 ] أعاد أبراهام والد اشتقاق هذا التوزيع عام 1944 [ 16 ] باعتباره الشكل النهائي لعينة في اختبار نسبة الاحتمال المتسلسل. اقترح موريس تويدي اسم التوزيع الغاوسي المعكوس عام 1945. [ 4 ] درس تويدي هذا التوزيع عامي 1956 [ 17 ] و1957 [ 2 ] [ 3 ] وأثبت بعض خصائصه الإحصائية. تمت مراجعة التوزيع بشكل موسع من قبل فولكس وشيكارا في عام 1978. [ 5 ]

توزيع غاوسي معكوس مصنف

بافتراض أن الفترات الزمنية بين حدوث ظاهرة عشوائية تتبع توزيعًا غاوسيًا معكوسًا، يُشار إلى التوزيع الاحتمالي لعدد مرات حدوث هذا الحدث خلال فترة زمنية محددة باسم التوزيع الغاوسي المعكوس المصنف . [ 18 ] وبينما يتم حساب العزم الأول والثاني لهذا التوزيع، فإن اشتقاق دالة توليد العزم لا يزال يمثل مشكلة مفتوحة.

الحساب العددي والبرمجيات

على الرغم من بساطة صيغة دالة كثافة الاحتمال، فإن حسابات الاحتمال العددي لتوزيع غاوس العكسي تتطلب عناية خاصة لتحقيق دقة كاملة للآلة في العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة لجميع قيم المعلمات. [ 19 ] توفر العديد من الحزم البرمجية في لغة البرمجة R دوالًا لتوزيع غاوس العكسي، بما في ذلك rmutil، [ 20 ] [ 21 ] وSuppDists، [ 22 ] وSTAR، [ 23 ] وinvGauss، [ 24 ] وLaplacesDemon، [ 25 ] وstatmod. [ 26 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 تشيكارا، راج س.؛ فولكس، ج. ليروي (1989)، التوزيع الغاوسي العكسي: النظرية والمنهجية والتطبيقات ، نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مارسيل ديكر، إنك، ISBN 0-8247-7997-5
  2. 1 2 3 تويدي، إم سي كيه (1957). "الخواص الإحصائية لتوزيعات غاوس المعكوسة 1" . حوليات الإحصاء الرياضي . 28 (2): 362-377 . doi : 10.1214/aoms/1177706964 . JSTOR 2237158 . 
  3. 1 2 تويدي، إم سي كيه (1957). "الخواص الإحصائية لتوزيعات غاوس المعكوسة II" . حوليات الإحصاء الرياضي . 28 (3): 696-705 . doi : 10.1214/aoms/1177706881 . JSTOR 2237229 . 
  4. 1 2 3 تويدي، ماك (1945). "المتغيرات الإحصائية العكسية" . مجلة نيتشر . 155 (3937): 453. رمز Bibcode : 1945Natur.155..453T . doi : 10.1038/155453a0 . S2CID 4113244 . 
  5. 1 2 3 Folks, J. Leroy; Chhikara, Raj S. (1978), "التوزيع الغاوسي العكسي وتطبيقاته الإحصائية - مراجعة"، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية ، السلسلة ب (المنهجية)، 40 (3): 263-275 ، doi : 10.1111/j.2517-6161.1978.tb01039.x ، JSTOR 2984691 ، S2CID 125337421  
  6. ↑ سيشادري، ف. (1999)، التوزيع الغاوسي العكسي ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-98618-0
  7. 1 2 شرودنغر، إروين (1915)، “Zur Theorie der Fall- und Steigver suche an Teilchen mit Brownscher Bewegung” [ حول نظرية تجارب السقوط والصعود على الجسيمات ذات الحركة البراونية ] ، Physikalische Zeitschrift (بالألمانية)، 16 (16) : 289–295
  8. 1 2 سمولوتشوفسكي، ماريان (1915)، “Notiz über die Berechnung der Brownschen Molekularbewegung bei der Ehrenhaft-Millikanschen Ver suchsanordnung” [ ملاحظة حول حساب الحركة الجزيئية البراونية في إعداد Ehrenhaft-Millikan التجريبي ] ، Physikalische Zeitschrift (في الألمانية) 16 (17/ 18): 318 - 321
  9. 1 2 باشيلير، لويس (1900)، “Théorie de la spéculation” [ نظرية المضاربة ] (PDF) ، آن. الخيال العلمي. المفوضية الأوروبية. نورم. ممتاز. (بالفرنسية)، الدوري الإيطالي 3، 17: 21–89 ، دوى : 10.24033/asens.476
