المتراكم

يفضل بعض الكتاب ^{[ 2 ] [ 3 ]} تعريف دالة توليد العزوم على أنها اللوغاريتم الطبيعي للدالة المميزة ، والتي تسمى أحيانًا أيضًا الدالة المميزة الثانية ، ^{[ 4 ]} أو الخاصية الثانية ، ^{[ 5 ]} أو الأس المميز ، ^{[ 6 ]}$${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$$

تتمثل إحدى مزايا الدالة H ( t ) - والتي تُعتبر، بمعنى ما، الدالة K ( t ) عند حساب قيمها لأعداد تخيلية بحتة - في أن E[ e itX  ] مُعرَّفة جيدًا لجميع القيم الحقيقية لـ t، حتى عندما لا تكون E[ e  tX ] مُعرَّفة جيدًا لجميع القيم الحقيقية لـ t ، كما قد يحدث عند وجود احتمال "كبير" بأن يكون لـ X قيمة مطلقة كبيرة. على الرغم من أن الدالة H ( t ) ستكون مُعرَّفة جيدًا، إلا أنها ستُحاكي K ( t ) من حيث طول متسلسلة ماكلورين الخاصة بها ، والتي قد لا تتجاوز (أو نادرًا ما تصل إلى) الترتيب الخطي في المتغير t ، وعلى وجه الخصوص، لن يتغير عدد العزوم التراكمية المُعرَّفة جيدًا. مع ذلك، حتى عندما لا تمتلك H ( t ) متسلسلة ماكلورين طويلة، يُمكن استخدامها مباشرةً في تحليل المتغيرات العشوائية، وخاصةً في جمعها. يُعد كل من توزيع كوشي (المعروف أيضًا باسم لورنتزيان) والتوزيعات المستقرة بشكل عام (المرتبطة بتوزيع ليفي ) أمثلة على التوزيعات التي تحتوي فيها متسلسلات القوى للدوال المولدة على عدد محدود فقط من الحدود المحددة جيدًا. 

جميع العزوم التراكمية العليا هي دوال متعددة الحدود للعزوم المركزية، بمعاملات صحيحة، ولكن فقط في الدرجتين 2 و 3 تكون العزوم التراكمية هي العزوم المركزية الفعلية.

يترك${\textstyle \kappa _{n}(X)}$لتكن العزوم التراكمية،${\textstyle m(X):=\operatorname {E} \left[X\right]}$كن لئيماً، و${\textstyle \mu _{n}(X):=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{n}\right]={}}$كُن اللحظات المحورية. ثم:

• ${\textstyle \kappa _{1}=m=\operatorname {mean} (X)}$(المتوسط).
• ${\textstyle \kappa _{2}=\mu _{2}=\operatorname {var} (X)}$(التباين، أو العزم المركزي الثاني).
• ${\textstyle \kappa _{3}=\mu _{3}}$.
• ${\textstyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}}$(هذه هي الحالة الأولى التي لا تكون فيها العزوم التراكمية مجرد عزوم أو عزوم مركزية. فالعزوم المركزية من الدرجة التي تزيد عن 3 تفتقر إلى الخاصية التراكمية.)
• ${\textstyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}}$.

بالنظر إلى نتائج التراكمات للتوزيع الطبيعي ، كان من الممكن التطلع إلى إيجاد عائلات من التوزيعات التي يكون فيها κ _{_m} = κ _{_{m +1}} = ⋯ = 0 لبعض قيم m > 3 ، مع كون التراكمات ذات الرتب الدنيا (من الرتبة 3 إلى m − 1 ) غير صفرية. إلا أنه لا توجد مثل هذه التوزيعات. ^{[ 8 ]} والنتيجة الأساسية هنا هي أن دالة توليد التراكمات لا يمكن أن تكون متعددة حدود من الرتبة المحدودة من الدرجة  الثانية أو أعلى.

