توزيع تويدي

النماذج الموصوفة آنفًا هي نماذج تكاثرية. لكل نموذج تشتت أسي نموذج ثنائي : النموذج الجمعي. إذا كان Y نموذجًا تكاثريًا، فإن Z = λY حيث λ = 1/ σ² يكون في النموذج الجمعي ED ^* ( θ , λ ) ، حيث Tweedie هو Tw ^* _p ( μ , λ ⁾ . تتميز النماذج الجمعية بخاصية أن توزيع مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة، $${\displaystyle Z_{+}=Z_{1}+\cdots +Z_{n},}$$ والتي تكون فيها Z _i ~ ED ^* ( θ , λ _i ) مع θ ثابتة و λ مختلفة أعضاء في عائلة التوزيعات التي لها نفس θ ، $${\displaystyle Z_{+}\sim \operatorname {ED} ^{*}(\theta ,\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}).}$$

توجد فئة ثانية من نماذج التشتت الأسي، ويُشار إليها بالمتغير العشوائي $${\displaystyle Y=Z/\lambda \sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}),}$$ حيث σ² = 1/ λ ، والمعروفة بنماذج التشتت الأسي التناسلي. تتميز هذه النماذج بخاصية أنه بالنسبة لـ n من ^{المتغيرات} العشوائية المستقلة Yᵢ _~ ED( μ, σ² / wi ⁾ ، _مع عوامل ترجيح wᵢ _و    $${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i},}$$ المتوسط ​​المرجح للمتغيرات يعطي، $${\displaystyle w^{-1}\sum _{i=1}^{n}w_{i}Y_{i}\sim \operatorname {ED} (\mu ,\sigma ^{2}/w).}$$

بالنسبة للنماذج الإنجابية، فإن المتوسط ​​المرجح للمتغيرات العشوائية المستقلة ذات μ و σ ² الثابتة وقيم مختلفة لـ w _i هو عضو في عائلة التوزيعات التي لها نفس μ و σ ² .

تتميز نماذج تشتت تويدي الأسي بأنها جمعية وتكاثرية في آن واحد؛ وبالتالي لدينا تحويل الازدواجية$${\displaystyle Y\mapsto Z=Y/\sigma ^{2}.}$$

ومن الخصائص الثالثة لنماذج تويدي أنها غير متغيرة المقياس : بالنسبة لنموذج التشتت الأسي التناسلي Tw _p ( μ , σ ² ) وأي ثابت موجب c، لدينا خاصية الإغلاق تحت تحويل المقياس. $${\displaystyle c\operatorname {Tw} _{p}(\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {Tw} _{p}(c\mu ,c^{2-p}\sigma ^{2}).}$$

لتعريف دالة التباين لنماذج التشتت الأسي، نستخدم تعيين القيمة المتوسطة، أي العلاقة بين المعامل الكنسي θ والمتوسط ​​μ . ويتم تعريفها بواسطة الدالة التالية: $${\displaystyle \tau (\theta )=\kappa ^{\prime }(\theta )=\mu .}$$ مع الدالة التراكمية κ ( θ ). يتم إنشاء دالة التباين V ( μ ) من خلال تعيين القيمة المتوسطة، $${\displaystyle V(\mu )=\tau ^{\prime }[\tau ^{-1}(\mu )].}$$

هنا، يشير الأس السالب في τ ⁻¹ ( μ ) إلى دالة عكسية وليس إلى مقلوبها. وبالتالي، فإن متوسط ​​وتباين متغير عشوائي جمعي هما E( Z ) = λμ و var( Z ) = λV ( μ ) .

يشير عدم ثبات المقياس إلى أن دالة التباين تخضع للعلاقة V ( μ ) = μ ^p . ^{[ 2 ]}

يُعطى الانحراف المعياري للوحدة في توزيع تويدي التناسلي بالصيغة التالية:$${\displaystyle d(y,\mu )={\begin{cases}(y-\mu )^{2},&{\text{for }}p=0\\2(y\log(y/\mu )+\mu -y),&{\text{for }}p=1\\2(\log(\mu /y)+y/\mu -1),&{\text{for }}p=2\\2\left({\frac {\max(y,0)^{2-p}}{(1-p)(2-p)}}-{\frac {y\mu ^{1-p}}{1-p}}+{\frac {\mu ^{2-p}}{2-p}}\right),&{\text{else}}\end{cases}}}$$