  10. 1 2 باشيليه، لويس (1900)، "نظرية المضاربة" ، حوليات العلوم، المدرسة العليا العادية ، السلسلة 3، 17: 21-89 (الترجمة الإنجليزية لديفيد ر. ماي، 2011)، doi : 10.24033/asens.476
  11. ↑ مايكل، جون ر.؛ شوكاني، ويليام ر.؛ هاس، روي و. (1976)، "توليد متغيرات عشوائية باستخدام تحويلات ذات جذور متعددة"، الإحصائي الأمريكي ، 30 (2): 88-90 ، doi : 10.1080/00031305.1976.10479147 ، JSTOR 2683801 
  12. ↑ شوستر، ج. (1968). "حول دالة التوزيع الغاوسي العكسي". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 63 (4): 1514-1516 . doi : 10.1080/01621459.1968.10480942 .
  13. ↑ شوارتز، وولفغانغ (2001)، "توزيع إكس-والد كنموذج وصفي لأوقات الاستجابة"، أساليب البحث السلوكي، والأدوات، والحواسيب ، 33 (4): 457-469 ، doi : 10.3758/bf03195403 ، PMID 11816448 
  14. ↑ بالمر، إي إم؛ هورويتز، تي إس؛ تورالبا، إيه؛ وولف، جيه إم (2011). "ما هي أشكال توزيعات زمن الاستجابة في البحث البصري؟" . مجلة علم النفس التجريبي: الإدراك والأداء البشري . 37 (1): 58-71 . doi : 10.1037/a0020747 . PMC 3062635. PMID 21090905 .  
  15. ^ هادويجر، هـ. (1940). "وظيفة الاستنساخ التحليلي للأبحاث البيولوجية". سكاندينافيسك Aktuarietidskrijt . 7 ( 3– 4): 101– 113. دوى : 10.1080/03461238.1940.10404802 .
  16. ↑ والد، أبراهام (1944)، "حول المجاميع التراكمية للمتغيرات العشوائية"، حوليات الإحصاء الرياضي ، 15 (3): 283-296 ، doi : 10.1214/aoms/1177731235 ، JSTOR 2236250 
  17. ↑ تويدي، إم سي كيه (1956). "بعض الخصائص الإحصائية لتوزيعات غاوس المعكوسة". مجلة فرجينيا للعلوم . السلسلة الجديدة. 7 (3): 160-165 .
  18. ↑ توزيع المدخلات الذي يحقق التكلفة لكل وحدة من السعة للخلايا العصبية البيولوجية ذات التوزيع الغاوسي العكسي المصنف، بقلم: م. ناصرائي، هـ. م. كوردي، ج. كازيميتابار، مجلة IEEE للمعاملات في الاتصالات، 70 (6)، 3788-3803
  19. ↑ جينر، جوكنور؛ سميث، جوردون (أغسطس 2016). "statmod: حسابات احتمالية لتوزيع غاوسي معكوس" . مجلة R. 8 ( 1): 339-351 . arXiv : 1603.06687 . doi : 10.32614/RJ-2016-024 .
  20. ↑ ليندسي، جيمس (2013-09-09). "rmutil: أدوات مساعدة لنماذج الانحدار غير الخطي ونماذج القياسات المتكررة" .
  21. ↑ سويارت، بروس؛ ليندسي، جيمس (2019-03-04). "rmutil: أدوات مساعدة لنماذج الانحدار غير الخطي ونماذج القياسات المتكررة" .
  22. ↑ ويلر، روبرت (2016-09-23). ​​"SuppDists: التوزيعات التكميلية" .
  23. ↑ بوزات، كريستوف (2015-02-19). "STAR: تحليل قطارات النبضات باستخدام R" .
  24. ↑ جيسينج، هاكون ك. (2014-03-29). "انحدار العتبة الذي يناسب التوزيع الغاوسي العكسي (الانحراف العشوائي) لبيانات البقاء" .
  25. ↑ هول، بايرون؛ هول، مارتينا؛ ستاتيستيكات، ذ.م.م.؛ براون، إريك؛ هيرمانسون، ريتشارد؛ شاربنتييه، إيمانويل؛ هيك، دانيال؛ لوران، ستيفان؛ غروناو، كوينتين ف.؛ سينغمان، هنريك (29-03-2014). "لابلاس ديمون: بيئة كاملة للاستدلال البايزي" .
  26. ↑ جينر، جوكنور؛ سميث، جوردون (2017-06-18). "statmod: النمذجة الإحصائية" .

للمزيد من القراءة

  • هويلاند، أرنليوت ؛ راوساند، مارفن (1994). نظرية موثوقية الأنظمة . نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-59397-3.
  • سيشادري، ف. (1993). التوزيع الغاوسي العكسي . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-852243-0.