وظيفة ميرتنز

في نظرية الأعداد ، تُعرَّف دالة ميرتنز لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n على النحو التالي:

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

أين${\displaystyle \mu (k)}$هي دالة موبيوس . سُميت هذه الدالة تكريماً لفرانز ميرتنز . ويمكن تعميم هذا التعريف ليشمل الأعداد الحقيقية الموجبة كما يلي:

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

بصورة أقل رسمية،${\displaystyle M(x)}$هو عدد الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات حتى x والتي لها عدد زوجي من العوامل الأولية، مطروحًا منه عدد تلك التي لها عدد فردي.

القيم الـ 143 الأولى من M ( n ) هي (التسلسل A002321 في OEIS )

تنمو دالة ميرتنز ببطء في الاتجاهين الموجب والسالب، سواء في المتوسط ​​أو في القيمة القصوى، وتتذبذب بطريقة فوضوية ظاهريًا، وتمر عبر الصفر عندما تكون قيمة n هي

2، 39، 40، 58، 65، 93، 101، 145، 149، 150، 159، 160، 163، 164، 166، 214، 231، 232، 235، 236، 238، 254، 329، 331، 332، 333، 353، 355، 356، 358، 362، 363، 364، 366، 393، 401، 403، 404، 405، 407، 408، 413، 414، 419، 420، 422، 423، 424، 425، 427 428، ... (التسلسل A028442 في OEIS ) .

لأن دالة موبيوس لا تأخذ إلا القيم -1 و0 و+1، فإن دالة ميرتنز تتحرك ببطء، ولا يوجد x بحيث يكون | M ( x )| > x . وقد أثبت هـ. دافنبورت ^{[ 1 ]} أنه لأي قيمة ثابتة لـ h ، 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

بشكل موحد في${\displaystyle \theta }$وهذا يعني، بالنسبة لـ${\displaystyle \theta =0}$الذي - التي

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

ذهب حدس ميرتنز إلى أبعد من ذلك، حيث نص على أنه لن يكون هناك قيمة لـ x حيث تتجاوز القيمة المطلقة لدالة ميرتنز الجذر التربيعي لـ x . وقد ثبت خطأ حدس ميرتنز في عام 1985 على يد أندرو أودليزكو وهيرمان تي ريل . ومع ذلك، فإن فرضية ريمان تُكافئ حدسًا أضعف حول نمو M ( x )، وهو M ( x ) = O ( x¹ ^{/² + ε} ). وبما أن القيم العالية لـ M ( x ) تنمو على الأقل بنفس سرعة${\displaystyle {\sqrt {x}}}$وهذا يفرض حداً ضيقاً إلى حد ما على معدل نموه. هنا، يشير الرمز O إلى ترميز Big O.

معدل النمو الحقيقي لـ M ( x ) غير معروف. وتشير فرضية غير منشورة لستيف جونيك إلى أن

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

قدم ناثان نج ^{[ 2 ]} أدلة احتمالية تدعم هذه الفرضية. وعلى وجه الخصوص، قدم نج برهانًا مشروطًا على أن الدالة${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$له توزيع محدود${\displaystyle \nu }$على${\displaystyle \mathbb {R} }$أي، بالنسبة لجميع الدوال المحدودة المتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز${\displaystyle f}$على أرض الواقع لدينا ذلك

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

إذا افترضنا تخمينات مختلفة حول دالة زيتا لريمان .

من ^{[ 4 ]} لدينا

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(n/d)=1\ .}$

علاوة على ذلك، من ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(n/d)d=\Phi (n)\ ,}$

أين${\displaystyle \Phi (n)}$هي دالة الجمع الكلية .

لا تُفضي أيٌّ من الطريقتين المذكورتين سابقًا إلى خوارزميات عملية لحساب دالة ميرتنز. وباستخدام طرق غربلة مشابهة لتلك المستخدمة في عدّ الأعداد الأولية، تم حساب دالة ميرتنز لجميع الأعداد الصحيحة حتى نطاق متزايد من x . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يمكن حساب دالة ميرتنز لجميع القيم الصحيحة حتى x في زمن قدره O ( x log log x ) . وقد طُوِّرت خوارزمية توافقية تدريجيًا بدءًا من عام 1870 على يد إرنست مايسل ^{[ 9 ]} ، وليمر ^{[ 10 ]} ، ولاغارياس - ميلر - أودليزكو ^{[ 11 ]} ، وديليغليز-ريفات ^{[ 12 ]} ، تحسب هذه الخوارزمية القيم المنفردة لـ M ( x ) في زمن قدره O ( x² ^/³ (log log x ) ^¹/³ ) . وفي عام 2021، حسّن هارالد هيلفغوت ولولا طومسون هذا الزمن إلى O ( x³ ^/⁵ (log x ) ^{³/⁵ + ε} ) [ ^{13 ]. كما} حققت خوارزمية أخرى من تطوير لاغارياس وأودليزكو، تعتمد على تكاملات دالة زيتا لريمان، زمن تشغيل قدره O ( x¹ ^{/² + ε} ) ^{[ 14 ]} .

انظر OEIS : A084237  لقيم M ( x ) عند قوى العدد 10.

يشير نغ إلى أن فرضية ريمان (RH) تعادل

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle C>0}$وقد تم الحصول على حدود عليا أخرى بواسطة ماير ومونتغمري وسونداراجان بافتراض فرضية RH بما في ذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

يتم إعطاء الحدود العليا الصريحة المعروفة دون افتراض RH بواسطة: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

من الممكن تبسيط التعبير أعلاه إلى شكل أقل تقييدًا ولكنه توضيحي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

• صيغة بيرون
• وظيفة ليوفيل

• إدواردز، هارولد (1974). دالة زيتا لريمان . مينولا، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-41740-9.
• ميرتنز، ف. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion"، Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". كلاين سيتزونجسبير، IIA . 106 : 761 – 830.
• الأماكن القريبة : تي ريلي ، هيرمان (1985). “دحض تخمين ميرتنز” (PDF) . مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 357 : 138 – 160.
• وايسستين، إريك دبليو. “وظيفة ميرتنز” . عالم الرياضيات .
• سلون، ن.  ج.  أ. (محرر). "المتتالية A002321 (دالة ميرتنز)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
• ديليغليز، م. وريفات، ج. "حساب مجموع دالة موبيوس". الرياضيات التجريبية 5، 291-295، 1996. حساب مجموع دالة موبيوس
• هيرست، جريج (2016). "حسابات دالة ميرتنز وحدود محسنة على حدسية ميرتنز". arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
• ناثان نج، "توزيع الدالة التجميعية لدالة موبيوس"، وقائع جمعية لندن الرياضية (3) 89 (2004) 361-389.