دالة توليد الاحتمالات

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، تُعرَّف دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي منفصل بأنها تمثيل متسلسلة قوى ( الدالة المولدة ) لدالة كتلة الاحتمال للمتغير العشوائي . تُستخدم دوال توليد الاحتمالات غالبًا لوصفها الموجز لتسلسل الاحتمالات Pr( X = i ) في دالة كتلة الاحتمال لمتغير عشوائي X ، ولإتاحة نظرية متسلسلات القوى ذات المعاملات غير السالبة.

تعريف

حالة أحادية المتغير

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يأخذ القيم x في الأعداد الصحيحة غير السالبة {0،1، ...}، فإن دالة توليد الاحتمالات لـ X تُعرَّف على النحو التالي [ 1 ]

جي(z)=هـ⁡(zX)=∑x=0∞ص(x)zx،{\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},} أينص{\displaystyle p}هي دالة الكتلة الاحتمالية لـX{\displaystyle X}لاحظ أن الرموز ذات الرموز السفليةجيX{\displaystyle G_{X}}وصX{\displaystyle p_{X}}تُستخدم هذه المصطلحات غالبًا للتأكيد على أن هذه المصطلحات تتعلق بمتغير عشوائي معين.X{\displaystyle X}وإلى توزيعها . تتقارب متسلسلة القوى تقاربًا مطلقًا على الأقل لجميع الأعداد المركبةz{\displaystyle z}مع|z|<1{\displaystyle |z|<1}؛ ويكون نصف قطر التقارب أكبر في كثير من الأحيان.

حالة متعددة المتغيرات

إذا كان X = ( X₁ , ..., Xₘ ) متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يأخذ القيم ( x₁ , ..., xₘ ) في الشبكة الصحيحة غير السالبة ذات البعد d { 0, 1, ...} ₘ ، فإن دالة توليد الاحتمالات لـ X تُعرَّف على النحو التالي: جي(z)=جي(z1،...،zد)=هـ⁡(z1X1⋯zدXد)=∑x1،...،xد=0∞ص(x1،...،xد)z1x1⋯zدxد،{\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},} حيث p هي دالة الكتلة الاحتمالية لـ X. تتقارب متسلسلة القوى تقاربًا مطلقًا على الأقل لجميع المتجهات المركبةz=(z1،...zد)∈جد{\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}معالأعلى{|z1|،...،|zد|}≤1.{\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}

ملكيات

سلسلة الطاقة

تخضع دوال توليد الاحتمالات لجميع قواعد متسلسلات القوى ذات المعاملات غير السالبة. على وجه الخصوص،جي(1-)=1{\displaystyle G(1^{-})=1}، أينجي(1-)=ليمx→1،x<1جي(x){\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}بما أن x تقترب من 1 من الأسفل ، فإن الاحتمالات يجب أن يكون مجموعها واحدًا. لذا، يجب أن يكون نصف قطر تقارب أي دالة مولدة للاحتمالات 1 على الأقل، وفقًا لنظرية أبيل للمتسلسلات القوى ذات المعاملات غير السالبة.

الاحتمالات والتوقعات

تسمح الخصائص التالية باشتقاق كميات أساسية مختلفة تتعلق بـX{\displaystyle X}:

  1. دالة الكتلة الاحتمالية لـX{\displaystyle X}يتم استردادها عن طريق حساب مشتقاتجي{\displaystyle G}،ص(ك)=برو⁡(X=ك)=جي(ك)(0)ك!.{\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}
  2. يستنتج من الخاصية 1 أنه إذا كانت المتغيرات العشوائيةX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}لها دوال توليد احتمالات متساوية،جيX=جيY{\displaystyle G_{X}=G_{Y}}، ثمصX=صY{\displaystyle p_{X}=p_{Y}}أي إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت لديهم دوال توليد احتمالية متطابقة، فإن لديهم توزيعات متطابقة.
  3. يمكن التعبير عن تطبيع دالة الكتلة الاحتمالية بدلالة الدالة المولدة بواسطةهـ⁡[1]=جي(1-)=∑أنا=0∞ص(أنا)=1.{\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}توقعات​​X{\displaystyle X}يُعطى بواسطةهـ⁡[X]=جي′(1-).{\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}وبشكل عام، فإنكتح{\displaystyle k^{th}}العزم العاملي ،هـ⁡[X(X-1)⋯(X-ك+1)]{\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}لX{\displaystyle X}يُعطى بواسطةهـ⁡[X!(X-ك)!]=جي(ك)(1-)،ك≥0.{\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(Xk)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}إذن ، تباينX{\displaystyle X}يُعطى بواسطةمتغير⁡(X)=جي"(1-)+جي′(1-)-[جي′(1-)]2.{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}وأخيرًا، يُعطى العزم الخام من الرتبة k للمتغير X بالصيغة التالية:هـ⁡[Xك]=(z∂∂z)كجي(z)|z=1-{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}
  4. جيX(هـت)=مX(ت){\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}حيث X متغير عشوائي،جيX(ت){\displaystyle G_{X}(t)}هي دالة توليد الاحتمالات (لـX{\displaystyle X}) ومX(ت){\displaystyle M_{X}(t)}هي دالة توليد العزوم (لـX{\displaystyle X}).

دوال المتغيرات العشوائية المستقلة

تُعدّ دوال توليد الاحتمالات مفيدة بشكل خاص للتعامل مع دوال المتغيرات العشوائية المستقلة . على سبيل المثال:

  • لوXأنا،أنا=1،2،⋯،شمال{\displaystyle X_{i},i=1,2,\cdots ,N}هي سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة (وليس بالضرورة المتطابقة التوزيع) التي تأخذ قيمًا عددية طبيعية، و Sشمال=∑أنا=1شمالأأناXأنا،{\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}حيثأأنا{\displaystyle a_{i}}إذا كانت الأعداد الطبيعية ثابتة، فإن دالة توليد الاحتمالات تُعطى بالصيغة التالية: جيSشمال(z)=هـ⁡(zSشمال)=هـ⁡(z∑أنا=1شمالأأناXأنا،)=جيX1(zأ1)جيX2(zأ2)⋯جيXشمال(zأشمال).{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}}).}
  • على وجه الخصوص، إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هي متغيرات عشوائية مستقلة: جيX+Y(z)=جيX(z)⋅جيY(z){\displaystyle G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(z)}و جيX-Y(z)=جيX(z)⋅جيY(1/z).{\displaystyle G_{XY}(z)=G_{X}(z)\cdot G_{Y}(1/z).}
  • في المثال أعلاه، الرقمشمال{\displaystyle N}عدد المتغيرات العشوائية المستقلة في المتتالية ثابت. افترضشمال{\displaystyle N}هو متغير عشوائي منفصل يأخذ قيمًا على الأعداد الصحيحة غير السالبة، وهو مستقل عنXأنا{\displaystyle X_{i}}، ولننظر في دالة توليد الاحتمالاتجيشمال{\displaystyle G_{N}}إذاXأنا{\displaystyle X_{i}}ليست مستقلة فحسب، بل موزعة توزيعًا متطابقًا أيضًا ولها دالة توليد احتمالية مشتركة.جيX=جيXأنا{\displaystyle G_{X}=G_{X_{i}}}، ثم جيSشمال(z)=جيشمال(جيX(z)).{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}ويمكن توضيح ذلك، باستخدام قانون التوقع الكلي ، على النحو التالي: جيSشمال(z)=هـ⁡(zSشمال)=هـ⁡(z∑أنا=1شمالXأنا)=هـ⁡(هـ⁡(z∑أنا=1شمالXأنا|شمال))=هـ⁡((جيX(z))شمال)=جيشمال(جيX(z)).{\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}} تُعد هذه الحقيقة الأخيرة مفيدة في دراسة عمليات جالتون-واتسون وعمليات بواسون المركبة .
  • عندماXأنا{\displaystyle X_{i}}لا يُفترض أن تكون موزعة بشكل متطابق (لكنها لا تزال مستقلة ومستقلة عنشمال{\displaystyle N}لدينا جيSشمال(z)=∑ن≥1ون∏أنا=1نجيXأنا(z)،{\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{n\geq 1}f_{n}\prod _{i=1}^{n}G_{X_{i}}(z),}أينون=برو(شمال=ن).{\displaystyle f_{n}=\Pr(N=n).}بالنسبة للتوزيع المتطابقXأنا{\displaystyle X_{i}}s، هذا يتبسط إلى الهوية المذكورة سابقًا، لكن الحالة العامة مفيدة أحيانًا للحصول على تفكيك لـSشمال{\displaystyle S_{N}}عن طريق الدوال المولدة.

أمثلة

  • دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي ثابت تقريبًا ، أي متغير ذوبرو(X=ج)=1{\displaystyle \Pr(X=c)=1}وبرو(X≠ج)=0{\displaystyle \Pr(X\neq c)=0}يكونجي(z)=zج.{\displaystyle G(z)=z^{c}.}
  • دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي ذي حدين ، عدد النجاحات فين{\displaystyle n}التجارب، باحتماليةص{\displaystyle p}نسبة النجاح في كل تجربة هيجي(z)=[(1-ص)+صz]ن.{\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}ملاحظة : إنهن{\displaystyle n}حاصل ضرب دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي برنولي ذي معلمة من الرتبة nص{\displaystyle p}.
    إذن، دالة توليد الاحتمالات لعملة عادلة هيجي(z)=12+z2.{\displaystyle G(z)={\frac {1}{2}}+{\frac {z}{2}}.}
  • دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي ذي توزيع ثنائي سالب على{0،1،2⋯}{\displaystyle \{0,1,2\cdots \}}عدد حالات الفشل حتىرتح{\displaystyle r^{th}}النجاح مع احتمال النجاح في كل تجربةص{\displaystyle p}، يكونجي(z)=(ص1-(1-ص)z)ر،{\displaystyle G(z)=\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)^{r},}والتي تتقارب من أجل|z|<11-ص{\displaystyle |z|<{\frac {1}{1-p}}}.
    لاحظ أن هذا هور{\displaystyle r}حاصل ضرب من الرتبة n لدالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي هندسي ذي معامل1-ص{\displaystyle 1-p}على{0،1،2،⋯}{\displaystyle \{0,1,2,\cdots \}}.
  • دالة توليد الاحتمالات لمتغير عشوائي من نوع بواسون ذي معامل معدلλ{\displaystyle \lambda }يكونجي(z)=هـλ(z-1).{\displaystyle G(z)=e^{\lambda (z-1)}.}

تُعد دالة توليد الاحتمالات مثالاً على دالة توليد المتتالية: انظر أيضاً إلى متسلسلات القوى الرسمية . وهي مكافئة، وتُسمى أحياناً، بالتحويل z لدالة كتلة الاحتمال.

تشمل الدوال المولدة الأخرى للمتغيرات العشوائية دالة توليد العزوم ، والدالة المميزة ، ودالة توليد التراكمات . كما أن دالة توليد الاحتمالات مكافئة لدالة توليد العزوم العاملية ، والتي بدورهاهـ⁡[zX]{\displaystyle \operatorname {E} \left[z^{X}\right]}ويمكن أيضًا النظر في ذلك بالنسبة للمتغيرات المستمرة والمتغيرات العشوائية الأخرى.

ملحوظات

  1. ↑ غليب غريباكين. نظرية الاحتمالات والتوزيع (ملف PDF) .

مراجع

  • جونسون، نورمان لويد؛ كوتز، صموئيل؛ كيمب، أدريان دبليو. (1992). التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء الرياضي (  الطبعة الثانية). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-54897-3.