تُعطينا خصائص نماذج التشتت الأسي معادلتين تفاضليتين . ^{[ 2 ]} تربط الأولى بين دالة القيمة المتوسطة ودالة التباين، $${\displaystyle {\frac {\partial \tau ^{-1}(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{V(\mu )}}.}$$

يوضح الشكل الثاني كيف ترتبط عملية تعيين القيمة المتوسطة بدالة التراكم ، $${\displaystyle {\frac {\partial \kappa (\theta )}{\partial \theta }}=\tau (\theta ).}$$

يمكن حل هذه المعادلات للحصول على دالة التراكم لحالات مختلفة من نماذج تويدي. ومن ثم، يمكن الحصول على دالة توليد التراكم (CGF) من دالة التراكم. وتُحدد دالة توليد التراكم الجمعية عمومًا بالمعادلة التالية: $${\displaystyle K^{*}(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sZ})]=\lambda [\kappa (\theta +s)-\kappa (\theta )],}$$ وعامل النمو التناسلي بواسطة $${\displaystyle K(s)=\log[\operatorname {E} (e^{sY})]=\lambda [\kappa (\theta +s/\lambda )-\kappa (\theta )],}$$ حيث s هو متغير الدالة المولدة.

بالنسبة لنماذج تويدي الإضافية، تأخذ عوامل التوزيع التراكمي الشكل التالي: $${\displaystyle K_{p}^{*}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )[(1+s/\theta )^{\alpha }-1]&\quad p\neq 1,2,\\-\lambda \log(1+s/\theta )&\quad p=2,\\\lambda e^{\theta }(e^{s}-1)&\quad p=1,\end{cases}}}$$ وبالنسبة للنماذج الإنجابية، $${\displaystyle K_{p}(s;\theta ,\lambda )={\begin{cases}\lambda \kappa _{p}(\theta )\left\{\left[1+s/(\theta \lambda )\right]^{\alpha }-1\right\}&\quad p\neq 1,2,\\[1ex]-\lambda \log[1+s/(\theta \lambda )]&\quad p=2,\\[1ex]\lambda e^{\theta }\left(e^{s/\lambda }-1\right)&\quad p=1.\end{cases}}}$$

يتم الإشارة إلى نماذج Tweedie الإضافية والتكاثرية بشكل تقليدي بالرموز Tw ^* _p ( θ , λ ) و Tw _p ( θ , σ ² ) ، على التوالي.

يُعطي المشتقان الأول والثاني لدوال توليد العزوم، عند s = 0 ، المتوسط ​​والتباين على التوالي. وبذلك، يمكن التأكيد على أنه بالنسبة للنماذج الجمعية، يرتبط التباين بالمتوسط ​​وفقًا لقانون القوة. $${\displaystyle \mathrm {var} (Z)\propto \mathrm {E} (Z)^{p}.}$$

تُعدّ نماذج تشتت تويدي الأسي أساسية في النظرية الإحصائية نظرًا لدورها كبؤر تقارب لمجموعة واسعة من العمليات الإحصائية. وقد أثبت يورغنسن وآخرون نظرية تُحدد السلوك التقاربي لدوال التباين، تُعرف باسم نظرية تقارب تويدي . ^{[ 6 ]} تُصاغ هذه النظرية، بعبارات تقنية، على النحو التالي: ^{[ 2 ]} تكون دالة التباين الواحدية منتظمة من الرتبة p عند الصفر (أو اللانهاية) بشرط أن يكون V ( μ ) ~ c₀μp عندما يقترب μ من الصفر (أو اللانهاية) لجميع القيم الحقيقية لـ ^p و c₀ > 0. عندئذٍ _، بالنسبة _لدالة تباين واحدية منتظمة من الرتبة p عند الصفر أو اللانهاية ، و $${\displaystyle p\notin (0,1),}$$ لأي قيمة μ > 0 و σ ² > 0 لدينا $${\displaystyle c^{-1}\operatorname {ED} (c\mu ,\sigma ^{2}c^{2-p})\rightarrow Tw_{p}(\mu ,c_{0}\sigma ^{2})}$$ عندما تقترب قيمة c من الصفر أو من اللانهاية ، على التوالي، يكون التقارب من خلال قيم c التي تجعل cμ ضمن نطاق θ و c ^{p − 2} / σ ² ضمن نطاق λ . يجب أن يكون النموذج قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية عندما تقترب c ^{2 − p} من اللانهاية. ^{[ 2 ]}

بصورة مبسطة، تشير هذه النظرية إلى أن أي نموذج تشتت أسي يُظهر تقاربًا قانون قوة التباين إلى المتوسط، يجب أن يمتلك دالة تباين تقع ضمن نطاق جاذبية نموذج تويدي. تُعتبر جميع دوال التوزيع تقريبًا ذات دوال توليد العزوم التراكمية المحدودة نماذج تشتت أسي، وتُظهر معظم نماذج التشتت الأسي دوال تباين من هذا النوع. لذا، فإن العديد من التوزيعات الاحتمالية تمتلك دوال تباين تُعبّر عن هذا السلوك التقاربي، وتُصبح توزيعات تويدي محورًا للتقارب لمجموعة واسعة من أنواع البيانات. ^{[ 7 ]}

قانون تايلور هو قانون تجريبي في علم البيئة يربط تباين عدد أفراد نوع معين لكل وحدة مساحة من الموطن بالمتوسط ​​المقابل له بعلاقة أسية . ^{[ 8 ]} بالنسبة لعدد أفراد النوع Y بمتوسط ​​μ وتباين var( Y )، يُكتب قانون تايلور كما يلي: $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\mu ^{p},}$$ حيث a و p ثابتان موجبان. منذ أن وصف إل آر تايلور هذا القانون عام 1961، قُدِّمت تفسيرات عديدة له، تتراوح بين سلوك الحيوان ^{[ 8 ]} ، ونموذج المشي العشوائي ^{[ 9 ]} ، ونموذج الولادة والوفاة والهجرة العشوائي ^{[ 10 ]} ، وصولًا إلى كونه نتيجةً للتوازن واللا توازن في الميكانيكا الإحصائية ^{[ 11 ]} . ولا يوجد إجماع على تفسير لهذا النموذج.

بما أن قانون تايلور مطابق رياضيًا لقانون القوة للتباين إلى المتوسط ​​الذي يميز نماذج تويدي، فقد بدا من المعقول استخدام هذه النماذج ونظرية تقارب تويدي لتفسير التجمع الملحوظ للحيوانات والنباتات المرتبط بقانون تايلور. ^{[ 12 ] [ 13 ]} تقع غالبية القيم المرصودة لأس قانون القوة p في الفترة (1، 2)، وبالتالي يبدو أن توزيع تويدي المركب بواسون-جاما قابل للتطبيق. وقد وفرت مقارنة دالة التوزيع التجريبية مع توزيع بواسون-جاما المركب النظري وسيلة للتحقق من اتساق هذه الفرضية. ^{[ 12 ]}

بينما تميل النماذج التقليدية لقانون تايلور إلى تضمين افتراضات مخصصة تتعلق بسلوك الحيوانات أو ديناميكيات السكان ، فإن نظرية تويدي للتقارب تشير إلى أن قانون تايلور ينتج عن تأثير تقارب رياضي عام، تمامًا كما تحكم نظرية النهاية المركزية سلوك التقارب لأنواع معينة من البيانات العشوائية. في الواقع، أي نموذج رياضي أو تقريب أو محاكاة مصممة لإنتاج قانون تايلور (استنادًا إلى هذه النظرية) يجب أن تتقارب إلى شكل نماذج تويدي. ^{[ 7 ]}

الضوضاء الوردية ، أو ضوضاء 1/ f ، تشير إلى نمط من الضوضاء يتميز بعلاقة قانون القوة بين شدتها S ( f ) عند ترددات مختلفة f ، $${\displaystyle S(f)\propto {\frac {1}{f^{\gamma }}},}$$ حيث الأسّ عديم الأبعاد γ ∈ [0,1]. ويُلاحظ هذا في عددٍ كبيرٍ من العمليات الطبيعية. ^{[ 14 ]} توجد تفسيراتٌ عديدةٌ لضوضاء 1/ f ، وتستند إحدى الفرضيات الشائعة إلى التنظيم الذاتي الحرج، حيث يُعتقد أن الأنظمة الديناميكية القريبة من نقطةٍ حرجة تُظهر سلوكًا مكانيًا و/أو زمنيًا ثابتًا بغض النظر عن المقياس .