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$$

إذن، دالة توليد العزوم التراكمية هي لوغاريتم دالة توليد العزوم $${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$$

التراكم الأول هو القيمة المتوقعة ؛ والتراكم الثاني والثالث هما على التوالي العزم المركزي الثاني والثالث (العزم المركزي الثاني هو التباين )؛ لكن التراكمات الأعلى ليست عزومًا ولا عزومًا مركزية، بل هي دوال متعددة الحدود أكثر تعقيدًا للعزوم.

يمكن استعادة العزوم بدلالة التراكمات عن طريق حساب المشتقة النونية لـ${\textstyle \exp(K(t))}$في​${\displaystyle t=0}$،​ $${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

وبالمثل، يمكن استعادة العزوم التراكمية بدلالة العزوم عن طريق حساب المشتقة النونية لـ${\textstyle \log M(t)}$في​${\displaystyle t=0}$،​ $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

يمكن الحصول على الصيغة الصريحة للعزم النوني بدلالة العزوم التراكمية الأولى ، والعكس صحيح، باستخدام صيغة فا دي برونو للمشتقات العليا للدوال المركبة. بشكل عام، لدينا $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$$$${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$$ أين${\textstyle B_{n,k}}$هي كثيرات حدود بيل غير مكتملة (أو جزئية) .

وبالمثل، إذا كان المتوسط ​​معطى بواسطة${\textstyle \mu }$، دالة توليد العزم المركزي معطاة بواسطة $${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$$ويتم الحصول على العزم المركزي النوني بدلالة التراكمات كما يلي: $${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$$

كذلك، بالنسبة لـ n > 1 ، فإن العزم التراكمي رقم n بدلالة العزوم المركزية هو $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$$

العزم النوني μ′n _هو متعدد حدود من الدرجة النونية في العزوم التراكمية الأولى n . التعبيرات القليلة الأولى هي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$$

تُستخدم علامة الفتحة (') لتمييز العزوم μ ′ _n عن العزوم المركزية μ _n . وللتعبير عن العزوم المركزية كدوال للمُتراكمات، يكفي حذف جميع الحدود التي يظهر فيها κ ₁ كعامل من هذه كثيرات الحدود. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$$

وبالمثل، فإن العزم التراكمي من الرتبة n ، κ _n، هو متعدد حدود من الدرجة n في العزوم غير المركزية الأولى n . والتعبيرات القليلة الأولى هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\,.\end{aligned}}}$$

بشكل عام، ^{[ 9 ]} العزم التراكمي هو محدد المصفوفة: $${\displaystyle \kappa _{l}=(-1)^{l+1}\left|{\begin{array}{cccccccc}\mu '_{1}&1&0&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{2}&\mu '_{1}&1&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{3}&\mu '_{2}&{\binom {2}{1}}\mu '_{1}&1&0&0&\ldots &0\\\mu '_{4}&\mu '_{3}&{\binom {3}{1}}\mu '_{2}&{\binom {3}{2}}\mu '_{1}&1&0&\ldots &0\\\mu '_{5}&\mu '_{4}&{\binom {4}{1}}\mu '_{3}&{\binom {4}{2}}\mu '_{2}&{\binom {4}{3}}\mu '_{1}&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu '_{l-1}&\mu '_{l-2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ddots &1\\\mu '_{l}&\mu '_{l-1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &{\binom {l-1}{l-2}}\mu '_{1}\end{array}}\right|}$$

للتعبير عن العزوم التراكمية κ _n لـ n > 1 كدوال للعزوم المركزية، قم بإسقاط جميع الحدود التي يظهر فيها μ' ₁ كعامل من هذه كثيرات الحدود: $${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$$

يمكن ربط العزوم التراكمية بالعزوم عن طريق اشتقاق العلاقة K ( t ) = log M ( t ) بالنسبة إلى t ، مما يعطي M′ ( t ) = K′ ( t ) M ( t ) ، والتي لا تحتوي على دوال أسية أو لوغاريتمية. وبمساواة معامل t ^{(n −1} /( n −1)!) في الطرفين الأيمن والأيسر، واستخدام μ′₀ = 1، _نحصل على الصيغ التالية لـ n ≥ 1 : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$ وهذا يسمح إما${\textstyle \kappa _{n}}$أو${\textstyle \mu '_{n}}$يتم حسابها من الأخرى باستخدام معرفة العزوم التراكمية والعزوم من الرتبة الأدنى. الصيغ المقابلة للعزوم المركزية${\textstyle \mu _{n}}$ل${\textstyle n\geq 2}$يتم تكوينها من هذه الصيغ عن طريق تحديد${\textstyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$واستبدال كل${\textstyle \mu '_{n}}$مع${\textstyle \mu _{n}}$ل${\textstyle n\geq 2}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$

تتمتع هذه كثيرات الحدود بتفسير توافقي مميز : إذ تحسب المعاملات تقسيمات معينة للمجموعات . والشكل العام لهذه كثيرات الحدود هو $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$$ أين

• π يمر عبر قائمة جميع تقسيمات مجموعة بحجم n ؛
• " B ∈ π " تعني أن B هي إحدى "الكتل" التي تُقسّم إليها المجموعة؛ و
• | B | هوحجم المجموعة B.

وبالتالي، فإن كل حد أحادي هو ثابت مضروب في حاصل ضرب التراكمات، حيث يكون مجموع الأسس n (على سبيل المثال، في الحد κ ₃ κ ₂ ² κ ₁ ، يكون مجموع الأسس 3 + 2 + 2 + 1 = 8؛ وهذا يظهر في متعددة الحدود التي تعبر عن العزم الثامن كدالة للتراكمات الثمانية الأولى). ويقابل كل حد تجزئة للعدد الصحيح n . معامل كل حد هو عدد تجزئات مجموعة من n عنصرًا التي تؤول إلى تلك التجزئة للعدد الصحيح n عندما تصبح عناصر المجموعة غير قابلة للتمييز.

يمكن إيجاد صلة أخرى بين العزوم والتوافقية في أعمال جيان كارلو روتا ، حيث يتم دراسة الروابط بنظرية الثوابت والدوال المتناظرة والمتتاليات ذات الحدين من خلال حساب الظلال . ^{[ 11 ]}

لاحظ ذلك ${\textstyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k_{1}}}{\mathrm {d} t_{1,1}\cdots \mathrm {d} t_{1,k_{1}}}}\cdots {\frac {\mathrm {d} ^{k_{n}}}{\mathrm {d} t_{n,1}\cdots \mathrm {d} t_{n,k_{n}}}}G\left(\sum _{j=1}^{k_{1}}t_{1,j},\dots ,\sum _{j=1}^{k_{n}}t_{n,j}\right)\right|_{t_{i,j}=0},}$$ ومن ذلك نستنتج أن $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\kappa _{1,\ldots ,1}(\underbrace {X_{1},\dots ,X_{1}} _{k_{1}},\ldots ,\underbrace {X_{n},\dots ,X_{n}} _{k_{n}}).}$$ على سبيل المثال $${\displaystyle \kappa _{2,0,1}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z),\,}$$ و $${\displaystyle \kappa _{0,0,n,0}(X,Y,Z,T)=\kappa _{n}(Z)=\kappa (\underbrace {Z,\dots ,Z} _{n}).\,}$$ وعلى وجه الخصوص، تُظهر المساواة الأخيرة أن التراكمات لمتغير عشوائي واحد هي التراكمات المشتركة لنسخ متعددة من ذلك المتغير العشوائي.

يمكن التعبير عن العزم التراكمي المشترك للمتغيرات العشوائية كمجموع متبادل لمنتجات لحظاتها المختلطة ، انظر المعادلة (3.2.7) في ^{[ 12 ].}$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$$ حيث يمر π عبر قائمة جميع تقسيمات {1، ...، n } ؛ حيث يمر B عبر قائمة جميع كتل التقسيم π ؛ وحيث | π | هو عدد الأجزاء في التقسيم.    

