المقياس الخارجي

في مجال نظرية القياس الرياضي ، يُعرف القياس الخارجي بأنه دالة مُعرَّفة على جميع المجموعات الجزئية لمجموعة معينة ، ذات قيم في مجموعة الأعداد الحقيقية الموسعة، وتُحقق شروطًا تقنية إضافية. وقد قدّم قسطنطين كاراثيودوري نظرية القياسات الخارجية لأول مرة لتوفير أساس مجرد لنظرية المجموعات القابلة للقياس والقياسات الجمعية القابلة للعد . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ووجدت أعمال كاراثيودوري في مجال القياسات الخارجية تطبيقات عديدة في نظرية المجموعات القياسية (تُستخدم القياسات الخارجية، على سبيل المثال، في برهان نظرية كاراثيودوري الأساسية للتمديد )، كما استخدمها هاوسدورف بشكل أساسي لتعريف ثابت متري شبيه بالبعد، يُعرف الآن باسم بُعد هاوسدورف . وتُستخدم القياسات الخارجية بشكل شائع في مجال نظرية القياس الهندسي .

تُعدّ المقاييس تعميمات للطول والمساحة والحجم، لكنها مفيدة لمجموعات أكثر تجريدًا وعدم انتظامًا من الفترات في${\displaystyle \mathbb {R} }$أو كرات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$قد يتوقع المرء تعريف دالة قياس معممة${\displaystyle \varphi }$على${\displaystyle \mathbb {R} }$التي تستوفي المتطلبات التالية:

1. أي فترة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle [a,b]}$له مقياس${\displaystyle ba}$
2. وظيفة القياس${\displaystyle \varphi }$هي دالة حقيقية موسعة غير سالبة معرفة لجميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$.
3. ثبات الترجمة: لأي مجموعة${\displaystyle A}$وأي شيء حقيقي${\displaystyle x}$المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$يكون لها نفس المقياس
4. خاصية الجمع المعدود : لأي متتالية${\displaystyle (A_{j})}$من مجموعات فرعية منفصلة ثنائياً من${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

اتضح أن هذه المتطلبات شروط غير متوافقة؛ انظر المجموعة غير القابلة للقياس . الغرض من إنشاء مقياس خارجي على جميع المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$يتمثل الهدف في اختيار فئة من المجموعات الفرعية (التي تسمى قابلة للقياس ) بطريقة تحقق خاصية الجمع المعدود.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle 2^{X}}$تشير إلى مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle X,}$بما في ذلك المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing .}$مقياس خارجي على${\displaystyle X}$هي دالة مجموعة$${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$ بحيث

• مجموعة فارغة (null) :${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• قابل للعد شبه الجمعي : للمجموعات الجزئية العشوائية${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ل${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

لاحظ أنه لا يوجد أي غموض بشأن الجمع اللانهائي في هذا التعريف. بما أن حدود المجموع مفترضة جميعها غير سالبة، فإن متتالية المجاميع الجزئية لا يمكن أن تتباعد إلا بالزيادة بلا حدود. لذا فإن المجموع اللانهائي الظاهر في التعريف سيكون دائمًا عنصرًا محددًا جيدًا من${\displaystyle [0,\infty ].}$إذا سُمح للمقياس الخارجي بأخذ قيم سالبة، فسيتعين تعديل تعريفه ليأخذ في الاعتبار إمكانية وجود مجاميع لانهائية غير متقاربة.

تعريف بديل ومكافئ. ^{[ 3 ]} بعض الكتب الدراسية، مثل هالموس (1950) وفولاند (1999)، تُعرّف بدلاً من ذلك مقياسًا خارجيًا على${\displaystyle X}$أن تكون دالة${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$بحيث

• مجموعة فارغة (null) :${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• رتيب : إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$مع${\displaystyle A\subseteq B,}$ثم${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• للمجموعات الفرعية العشوائية${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ل${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

إثبات التكافؤ.