في هذا القسم الفرعي ، سنشرح العلاقة الرياضية بين ضوضاء 1/ f وقانون تويدي لنسبة التباين إلى المتوسط. بدايةً، نحتاج أولًا إلى تعريف العمليات ذاتية التشابه : بالنسبة لتسلسل الأرقام $${\displaystyle Y=(Y_{i}:i=0,1,2,\ldots ,N)}$$ مع المتوسط $${\displaystyle {\widehat {\mu }}=\operatorname {E} (Y_{i}),}$$ الانحرافات $${\displaystyle y_{i}=Y_{i}-{\widehat {\mu }},}$$ التباين $${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\operatorname {E} (y_{i}^{2}),}$$ ودالة الارتباط الذاتي $${\displaystyle r(k)={\frac {\operatorname {E} (y_{i},y_{i+k})}{\operatorname {E} (y_{i}^{2})}}}$$ مع التأخير k ، إذا كان الارتباط الذاتي لهذه المتتالية له سلوك طويل المدى $${\displaystyle r(k)\sim k^{-d}L(k)}$$ عندما k → ∞ وحيث L ( k ) دالة متغيرة ببطء عند القيم الكبيرة لـ k ، فإن هذه المتتالية تسمى عملية ذاتية التشابه. ^{[ 15 ]}

يمكن استخدام طريقة توسيع الفئات لتحليل العمليات المتشابهة ذاتيًا. لنفترض مجموعة من الفئات المتساوية الحجم وغير المتداخلة التي تقسم التسلسل الأصلي المكون من N عنصرًا إلى مجموعات من m أجزاء متساوية الحجم (حيث N / m عدد صحيح) بحيث يمكن تعريف تسلسلات تكاثرية جديدة، بناءً على القيم المتوسطة: $${\displaystyle Y_{i}^{(m)}=\left(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}\right)/m.}$$

سيتناسب التباين المحدد من هذه السلسلة مع تغير حجم الفئة بحيث $${\displaystyle \operatorname {var} [Y^{(m)}]={\widehat {\sigma }}^{2}m^{-d}}$$ إذا وفقط إذا كان للارتباط الذاتي الشكل النهائي ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }r(k)/k^{-d}=(2-d)(1-d)/2.}$$

يمكن أيضًا إنشاء مجموعة من المتتابعات الجمعية المتناظرة $${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=mY_{i}^{(m)},}$$ بناءً على الصناديق القابلة للتوسيع، $${\displaystyle Z_{i}^{(m)}=(Y_{im-m+1}+\cdots +Y_{im}).}$$

بشرط أن تُظهر دالة الارتباط الذاتي نفس السلوك، فإن المتتاليات الجمعية ستخضع للعلاقة التالية $${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{i}^{(m)}]=m^{2}\operatorname {var} [Y^{(m)}]=\left({\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{\widehat {\mu }}^{2-d}}}\right)\operatorname {E} [Z_{i}^{(m)}]^{2-d}}$$

منذ${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$و${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$تمثل هذه العلاقة ثوابت، وتشكل قانون قوة التباين إلى المتوسط، حيث p = 2 − d . ^{[ 7 ] [ 17 ]}

تشير العلاقة الثنائية المذكورة أعلاه بين قانون القوة للتباين إلى المتوسط ​​ودالة الارتباط الذاتي لقانون القوة، ونظرية وينر-خينشين ^{[ 18 ]} ، إلى أن أي متتالية تُظهر قانون قوة للتباين إلى المتوسط ​​باستخدام طريقة توسيع الفئات ستُظهر أيضًا ضوضاء 1/ f ، والعكس صحيح. علاوة على ذلك، فإن نظرية تقارب تويدي، بفضل تأثيرها الشبيه بالنهاية المركزية في توليد توزيعات تُظهر دوال قوة للتباين إلى المتوسط، ستُولد أيضًا عمليات تُظهر ضوضاء 1/ f . ^{[ 7 ]} وبالتالي، تُقدم نظرية تقارب تويدي تفسيرًا بديلًا لأصل ضوضاء 1/ f ، استنادًا إلى تأثيرها الشبيه بالنهاية المركزية.