على سبيل المثال، $${\displaystyle \kappa (X)=\operatorname {E} (X),}$$ القيمة المتوقعة لـ${\textstyle X}$، $${\displaystyle \kappa (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y),}$$ هو التباين المشترك لـ${\textstyle X}$و${\textstyle Y}$، و $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$$

بالنسبة للمتغيرات العشوائية ذات المتوسط ​​الصفري${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$، أي لحظة مختلطة من الشكل${\textstyle \prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$يختفي إذا${\textstyle \pi }$هو تقسيم لـ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$والذي يحتوي على عنصر واحد${\textstyle B=\{k\}}$وبالتالي، يتبسط التعبير عن العزم التراكمي المشترك بدلالة العزوم المختلطة. على سبيل المثال، إذا كانت X وY وZ وW متغيرات عشوائية ذات متوسط ​​صفري، فإننا نحصل على $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,}$$$${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$$

بشكل عام، يمكن التعبير عن أي معامل في متسلسلة ماكلورين بدلالة العزوم المختلطة، على الرغم من عدم وجود صيغ مختصرة. في الواقع، كما ذُكر أعلاه، يمكن كتابته كعزم تراكمي مشترك بتكرار المتغيرات العشوائية بشكل مناسب، ثم تطبيق الصيغة المذكورة أعلاه للتعبير عنه بدلالة العزوم المختلطة. على سبيل المثال $${\displaystyle \kappa _{201}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z).\,}$$

إذا كانت بعض المتغيرات العشوائية مستقلة عن جميع المتغيرات الأخرى، فإن أي تراكم يتضمن متغيرين عشوائيين مستقلين (أو أكثر) يساوي صفرًا.

إن المعنى التوافقي للتعبير عن العزوم المختلطة بدلالة التراكمات أسهل في الفهم من معنى التراكمات بدلالة العزوم المختلطة، انظر المعادلة (3.2.6) في: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).}$$

على سبيل المثال: $${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$$

ومن الخصائص المهمة الأخرى للتراكمات المشتركة خاصية التعدد الخطي: $${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,}$$

وكما أن العزم التراكمي الثاني هو التباين، فإن العزم التراكمي المشترك لمتغيرين عشوائيين فقط هو التغاير . المتطابقة المألوفة $${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,}$$ ينطبق هذا على التراكمات: $${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,}$$

ينطبق قانون التوقع الكلي وقانون التباين الكلي بشكل طبيعي على العزوم التراكمية الشرطية. أما الحالة n = 3 ، المعبر عنها بلغة العزوم (المركزية) بدلاً من لغة العزوم التراكمية، فتقول $${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$$

بشكل عام، ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))}$$ أين

• يشمل المجموع جميع التقسيمات π لمجموعة المؤشرات {1، ...، n } ، و 
• π ₁ ،  ...، π _b هي جميع "الكتل" من التقسيم π ؛ يشير التعبير κ ( X _{π m} ) إلى أن العزم التراكمي المشترك للمتغيرات العشوائية التي تقع مؤشراتها في تلك الكتلة من التقسيم. 

في بعض الحالات، يمكن إثبات علاقة مشتقة بين العزم التراكمي الشرطي والتوقع الشرطي . على سبيل المثال، لنفترض أن Y = X + Z حيث Z توزيع طبيعي معياري مستقل عن X ، فعندئذٍ لأي قيمة لـ X ، يتحقق ما يلي ^{[ 14 ].}$${\displaystyle \kappa _{n+1}(X\mid Y=y)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} y^{n}}}\operatorname {E} (X\mid Y=y),\,n\in \mathbb {N} ,\,y\in \mathbb {R} .}$$ ويمكن أيضًا تعميم النتائج على العائلة الأسية. ^{[ 15 ]}

وبشكل أعم، فإن العزوم التراكمية لمتتالية { m _n  : n = 1, 2, 3, ... } ، وليست بالضرورة لحظات أي توزيع احتمالي، هي، بحكم التعريف، $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),}$$ حيث تُحسب قيم κ _{_n} لـ n = 1، 2، 3، ... حسابيًا، أي جبريًا فقط، دون الأخذ بعين الاعتبار مسألة تقارب أي متسلسلة. تختفي جميع صعوبات "مسألة التراكمات" عند العمل حسابيًا. أبسط مثال على ذلك هو أن التراكم الثاني لتوزيع احتمالي يجب أن يكون دائمًا غير سالب، ولا يساوي صفرًا إلا إذا كانت جميع التراكمات الأعلى تساوي صفرًا. أما التراكمات الحسابية فلا تخضع لمثل هذه القيود.