لنفترض أن${\displaystyle \mu }$هو مقياس خارجي بالمعنى المذكور أعلاه. إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$مع${\displaystyle A\subseteq B,}$ثم باللجوء إلى التعريف مع${\displaystyle B_{1}=B}$و${\displaystyle B_{j}=\varnothing }$للجميع${\displaystyle j\geq 2,}$يجد المرء أن${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$الشرط الثالث في التعريف البديل واضح من الملاحظة البسيطة التي${\displaystyle \cup _{j}B_{j}\subseteq \cup _{j}B_{j}.}$ لنفترض بدلاً من ذلك أن${\displaystyle \mu }$هو مقياس خارجي في التعريف البديل. ليكن${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$لتكن مجموعات فرعية عشوائية من${\displaystyle X,}$ولنفترض أن $${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}.}$$ ثم يكون لدى المرء $${\displaystyle \mu (A)\leq \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}),}$$ حيث أن المتباينة الأولى ناتجة عن الشرط الثاني في التعريف البديل، والمتباينة الثانية ناتجة عن الشرط الثالث في التعريف البديل.${\displaystyle \mu }$هو مقياس خارجي بالمعنى الأصلي للتعريف.

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة ذات قياس خارجي${\displaystyle \mu .}$يقول أحدهم أن مجموعة فرعية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle \mu }$قابل للقياس (يُسمى أحيانًا قابل للقياس وفقًا لكاراثيودوري بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$(نسبةً إلى عالم الرياضيات كاراثيودوري ) إذا وفقط إذا $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$ لكل مجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X.}$

بشكل غير رسمي، هذا يعني أن${\displaystyle \mu }$المجموعة الجزئية القابلة للقياس هي مجموعة يمكن استخدامها كوحدة بناء، حيث تُقسّم أي مجموعة جزئية أخرى إلى أجزاء (أي الجزء الموجود داخل المجموعة القابلة للقياس بالإضافة إلى الجزء الموجود خارجها). وبالنظر إلى دوافع نظرية القياس، يُتوقع أن تكون المساحة ، على سبيل المثال، قياسًا خارجيًا على المستوى. وبالتالي، يُتوقع أن تُعتبر كل مجموعة جزئية من المستوى "قابلة للقياس"، وفقًا للمبدأ المتوقع بأن $${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$ حينما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات جزئية منفصلة من المستوى. مع ذلك، يُظهر التطور المنطقي الرسمي للنظرية أن الوضع أكثر تعقيدًا. من النتائج الرسمية لبديهية الاختيار أنه لأي تعريف للمساحة كمقياس خارجي يشمل، كحالة خاصة، الصيغة القياسية لمساحة المستطيل، يجب أن توجد مجموعات جزئية من المستوى لا يمكن قياسها. على وجه الخصوص، فإن "المبدأ المتوقع" المذكور أعلاه خاطئ، شريطة قبول بديهية الاختيار.

مساحة القياس المرتبطة بقياس خارجي

من السهل استخدام التعريف المذكور أعلاه لـ${\displaystyle \mu }$- إمكانية القياس لرؤية ذلك

• لو${\displaystyle A\subseteq X}$يكون${\displaystyle \mu }$-قابل للقياس ثم مكمله${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$وهو أيضًا${\displaystyle \mu }$قابل للقياس.

يُعرف الشرط التالي باسم " الخاصية الجمعية القابلة للعد لـ${\displaystyle \mu }$"على مجموعات فرعية قابلة للقياس."

• لو${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$نكون${\displaystyle \mu }$-قابل للقياس ثنائيًا-منفصل (${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ل${\displaystyle i\neq j}$) مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$ثم يكون لدى المرء$${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

إثبات خاصية الجمع المعدود.

يتوصل المرء تلقائياً إلى الاستنتاج بالشكل التالي:${\displaystyle \,\leq \,}$"من تعريف القياس الخارجي. لذلك، يكفي إثبات "${\displaystyle \,\geq \,}$"عدم المساواة. لدى المرء$${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}}$$لأي عدد موجب${\displaystyle N,}$بسبب الشرط الثاني في "التعريف البديل" للمقياس الخارجي المذكور أعلاه. لنفترض (استقرائيًا) أن$${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{N-1}\mu (A_{j})}$$ بتطبيق التعريف المذكور أعلاه لـ${\displaystyle \mu }$-قابلية القياس مع${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{N}}$ومع${\displaystyle E=A_{N},}$يمتلك المرء$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}&=\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\cap A_{N}\right)+\mu \left({\Big (}\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}{\Big )}\smallsetminus A_{N}\right)\\&=\mu (A_{N})+\mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{N-1}A_{j}{\Big )}\end{aligned}}}$$وهذا يُنهي الاستقراء. بالعودة إلى السطر الأول من البرهان، يكون لدينا$${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}\geq \sum _{j=1}^{N}\mu (A_{j})}$$لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle N.}$ثم يمكن للمرء أن يرسل${\displaystyle N}$إلى ما لا نهاية للحصول على المطلوب "${\displaystyle \,\geq \,}$"عدم المساواة".