وكما تتطلب نظرية النهاية المركزية أن يكون التوزيع الغاوسي هو محور تقارب أنواع معينة من العمليات العشوائية ، وبالتالي تعبر عن الضوضاء البيضاء ، فإن نظرية تقارب تويدي تتطلب أن تكون توزيعات تويدي التي تعبر عن ضوضاء 1/ f هي محور تقارب بعض العمليات غير الغاوسية . ^{[ 7 ]}

انطلاقاً من خصائص العمليات المتشابهة ذاتياً، يرتبط الأس p = 2 − d بمعامل هيرست H والبعد الكسري D بواسطة ^{[ 16 ]}$${\displaystyle D=2-H=2-p/2.}$$

قد تُظهر سلسلة بيانات أحادية البعد من البيانات المتشابهة ذاتيًا قانونًا أُسّيًا للتباين إلى المتوسط ​​مع اختلافات محلية في قيمة p، وبالتالي في قيمة D. عندما تُظهر البنى الكسورية اختلافات محلية في البُعد الكسوري، يُقال إنها متعددة الكسور . من أمثلة سلاسل البيانات التي تُظهر اختلافات محلية في p على هذا النحو انحرافات القيم الذاتية لمجموعات غاوس المتعامدة والوحدوية . ^{[ 7 ]} وقد استُخدم توزيع تويدي المركب بواسون-غاما لنمذجة التعدد الكسوري بناءً على اختلافات محلية في أُسّ تويدي α . ونتيجةً لذلك، وبالاقتران مع تغير α ، يُمكن اعتبار نظرية تقارب تويدي ذات دور في نشأة هذه التعددات الكسورية.

وُجد أن تغير قيمة α يخضع لتوزيع لابلاس غير المتماثل في بعض الحالات. ^{[ 19 ]} وقد ثبت أن هذا التوزيع ينتمي إلى عائلة نماذج تويدي الهندسية، ^{[ 20 ]} التي تظهر كتوزيعات حدية في نظرية التقارب لنماذج التشتت الهندسي.

لطالما تم تقييم تدفق الدم في الأعضاء الإقليمية عن طريق حقن كريات مجهرية من البولي إيثيلين المشع في الدورة الدموية الشريانية للحيوانات، بحجم يسمح لها بالانحصار داخل الدورة الدموية الدقيقة للأعضاء. ثم يُقسّم العضو المراد تقييمه إلى مكعبات متساوية الحجم، ويُقاس مقدار المادة المشعة داخل كل مكعب باستخدام عدّاد الوميض السائل، ويُسجّل الناتج. يُعتبر مقدار النشاط الإشعاعي داخل كل مكعب مؤشرًا على تدفق الدم عبر تلك العينة وقت الحقن. من الممكن تقييم المكعبات المتجاورة من العضو نفسه لتحديد تدفق الدم عبر مناطق أكبر بشكل تراكمي. من خلال عمل جيه بي باسنجثويت وآخرين، تم اشتقاق قانون قوة تجريبي يربط بين التشتت النسبي لتدفق الدم في عينات الأنسجة ( RD = الانحراف المعياري/المتوسط ) ذات الكتلة m مقارنةً بعينات مرجعية الحجم: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle RD(m)=RD(m_{\text{ref}})\left({\frac {m}{m_{\text{ref}}}}\right)^{1-D_{s}}}$$

يُطلق على هذا الأسّ لقانون القوة D _s اسم البُعد الكسري. ويمكن إثبات أن قانون باسنجثويت للقوة يرتبط ارتباطًا مباشرًا بقانون القوة للتباين إلى المتوسط. وبالتالي، يمكن نمذجة تدفق الدم في الأعضاء الإقليمية باستخدام توزيع تويدي المركب بين بواسون وجاما ^{[ 22 ]} . في هذا النموذج، يمكن اعتبار عينة الأنسجة تحتوي على عدد عشوائي (موزع وفقًا لتوزيع بواسون) من مواقع الاحتجاز، لكل منها تدفق دم موزع وفقًا لتوزيع جاما . وقد لوحظ أن تدفق الدم على هذا المستوى من الدورة الدموية الدقيقة يخضع لتوزيع جاما ^{[ 23 ]} ، مما يدعم هذه الفرضية.

