قياس كامل

في الرياضيات ، يُعرَّف المقياس الكامل (أو بتعبير أدق، فضاء القياس الكامل ) بأنه فضاء قياس تكون فيه كل مجموعة جزئية من كل مجموعة فارغة قابلة للقياس (أي قياسها يساوي صفرًا ). وبصورة أدق، يكون فضاء القياس ( X ,  Σ, μ ) كاملاً إذا وفقط إذا ^{[ 1 ] [ 2 ]} 

${\displaystyle S\subseteq N\in \Sigma {\mbox{ and }}\mu (N)=0\ \Rightarrow \ S\in \Sigma .}$

يمكن توضيح الحاجة إلى النظر في مسائل الاكتمال من خلال النظر في مشكلة فضاءات المنتج.

لنفترض أننا قد أنشأنا بالفعل مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية : نرمز إلى فضاء القياس هذا بـ${\displaystyle (\mathbb {R} ,B,\lambda ).}$نرغب الآن في بناء مقياس ليبيغ ثنائي الأبعاد${\displaystyle \lambda ^{2}}$على متن الطائرة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$كمقياس للمنتج . ببساطة، سنأخذ جبر 𝜎 على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يكون${\displaystyle B\otimes B,}$أصغر جبر 𝜎 يحتوي على جميع "المستطيلات" القابلة للقياس${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$ل${\displaystyle A_{1},A_{2}\in B.}$

مع أن هذا النهج يُعرّف فضاء قياس ، إلا أنه يعاني من عيب. فبما أن كل مجموعة أحادية العنصر لها قياس ليبيغ أحادي البعد يساوي صفرًا، $${\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)\leq \lambda (\{0\})=0}$$ لأي مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {R} .}$لكن لنفترض أن${\displaystyle A}$هي مجموعة جزئية غير قابلة للقياس من خط الأعداد الحقيقية، مثل مجموعة فيتالي . عندئذٍ${\displaystyle \lambda ^{2}}$مقياس${\displaystyle \{0\}\times A}$غير مُعرَّف ولكن $${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$$ وهذه المجموعة الأكبر تحتوي على${\displaystyle \lambda ^{2}}$-مقياس صفر. لذا فإن "مقياس ليبيغ ثنائي الأبعاد" كما تم تعريفه للتو ليس كاملاً، ويلزم إجراء نوع من إجراءات الإكمال.

بالنظر إلى فضاء قياس (قد يكون غير مكتمل) ( _X ، Σ  ، μ)، ​​يوجد امتداد (X، Σ₀، μ₀ ) لهذا الفضاء يكون _{مكتملاً} . [ ^{3 ] يُطلق} على أصغر امتداد من هذا النوع (أي أصغر جبر سيجما _Σ₀ ) اسم اكتمال فضاء القياس.   

يمكن بناء الإكمال على النحو التالي:

• ليكن Z مجموعة جميع المجموعات الفرعية للمجموعات الفرعية ذات القياس الصفري μ من X (بشكل بديهي، فإن عناصر Z التي ليست موجودة بالفعل في Σ هي التي تمنع اكتمالها من أن تكون صحيحة)؛
• ليكن Σ ₀ هو الجبر σ الناتج عن Σ و Z (أي أصغر جبر σ يحتوي على كل عنصر من Σ و Z )؛
• لـ μ امتداد μ₀ إلى Σ₀ ₍ وهو امتداد فريد إذا كانت μ منتهية بالنسبة لـ σ )، ويسمى هذا الامتداد المقياس الخارجي لـ μ ، ويُعطى بواسطة القيمة الدنيا _.

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.}$

ثم ( _X ، Σ0  ، _μ0 ) هو فضاء قياس كامل، وهو إكمال ( X ، Σ، μ ) .   

في البناء المذكور أعلاه، يمكن إثبات أن كل عنصر من عناصر Σ ₀ يكون على الصورة A  ∪ B لبعض A ∈ Σ وبعض B ∈ Z ، و     

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

• إن مقياس بوريل، كما هو مُعرَّف على جبر بوريل سيجما المُوَلَّد بواسطة الفترات المفتوحة لخط الأعداد الحقيقية، ليس كاملاً، ولذا يجب استخدام إجراء الإكمال المذكور أعلاه لتعريف مقياس ليبيغ الكامل. ويتضح ذلك من حقيقة أن مجموعة جميع مجموعات بوريل على الأعداد الحقيقية لها نفس عدد عناصر الأعداد الحقيقية. في حين أن مجموعة كانتور هي مجموعة بوريل، إلا أن قياسها يساوي صفرًا، ومجموعة قواها لها عدد عناصر أكبر من عدد عناصر الأعداد الحقيقية. وبالتالي، توجد مجموعة جزئية من مجموعة كانتور غير مُحتواة في مجموعات بوريل. ومن ثم، فإن مقياس بوريل ليس كاملاً.
• مقياس ليبيغ ذو البعد n هو إتمام الضرب من الرتبة n لفضاء ليبيغ أحادي البعد مع نفسه. وهو أيضاً إتمام مقياس بوريل، كما هو الحال في البعد الواحد.

تنص نظرية ماهارام على أن كل فضاء قياس كامل قابل للتحليل إلى قياسات على المتصلات ، وقياس عد محدود أو قابل للعد .

• المقياس الداخلي
• مجموعة ليبيغ القابلة للقياس – أوسع تعريف للأحجام في الفضاءات ذات الأبعاد الصحيحة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• تيريخين، أ.ب. (2001) [1994]، "القياس الكامل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS