التناظر الانتقالي

في الفيزياء والرياضيات ، يُعرف التناظر الانتقالي المستمر بأنه ثبات نظام المعادلات تحت أي انتقال (بدون دوران ). أما التناظر الانتقالي المتقطع فهو الثبات تحت انتقال متقطع .

وبالمثل، يُقال إن المؤثر A على الدوال ثابت إزاحيًا بالنسبة لمؤثر الإزاحة.${\displaystyle T_{\delta }}$إذا لم تتغير النتيجة بعد تطبيق A عند ترجمة دالة الوسيط. بتعبير أدق، يجب أن يتحقق ما يلي:$${\displaystyle \forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).}$$

تكون قوانين الفيزياء ثابتة تحت الإزاحة المكانية إذا لم تميز بين النقاط المختلفة في الفضاء. ووفقًا لنظرية نوثر ، فإن التناظر الإزاحي المكاني لنظام فيزيائي يكافئ قانون حفظ الزخم .

يعني التناظر الانتقالي لجسم ما أن أي انتقال معين لا يغير من شكله. بالنسبة لجسم معين، تشكل الانتقالات التي ينطبق عليها هذا التناظر مجموعة، وهي مجموعة التناظر الخاصة بهذا الجسم، أو، إذا كان للجسم أنواع أخرى من التناظر، مجموعة فرعية من مجموعة التناظر.

يشير الثبات الانتقالي إلى أن الجسم، على الأقل في اتجاه واحد، يكون لانهائيًا: لأي نقطة معينة p ، تشكل مجموعة النقاط التي لها نفس الخصائص بسبب التناظر الانتقالي المجموعة المنفصلة اللانهائية { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . المجالات الأساسية هي، على سبيل المثال، H + [0, 1] a لأي مستوى فائق H يكون فيه a اتجاهًا مستقلًا. في بُعد واحد، يكون هذا المستوى قطعة مستقيمة، وفي بُعدين شريطًا لانهائيًا، وفي ثلاثة أبعاد لوحًا، بحيث ينتهي المتجه الذي يبدأ من أحد جانبيه عند الجانب الآخر. لاحظ أن الشريط واللوح ليسا بالضرورة عموديين على المتجه، وبالتالي يمكن أن يكونا أضيق أو أرق من طول المتجه.

في الفضاءات ذات الأبعاد الأكبر من 1، قد توجد تناظرات انتقالية متعددة. لكل مجموعة من k متجهات انتقالية مستقلة، تكون زمرة التناظر متماثلة مع Zk ^. على وجه الخصوص، قد تساوي التعددية البعد. هذا يعني أن الكائن لانهائي في جميع الاتجاهات. في هذه الحالة، تُشكل مجموعة جميع الانتقالات شبكة . تُولد قواعد مختلفة من متجهات الانتقال نفس الشبكة إذا وفقط إذا تم تحويل إحداها إلى الأخرى بواسطة مصفوفة ذات معاملات صحيحة، تكون القيمة المطلقة لمحددها 1. القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة المُشكلة من مجموعة متجهات الانتقال هي الحجم الفائق لمتوازي السطوح ذي الأبعاد n الذي تُغطيه المجموعة (ويُسمى أيضًا الحجم المشترك للشبكة). يُعد متوازي السطوح هذا منطقة أساسية للتناظر: أي نمط عليه أو فيه ممكن، وهذا يُحدد الكائن بأكمله. انظر أيضًا: الشبكة (المجموعة) .

على سبيل المثال، في بُعدين، بدلًا من a و b، يمكننا أيضًا استخدام a و a − b ، وهكذا. عمومًا، في بُعدين، يمكننا استخدام p a + q b و r a + s b ، حيث p و q و r و s أعداد صحيحة ، بحيث يكون ps − qr يساوي 1 أو -1. هذا يضمن أن a و b هما تركيبات خطية صحيحة للمتجهين الآخرين. وإلا، فلن تكون جميع عمليات الإزاحة ممكنة باستخدام الزوج الآخر. يُحدد كل زوج a و b متوازي أضلاع، جميعها لها نفس المساحة، وهي مقدار الضرب الاتجاهي . يُحدد متوازي الأضلاع الشكل بأكمله. وبدون مزيد من التناظر، يُعد متوازي الأضلاع هذا مجالًا أساسيًا. يمكن تمثيل المتجهين a و b بأعداد مركبة. بالنسبة لنقطتين شبكيتين مُعطيتين، يتم تمثيل تكافؤ اختيار نقطة ثالثة لتوليد شكل شبكي بواسطة المجموعة النمطية ، انظر الشبكة (المجموعة) .

بدلاً من ذلك، على سبيل المثال، قد يحدد المستطيل الكائن بأكمله، حتى لو لم تكن متجهات الإزاحة متعامدة، إذا كان له جانبان موازيان لمتجه إزاحة واحد، بينما متجه الإزاحة الآخر الذي يبدأ من أحد جوانب المستطيل ينتهي عند الجانب المقابل.

على سبيل المثال، لنفترض وجود تبليط مكون من بلاطات مستطيلة متساوية تحمل نقشًا غير متناظر، جميعها موجهة بنفس الاتجاه، في صفوف، مع إزاحة لكل صف بمقدار جزء من البلاطة، وليس نصفها، ويكون هذا الجزء ثابتًا دائمًا. في هذه الحالة، لدينا تناظر انتقالي فقط، ومجموعة ورق جدران p1 (وينطبق الأمر نفسه بدون إزاحة). أما مع تناظر دوراني من الرتبة الثانية للنقش على البلاطة، فلدينا p2 (لا يؤثر وجود تناظر أكبر للنقش على البلاطة على ذلك، نظرًا لترتيب البلاطات). يُعد المستطيل وحدةً أكثر ملاءمةً لاعتباره مجالًا أساسيًا (أو مجموعة من اثنين) من متوازي الأضلاع الذي يتكون من جزء من بلاطة وجزء من بلاطة أخرى.

في بُعدين، قد يوجد تناظر انتقالي في اتجاه واحد لمتجهات مهما كان طولها. خط واحد، ليس في نفس الاتجاه، يُحدد الجسم بأكمله. وبالمثل، في ثلاثة أبعاد، قد يوجد تناظر انتقالي في اتجاه واحد أو اتجاهين لمتجهات مهما كان طولها. مستوى واحد ( مقطع عرضي ) أو خط، على التوالي، يُحدد الجسم بأكمله.

• جميع أنماط الزخارف الجدارية لها تناظرات انتقالية، وأحيانًا أنواع أخرى.
• يُعد تحويل فورييه مع الحساب اللاحق للقيم المطلقة عاملاً ثابتاً تحت الإزاحة.
• إن عملية التحويل من دالة متعددة الحدود إلى درجة متعددة الحدود هي دالة ثابتة تحت الإزاحة.
• مقياس ليبيغ هو مقياس كامل غير متغير تحت الإزاحة .

• انعكاس الانزلاق
• النزوح
• الدالة الدورية
• الشبكة (المجموعة)
• عامل التحويل (ميكانيكا الكم)
• التناظر الدوراني
• تناظر لورنتز
• التبليط
• قائمة الدورات §  رياضيات الموجات والدورات

• ستينجر، فيكتور ج. (2000) وماهوشيرو يو إس إيه (2007). الواقع الخالد . كتب بروميثيوس. وخاصة الفصل 12. غير تقني.