يُشابه " اختبار انتشار السرطان التجريبي " ^{[ 24 ]} إلى حدٍ ما الطريقة المذكورة أعلاه لقياس تدفق الدم الموضعي. تُحقن مجموعات من الفئران المتماثلة جينيًا والمتطابقة في العمر وريديًا بجرعات متساوية الحجم من معلقات خلايا سرطانية مستنسخة، ثم تُستأصل رئاتها بعد فترة زمنية محددة، ويُحصى عدد النقائل السرطانية داخل كل زوج من الرئتين. إذا حُقنت مجموعات أخرى من الفئران بخلايا سرطانية مستنسخة مختلفة، فإن عدد النقائل في كل مجموعة سيختلف تبعًا لقدرة هذه الخلايا على الانتشار. ومن المعروف منذ زمن طويل أنه قد يكون هناك تباين كبير داخل الخلايا المستنسخة الواحدة في عدد النقائل لكل فأر، على الرغم من بذل قصارى الجهد لتوحيد الظروف التجريبية داخل كل مجموعة مستنسخة. ^{[ 24 ]} هذا التباين أكبر مما هو متوقع بناءً على توزيع بواسون لعدد النقائل لكل فأر في كل مستنسخ، وعندما تم رسم تباين عدد النقائل لكل فأر مقابل المتوسط ​​المقابل، تم العثور على قانون القوة. ^{[ 25 ]}

وُجد أن قانون القوة للتباين إلى المتوسط ​​للأورام النقيلية ينطبق أيضًا على الأورام النقيلية التلقائية في الفئران ^{[ 26 ]} وعلى سلسلة حالات الأورام النقيلية البشرية ^{[ 27 ]} . ولأن الانتشار الدموي للأورام النقيلية يرتبط ارتباطًا مباشرًا بتدفق الدم الإقليمي ^{[ 28 ]} ، وتشير الدراسات المجهرية بالفيديو إلى أن مرور الخلايا السرطانية واحتجازها داخل الدورة الدموية يُشابه تجارب الكريات المجهرية ^{[ 29 ]،} فقد بدا من المعقول افتراض أن التباين في أعداد الأورام النقيلية الدموية قد يعكس عدم تجانس تدفق الدم في الأعضاء الإقليمية ^{[ 30 ]} . استند نموذج تدفق الدم إلى توزيع تويدي المركب بواسون-جاما، وهو توزيع يحكم متغيرًا عشوائيًا مستمرًا. لهذا السبب، في نموذج الأورام النقيلية، افترضنا أن تدفق الدم يخضع لهذا التوزيع، وأن عدد الأورام النقيلية الإقليمية يحدث كعملية بواسون تتناسب شدتها طرديًا مع تدفق الدم. أدى ذلك إلى وصف توزيع بواسون ذي الحدين السالب (PNB) بأنه مكافئ منفصل لتوزيع تويدي المركب بواسون-جاما. دالة توليد الاحتمالات لتوزيع PNB هي $${\displaystyle G(s)=\exp \left[\lambda {\frac {\alpha -1}{\alpha }}\left({\frac {\theta }{\alpha -1}}\right)^{\alpha }\left\{\left(1-{\frac {1}{\theta }}+{\frac {s}{\theta }}\right)^{\alpha }-1\right\}\right]}$$

ثم تكون العلاقة بين المتوسط ​​والتباين لتوزيع PNB هي $${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=a\operatorname {E} (Y)^{b}+\operatorname {E} (Y),}$$ وهو ما لا يمكن تمييزه، في نطاق العديد من التجارب السريرية للانتشار السرطاني، عن قانون القوة للتباين بالنسبة للمتوسط. أما بالنسبة للبيانات المتفرقة، فإن هذه العلاقة المنفصلة بين التباين والمتوسط ​​ستتصرف بشكل أقرب إلى توزيع بواسون حيث يتساوى التباين مع المتوسط.

يبدو أن الكثافة الموضعية لتعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة (SNPs) ضمن الجينوم البشري ، وكذلك كثافة الجينات ، تتجمع وفقًا لقانون القوة للتباين إلى المتوسط ​​وتوزيع تويدي المركب بواسون-جاما. ^{[ 31 ] [ 32 ]} في حالة تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة، تعكس كثافتها المرصودة تقنيات التقييم، وتوافر التسلسلات الجينومية للتحليل، وتغاير النوكليوتيدات . ^{[ 33 ]} يعكس العاملان الأولان أخطاء التحقق المتأصلة في طرق الجمع، بينما يعكس العامل الأخير خاصية جوهرية للجينوم.

