طريقة الصور

طريقة الصور (أو طريقة الصور المعكوسة ) هي أداة رياضية لحل المعادلات التفاضلية ، حيث تُحقق الشروط الحدية بدمج حل غير مقيد بهذه الشروط مع صورته المعكوسة، والتي قد تكون موزونة. عمومًا، تقع النقاط الشاذة الأصلية داخل نطاق الدراسة، ولكن تُجعل الدالة تحقق الشروط الحدية بوضع نقاط شاذة إضافية خارج هذا النطاق. عادةً ما تُحدد مواقع هذه النقاط الشاذة الإضافية كموقع افتراضي للنقاط الشاذة الأصلية كما تُرى في مرآة موضوعة عند موقع الشروط الحدية. في أغلب الأحيان، تكون المرآة عبارة عن مستوى فائق أو كرة فائقة .

يمكن أيضًا استخدام طريقة الصور في حل المشكلات المنفصلة ذات الشروط الحدودية، مثل حساب عدد المسارات العشوائية المنفصلة المقيدة .

تُستخدم طريقة الشحنات الوهمية في علم الكهرباء الساكنة لحساب أو تصوير توزيع المجال الكهربائي لشحنة ما في جوار سطح موصل. وتستند هذه الطريقة إلى حقيقة أن المركبة المماسية للمجال الكهربائي على سطح الموصل تساوي صفرًا، وأن المجال الكهربائي E في منطقة ما يُحدد بشكل فريد من خلال مركبته العمودية على السطح الذي يحصر هذه المنطقة ( نظرية التفرد ). ^{[ 1 ]}

يمكن استخدام طريقة الصور في المغناطيسية الساكنة لحساب المجال المغناطيسي لمغناطيس قريب من سطح موصل فائق. الموصل الفائق في حالة مايسنر هو مادة مغناطيسية معاكسة مثالية لا يخترقها المجال المغناطيسي. لذلك، يجب أن يكون المركب العمودي للمجال المغناطيسي على سطحه صفرًا. عندئذٍ، تنعكس صورة المغناطيس. وبالتالي، تكون القوة بين المغناطيس والسطح الموصل الفائق تنافرية.

بالمقارنة مع حالة ثنائي القطب الشحني فوق سطح موصل مسطح، يمكن اعتبار متجه المغنطة المعكوس ناتجًا عن تغيير إضافي في إشارة متجه محوري .

من أجل أخذ ظاهرة تثبيت التدفق المغناطيسي في الموصلات الفائقة من النوع الثاني في الاعتبار ، يمكن استخدام طريقة الصورة المرآة المجمدة . ^{[ 2 ]}

يهتم مهندسو البيئة عادةً بانعكاس (وأحيانًا امتصاص) سحابة الملوثات عن حدود غير منفذة (لا تسمح بتدفق الملوثات). ومن الطرق السريعة لنمذجة هذا الانعكاس استخدام طريقة الصور.

تُوجَّه الانعكاسات، أو الصور ، في الفضاء بحيث تحل محل أي كتلة (من عمود التلوث الحقيقي) تمر عبر حدٍّ معين. ^{[ 3 ]} يتطلب الحد الواحد صورة واحدة. أما وجود حدين أو أكثر فينتج عنه عدد لا نهائي من الصور. مع ذلك، ولأغراض نمذجة انتقال الكتلة - مثل انتشار انسكاب ملوث في بحيرة - قد لا يكون من الضروري تضمين مجموعة لا نهائية من الصور عند وجود حدود متعددة ذات صلة. على سبيل المثال، لتمثيل الانعكاس ضمن عتبة معينة من الدقة الفيزيائية، يمكن الاكتفاء بتضمين الصورتين الأساسية والثانوية فقط.

أبسط الحالات هي وجود حد واحد في فضاء أحادي البعد. في هذه الحالة، لا يمكن الحصول إلا على صورة واحدة. إذا اقتربت كتلة من الحد مع مرور الوقت، فإن الصورة قادرة على وصف انعكاس تلك الكتلة عبر الحد بشكل مناسب.