يُظهر برهان مماثل ما يلي:

• لو${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$نكون${\displaystyle \mu }$- مجموعات فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle X,}$ثم الاتحاد${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$والتقاطع${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$وهي أيضًا${\displaystyle \mu }$قابل للقياس.

يمكن تلخيص الخصائص المذكورة هنا بالمصطلحات التالية:

بغض النظر عن أي مقياس خارجي${\displaystyle \mu }$على مجموعة${\displaystyle X,}$مجموعة الكل${\displaystyle \mu }$- مجموعات فرعية قابلة للقياس من${\displaystyle X}$هي جبر سيجما . تقييد${\displaystyle \mu }$إلى هذا${\displaystyle \sigma }$الجبر هو مقياس.

وبالتالي، يكون لدى المرء بنية فضاء قياس على${\displaystyle X,}$ينشأ بشكل طبيعي من تحديد مقياس خارجي على${\displaystyle X.}$تتمتع مساحة القياس هذه بخاصية إضافية هي الاكتمال ، والتي ترد في العبارة التالية:

• كل مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$بحيث${\displaystyle \mu (A)=0}$يكون${\displaystyle \mu }$قابل للقياس.

يسهل إثبات ذلك باستخدام الخاصية الثانية في "التعريف البديل" للقياس الخارجي.

يترك${\displaystyle \mu }$كن مقياسًا خارجيًا على المجموعة${\displaystyle X}$.

لنفترض أن (X, d) فضاء متري و φ مقياس خارجي على X. إذا كان لـ φ الخاصية التالية:

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

حينما

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

عندئذٍ يُطلق على φ اسم المقياس الخارجي المتري .

نظرية . إذا كانت φ مقياسًا خارجيًا متريًا على X ، فإن كل مجموعة جزئية بوريلية من X قابلة للقياس بواسطة φ . ( المجموعات البوريلية لـ X هي عناصر أصغر جبر سيجما مُوَلَّد بواسطة المجموعات المفتوحة).

توجد عدة طرق لإنشاء مقاييس خارجية على مجموعة. ويصف مرجع مونرو الكلاسيكي أدناه طريقتين مفيدتين بشكل خاص، وهما الطريقة الأولى والطريقة الثانية .

• المقياس الداخلي

• فولاند، جيرالد ب. (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-31716-0.
• أليبرانتيس، سي دي؛ بوردر، كيه سي (2006). التحليل اللانهائي الأبعاد (  الطبعة الثالثة). برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ . ISBN 3-540-29586-0.
• كاراتيودوري، سي. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (باللغة الألمانية) (  الطبعة الثالثة). تشيلسي للنشر . رقم ISBN 978-0828400381.
• إيفانز، لورانس سي .؛ غاريبي، رونالد إف. (2015). نظرية القياس والخصائص الدقيقة للدوال. طبعة منقحة . كتب في الرياضيات. مطبعة سي آر سي، بوكا راتون، فلوريدا. 299 صفحة  + 14 صفحة تمهيدية. ISBN 978-1-4822-4238-6.
• فيدرر، هـ. (1996) [1969]. نظرية القياس الهندسي . كلاسيكيات في الرياضيات (الطبعة الأولى المعاد طباعتها  ). برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-3540606567.
• هالموس، ب. (1978) [1950]. نظرية القياس . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثانية). برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0387900889.
• مونرو، م. إ. (1953). مقدمة في القياس والتكامل (  الطبعة الأولى). أديسون ويسلي . ISBN 978-1124042978.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كولموغوروف، أ.ن .؛ فومين، س.ف. (1970). مقدمة في التحليل الحقيقي . ترجمة ريتشارد أ. سيلفرمان. نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 0-486-61226-0.

• المقياس الخارجي في موسوعة الرياضيات
• مقياس كاراثيودوري في موسوعة الرياضيات