في نموذج التجمع الجيني لعلم الوراثة السكانية، لكل موقع جيني تاريخه الفريد. ضمن تطور مجموعة سكانية من نوع معين، يُفترض أن بعض المواقع الجينية يمكن تتبعها إلى سلف مشترك حديث نسبيًا، بينما قد يكون لمواقع أخرى أنساب أقدم . من المفترض أن تكون القطع الجينومية الأقدم قد حظيت بوقت أطول لتراكم تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة (SNPs) وللخضوع لإعادة التركيب . اقترح آر آر هدسون نموذجًا يُفسر كيف يمكن لإعادة التركيب أن تُسبب تباينًا في الوقت اللازم للوصول إلى السلف المشترك الأحدث للقطع الجينومية المختلفة. ^{[ 34 ]} قد يؤدي ارتفاع معدل إعادة التركيب إلى احتواء الكروموسوم على عدد كبير من القطع الصغيرة ذات أنساب أقل ترابطًا.

بافتراض معدل طفرات أساسي ثابت، يتراكم عدد تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة (SNPs) لكل جزء جينومي بما يتناسب مع الزمن حتى السلف المشترك الأحدث. وتشير نظرية علم الوراثة السكانية الحالية إلى أن هذه الأزمنة تتوزع توزيع غاما ، في المتوسط. ^{[ 35 ]} ويقترح توزيع تويدي المركب بين بواسون وغاما نموذجًا تتكون فيه خريطة تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة من عدة أجزاء جينومية صغيرة، حيث يتوزع متوسط ​​عدد تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة لكل جزء توزيع غاما وفقًا لنموذج هدسون.

أظهر توزيع الجينات داخل الجينوم البشري أيضًا قانونًا أُسّيًا للتباين بالنسبة للمتوسط، عند استخدام طريقة توسيع الفئات لتحديد التباينات والمتوسطات المقابلة. ^{[ 32 ]} وبالمثل، وُجد أن عدد الجينات لكل فئة إحصائية يتبع توزيع بواسون-جاما المركب من نوع تويدي. واعتُبر هذا التوزيع الاحتمالي متوافقًا مع نموذجين بيولوجيين مختلفين: نموذج الترتيب الدقيق، حيث يُحدد عدد الجينات لكل وحدة طول جينومي بمجموع عدد عشوائي من القطع الجينومية الأصغر حجمًا الناتجة عن التكسر العشوائي وإعادة بناء البروتوكوروموسومات. ويُفترض أن تحمل هذه القطع الأصغر حجمًا، في المتوسط، عددًا من الجينات يتبع توزيع جاما.

في نموذج التجمعات الجينية البديل ، تتوزع الجينات عشوائياً داخل الكروموسومات الأولية. وعلى مدى فترات زمنية تطورية طويلة، تحدث عمليات تكرار متتالي ، وطفرات، وإدخالات، وحذف، وإعادة ترتيب، مما قد يؤثر على الجينات من خلال عملية ولادة وموت وهجرة عشوائية ، لينتج عنها توزيع بواسون-جاما المركب من نوع تويدي.

كلا الآليتين من شأنهما أن ينطويا على عمليات تطورية محايدة من شأنها أن تؤدي إلى تكتل الجينات على المستوى الإقليمي.

تتألف المجموعة الوحدوية الغاوسية ( GUE) من مصفوفات هيرميتية معقدة ثابتة تحت التحويلات الوحدوية، بينما تتألف المجموعة المتعامدة الغاوسية (GOE) من مصفوفات متناظرة حقيقية ثابتة تحت التحويلات المتعامدة . تخضع القيم الذاتية المرتبة E_{_n} من هذه المصفوفات العشوائية لتوزيع ويغنر شبه الدائري : بالنسبة لمصفوفة N × N ، يكون متوسط ​​كثافة القيم الذاتية ذات الحجم E هو$${\displaystyle {\bar {\rho }}(E)={\begin{cases}{\sqrt {2N-E^{2}}}/\pi &\quad \left\vert E\right\vert <{\sqrt {2N}}\\0&\quad \left\vert E\right\vert >{\sqrt {2N}}\end{cases}}}$$ عندما تؤول E إلى اللانهاية ، فإن تكامل قاعدة نصف الدائرة يعطي عدد القيم الذاتية في المتوسط ​​أقل من E.$${\displaystyle {\bar {\eta }}(E)={\frac {1}{2\pi }}\left[E{\sqrt {2N-E^{2}}}+2N\arcsin \left({\frac {E}{\sqrt {2N}}}\right)+\pi N\right].}$$

