نموذج التشتت الأسي

هناك نسختان لصياغة نموذج التشتت الأسي.

في حالة المتغيرات المتعددة، المتغير العشوائي ذو الأبعاد n${\displaystyle \mathbf {X} }$لها دالة كثافة احتمالية بالشكل التالي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }},\lambda )=h(\lambda ,\mathbf {x} )\exp \left(\lambda ({\boldsymbol {\theta }}^{\top }\mathbf {x} -A({\boldsymbol {\theta }}))\right)\,\!,}$

حيث المعامل${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$له نفس الأبعاد مثل${\displaystyle \mathbf {X} }$.

دالة توليد العزوم التراكمية لـ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle K(t;\mu ,\sigma ^{2})=\log \operatorname {E} [e^{tY}]={\frac {A(\theta +\sigma ^{2}t)-A(\theta )}{\sigma ^{2}}}\,\!,}$

مع${\displaystyle \theta =(A')^{-1}(\mu )}$

المتوسط ​​والتباين لـ${\displaystyle Y\sim \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$يتم تقديمها بواسطة

${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\mu =A'(\theta )\,,\quad \operatorname {Var} [Y]=\sigma ^{2}A''(\theta )=\sigma ^{2}V(\mu )\,\!,}$

مع دالة تباين الوحدة${\displaystyle V(\mu )=A''((A')^{-1}(\mu ))}$.

لو${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$مستقلون ومتطابقون مع${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{i}}}\right)}$أي نفس المعنى${\displaystyle \mu }$وأوزان مختلفة${\displaystyle w_{i}}$، المتوسط ​​المرجح هو مرة أخرى${\displaystyle \mathrm {ED} }$مع

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}Y_{i}}{w_{\bullet }}}\sim \mathrm {ED} \left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{w_{\bullet }}}\right)\,\!,}$

مع${\displaystyle w_{\bullet }=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$. لذلك${\displaystyle Y_{i}}$تُسمى هذه الأعضاء التناسلية .

دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle \mathrm {ED} (\mu ,\sigma ^{2})}$ويمكن التعبير عنها أيضاً بدلالة الانحراف المعياري للوحدة${\displaystyle d(y,\mu )}$مثل

${\displaystyle f_{Y}(y\mid \mu ,\sigma ^{2})={\tilde {h}}(\sigma ^{2},y)\exp \left(-{\frac {d(y,\mu )}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\!,}$

حيث يأخذ الانحراف الوحدوي شكلاً خاصاً${\displaystyle d(y,\mu )=yf(\mu )+g(\mu )+h(y)}$أو بدلالة دالة تباين الوحدة كما${\displaystyle d(y,\mu )=2\int _{\mu }^{y}\!{\frac {yt}{V(t)}}\,dt}$.