في علم التوافيق ، يُمثل العدد النوني من أعداد بيل عدد تجزئات مجموعة حجمها n . جميع العزوم التراكمية لتسلسل أعداد بيل تساوي 1. أعداد بيل هي عزوم توزيع بواسون ذي القيمة المتوقعة 1 .

لأي متتالية { κₙ : n = 1, 2, 3, ...} _من  الكميات العددية في حقل ذي خاصية صفرية، والتي تُعتبر تراكمات شكلية، توجد متتالية مقابلة { μ ′  : n = 1, 2, 3, ...} من العزوم الشكلية، مُعطاة بواسطة كثيرات الحدود المذكورة أعلاه. بالنسبة لكثيرات الحدود هذه، قم بإنشاء متتالية كثيرات حدود بالطريقة التالية. من كثير الحدود $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}=\kappa _{6}&+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}\\[4pt]&{}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$$ قم بإنشاء متعددة حدود جديدة بدلالة هذه المتغيرات بالإضافة إلى متغير إضافي واحد x : $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)=\kappa _{6}\,x{}&+\left(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}\right)x^{2}+\left(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3}\right)x^{3}\\&{}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}\,x^{4}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}\,x^{5}+\kappa _{1}^{6}\,x^{6},\end{aligned}}}$$ ثم تعميم النمط. يتمثل النمط في أن عدد الكتل في التقسيمات المذكورة آنفاً هو أسس x . كل معامل هو متعدد حدود في العزوم التراكمية؛ وهذه هي متعددات حدود بيل ، نسبةً إلى إريك تمبل بيل .

هذه المتتالية من كثيرات الحدود من النوع الثنائي . في الواقع، لا توجد متتاليات أخرى من النوع الثنائي؛ فكل متتالية من كثيرات الحدود من النوع الثنائي تُحدد تمامًا من خلال متتالية التراكمات الرسمية الخاصة بها.

في صيغة العزم التراكمي المذكورة أعلاه $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B)}$$ بالنسبة للعزوم التراكمية المشتركة، يتم الجمع على جميع تجزئات المجموعة {1، ...، n } . أما إذا تم الجمع فقط على التجزئات غير المتقاطعة ، فإنه بحل هذه الصيغ لـ${\textstyle \kappa }$فيما يتعلق بالعزوم، نحصل على تراكمات حرة بدلاً من التراكمات التقليدية المذكورة أعلاه. وقد قدم رولاند سبايشر هذه التراكمات الحرة، التي تلعب دورًا محوريًا في نظرية الاحتمالات الحرة . ^{[ 22 ] [ 23 ]} في هذه النظرية، بدلاً من النظر في استقلال المتغيرات العشوائية ، المعرّف بدلالة جداءات موترية لجبر المتغيرات العشوائية، يُنظر بدلاً من ذلك في الاستقلال الحر للمتغيرات العشوائية، المعرّف بدلالة الجداءات الحرة للجبر. ^{[ 23 ]}

تكون العزوم التراكمية العادية للتوزيع الطبيعي من الدرجة الأعلى من 2 مساوية للصفر. وكذلك العزوم التراكمية الحرة لتوزيع ويغنر نصف الدائري من الدرجة الأعلى من 2 مساوية للصفر. ^{[ 23 ]} وهذا أحد أوجه التشابه بين دور توزيع ويغنر في نظرية الاحتمالات الحرة ودور التوزيع الطبيعي في نظرية الاحتمالات التقليدية.