يمكن فكّ القيم الذاتية المرتبة ، أو إعادة تطبيعها، باستخدام المعادلة $${\displaystyle e_{n}={\bar {\eta }}(E)=\int _{-\infty }^{E_{n}}\,dE'{\bar {\rho }}(E').}$$

يؤدي هذا إلى إزالة اتجاه التسلسل من الجزء المتذبذب. إذا نظرنا إلى القيمة المطلقة للفرق بين العدد التراكمي الفعلي والمتوقع للقيم الذاتية $${\displaystyle \left|{\bar {D}}_{n}\right|=\left|n-{\bar {\eta }}(E_{n})\right|}$$ نحصل على سلسلة من تقلبات القيم الذاتية التي، باستخدام طريقة توسيع الفئات، تكشف عن قانون قوة التباين إلى المتوسط. ^{[ 7 ]} تُظهر تقلبات القيم الذاتية لكل من GUE وGOE هذا القانون، حيث تتراوح أسس القانون بين 1 و2، كما تُظهر أطياف ضوضاء 1/ f . تتوافق تقلبات القيم الذاتية هذه أيضًا مع توزيع تويدي المركب بواسون-غاما، وتُظهر خاصية التعددية الكسرية. ^{[ 7 ]}

دالة تشيبيشيف الثانية ψ ( x ) معطاة بالصيغة التالية :$${\displaystyle \psi (x)=\sum _{{\widehat {p\,}}^{k}\leq x}\log {\widehat {p\,}}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$$ حيث يمتد الجمع على جميع القوى الأولية${\displaystyle {\widehat {p\,}}^{k}}$لا تتجاوز قيمة x ، حيث أن x تشمل الأعداد الحقيقية الموجبة، و ${\displaystyle \Lambda (n)}$هي دالة فون مانغولد . ترتبط الدالة ψ ( x ) بدالة عدّ الأعداد الأولية π ( x )، وبالتالي توفر معلومات حول توزيع الأعداد الأولية بين الأعداد الحقيقية. وهي مقاربة لـ x ، وهو ما يكافئ نظرية الأعداد الأولية ، ويمكن أيضًا إثبات ارتباطها بأصفار دالة زيتا لريمان الموجودة على الشريط الحرج ρ ، حيث يقع الجزء الحقيقي من صفر زيتا ρ بين 0 و 1. عندئذٍ، يمكن كتابة ψ عندما x أكبر من واحد على النحو التالي:   $${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$$ أين $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$$

تنص فرضية ريمان على أن جميع الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان لها جزء حقيقي يساوي 1/2 . وترتبط هذه الأصفار بتوزيع الأعداد الأولية . وقد بيّن شونفيلد [ ^{36 ] أنه إذا كانت} فرضية ريمان صحيحة، فإن$${\displaystyle \Delta (x)=\left\vert \psi (x)-x\right\vert <{\sqrt {x}}\log ^{2}(x)/(8\pi )}$$ لجميع قيم x الأكبر من 73.2 . إذا قمنا بتحليل انحرافات تشيبيشيف Δ( n ) على الأعداد الصحيحة n باستخدام طريقة توسيع الفئات ورسمنا التباين مقابل المتوسط، فإنه يمكن إثبات قانون القوة من التباين إلى المتوسط. علاوة على ذلك، تتوافق هذه الانحرافات مع توزيع تويدي المركب بواسون-جاما، وتُظهر ضوضاء 1/ f .

تشمل تطبيقات توزيعات تويدي ما يلي:

• الدراسات الإكتوارية ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}
• تحليل المقايسة ^{[ 44 ] [ 45 ]}
• تحليل البقاء ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}
• علم البيئة ^{[ 12 ]}
• تحليل استهلاك الكحول لدى المراهقين البريطانيين ^{[ 49 ]}
• التطبيقات الطبية ^{[ 50 ]}
• اقتصاديات الصحة ^{[ 51 ]}
• علم الأرصاد الجوية وعلم المناخ ^{[ 50 ] [ 52 ]}
• مصايد الأسماك ^{[ 53 ]}
• دالة ميرتنز ^{[ 54 ]}
• التنظيم الذاتي الحرج ^{[ 55 ]}