دالة فون مانغولد

في الرياضيات ، تُعرف دالة فون مانغولد بأنها دالة حسابية سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني هانز فون مانغولد . وهي مثال على دالة حسابية مهمة ليست ضربية ولا جمعية .

دالة فون مانغولد، ويرمز لها بـ${\displaystyle \Lambda (n)}$، ويُعرَّف على أنه

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

قيم${\displaystyle \Lambda (n)}$أما بالنسبة للأعداد الصحيحة التسعة الموجبة الأولى فهي

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,\dots }$

والذي يرتبط بـ (التسلسل A014963 في OEIS ) .

تحقق دالة فون مانغولد المتطابقة ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

يُحسب المجموع على جميع الأعداد الصحيحة d التي تقسم n . وقد تم إثبات ذلك من خلال النظرية الأساسية للحساب ، حيث أن الحدود التي ليست قوى لأعداد أولية تساوي صفرًا . على سبيل المثال، لنفترض الحالة n = 12 = 2 ² × 3. عندئذٍ

$\begin{aligned}\sum_{d\mid 12}\Lambda(d)&=\Lambda(1)+\Lambda(2)+\Lambda(3)+\Lambda(4)+\Lambda(6)+\Lambda(12)\\&=\Lambda(1)+\Lambda(2)+\Lambda(3)+\Lambda\left(2^2\right)+\Lambda(2\times 3)+\Lambda\left(2^2\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

باستخدام انعكاس موبيوس ، لدينا

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}$

أين${\displaystyle \mu (d)}$هي دالة موبيوس . ثم باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتم نحصل على ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

للجميع${\displaystyle x\geq 1}$لدينا ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}$

_{كذلك ،} توجد ثوابت موجبة c1 _و c2 بحيث

${\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}$

للجميع${\displaystyle x\geq 1}$، و

${\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}$

لجميع قيم x الكبيرة بما فيه الكفاية .

تلعب دالة فون مانغولد دورًا هامًا في نظرية متسلسلات ديريشليه ، وخاصة دالة زيتا لريمان . على سبيل المثال، لدينا

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

المشتق اللوغاريتمي هو ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

هذه حالات خاصة من علاقة أكثر عمومية على متسلسلات ديريشليه. إذا كان لدى المرء

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

بالنسبة لدالة ضربية تمامًا f ( n ) ، وتتقارب المتسلسلة عندما يكون Re( s ) > σ0 _، فإن

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

يتقارب من أجل Re( s ) > σ ₀ .

دالة تشيبيشيف الثانية${\displaystyle \psi (x)}$هي الدالة التجميعية لدالة فون مانغولد: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

قدمها بافنوتي تشيبيشيف الذي استخدمها لإثبات أن الترتيب الحقيقي لدالة عد الأعداد الأولية${\displaystyle \pi (x)}$يكون${\displaystyle x/\log x}$. Von Mangoldt provided a rigorous proof of an explicit formula for ${\displaystyle \psi (x)}$ involving a sum over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function. This was an important part of the first proof of the prime number theorem.

The Mellin transform of the Chebyshev function can be found by applying Perron's formula:

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

which holds for ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

Hardy and Littlewood examined the series^[8]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

in the limit y → 0⁺. Assuming the Riemann hypothesis, they demonstrate that

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

In particular this function is oscillatory with diverging oscillations: there exists a value K > 0 such that both inequalities

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

hold infinitely often in any neighbourhood of 0. The graphic to the right indicates that this behaviour is not at first numerically obvious: the oscillations are not clearly seen until the series is summed in excess of 100 million terms, and are only readily visible when y < 10⁻⁵.

The Riesz mean of the von Mangoldt function is given by

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Here, λ and δ are numbers characterizing the Riesz mean. One must take c > 1. The sum over ρ is the sum over the zeroes of the Riemann zeta function, and

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

can be shown to be a convergent series for λ > 1.

There is an explicit formula for the summatory Mangoldt function ${\displaystyle \psi (x)}$ given by^[9]

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}$

If we separate out the trivial zeros of the zeta function, which are the negative even integers, we obtain

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(The sum is not absolutely convergent, so we take the zeros in order of the absolute value of their imaginary part.)

In the opposite direction, in 1911 E. Landau proved that for any fixed t > 1^[10]

${\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}$

(We use the notation ρ = β + iγ for the non-trivial zeros of the zeta function.)

Therefore, if we use Riemann notation α = −i(ρ − 1/2) we have that the sum over nontrivial zeta zeros expressed as

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}$

peaks at primes and powers of primes.

يُعطي تحويل فورييه لدالة فون مانغولد طيفًا ذا قمم حادة عند إحداثيات تساوي الأجزاء التخيلية لأصفار دالة زيتا لريمان. ويُطلق على هذا أحيانًا اسم الازدواجية.

الوظائف

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}$

أين${\displaystyle \mu }$يرمز إلى دالة موبيوس و${\displaystyle k}$يشير إلى عدد صحيح موجب، وهو تعميم لدالة فون مانغولد. ^{[ 11 ]} الدالة${\displaystyle \Lambda _{1}}$هي دالة فون مانجولد العادية${\displaystyle \Lambda }$.

• دالة عد الأعداد الأولية

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]. هيث-براون، دي آر ؛ سيلفرمان، جيه إتش (محررون). مدخل إلى نظرية الأعداد (  الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-921985-8. السيد 2445243 . زبل 1159.11001 .  

• تينيباوم، جيرالد (1995). مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية والاحتمالية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  46. ترجمة سي بي توماس. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001 . 

• ألان غوت، بعض الملاحظات حول توزيع زيتا لريمان (2005)
• إس. أ. ستيبانوف (2001) [1994]، "دالة مانغولد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• هايكه، كيف نرسم طيف زيتا الصفر لريمان في برنامج ماثيماتيكا؟ (2012)