مثال بسيط آخر هو وجود حد واحد في فضاء ثنائي الأبعاد. وكما ذكرنا سابقًا، بما أن هناك حدًا واحدًا فقط، فإن صورة واحدة تكفي. يصف هذا المثال مدخنة، حيث ينعكس دخانها في الغلاف الجوي عن سطح الأرض غير المنفذ، ويكون غير محدود تقريبًا.

أخيرًا، ندرس إطلاق كتلة في فضاء أحادي البعد محاط بحدود من اليمين واليسار غير قابلة للاختراق. توجد صورتان أساسيتان، تحل كل منهما محل كتلة الإطلاق الأصلي المنعكسة عبر كل حد. توجد صورتان ثانويتان، تحل كل منهما محل كتلة إحدى الصورتين الأساسيتين المتدفقة عبر الحد المقابل. كما توجد صورتان ثالثيتان (تحلان محل الكتلة المفقودة بواسطة الصورتين الثانويتين)، وصورتان رابعيتان (تحلان محل الكتلة المفقودة بواسطة الصورتين الثالثيتين)، وهكذا إلى ما لا نهاية.

بالنسبة لنظام معين، وبعد توجيه جميع الصور بدقة، يُحسب مجال التركيز بجمع انبعاثات الكتلة ( العمود الحقيقي بالإضافة إلى جميع الصور) ضمن الحدود المحددة. ويكون مجال التركيز هذا دقيقًا فيزيائيًا فقط ضمن هذه الحدود؛ أما المجال خارجها فهو غير فيزيائي وغير ذي صلة بمعظم الأغراض الهندسية.

تُعدّ هذه الطريقة تطبيقًا خاصًا لدوال غرين . وتُجدي طريقة الصور نفعًا عندما يكون الحدّ سطحًا مستويًا ويكون للتوزيع مركز هندسي. وهذا يسمح بانعكاس بسيط يشبه المرآة للتوزيع لتلبية مجموعة متنوعة من شروط الحدود. لنأخذ على سبيل المثال الحالة البسيطة أحادية البعد الموضحة في الرسم البياني، حيث يوجد توزيع لـ${\displaystyle \langle c\rangle }$كدالة لـ${\displaystyle x}$وحدود واحدة تقع عند${\displaystyle x_{b}}$مع المجال الحقيقي بحيث${\displaystyle x\geq x_{b}}$ومجال الصورة${\displaystyle x<x_{b}}$. ضع في اعتبارك الحل${\displaystyle f(\pm x+x_{0},t)}$لتحقيق المعادلة التفاضلية الخطية لأي${\displaystyle x_{0}}$، ولكن ليس بالضرورة شرط الحدود.

تجدر الإشارة إلى أن هذه التوزيعات شائعة في النماذج التي تفترض التوزيع الغاوسي . وهذا شائع بشكل خاص في الهندسة البيئية ، لا سيما في التدفقات الجوية التي تستخدم نماذج أعمدة الغاوس .

يمكن استخدام طريقة الصور في الحالات المنفصلة. على سبيل المثال، يُعطى عدد المسارات العشوائية التي تبدأ من الموضع 0 ، وتتخذ خطوات بحجم ±1 ، وتستمر لمدة إجمالية قدرها n خطوة، وتنتهي عند الموضع k، بواسطة معامل ذي الحدين.${\displaystyle {\binom {n}{(n+k)/2}}}$بافتراض أن | k | ≤ n وأن n + k عدد زوجي، لنفترض أن لدينا شرطًا حدوديًا يمنع المسارات من الوصول إلى -1 خلال أي جزء منها. يمكن حساب عدد المسارات المقيدة بالبدء بعدد المسارات غير المقيدة التي تبدأ من الموضع 0 وتنتهي عند الموضع k ، ثم طرح عدد المسارات غير المقيدة التي تبدأ من الموضع -2 وتنتهي عند الموضع k . وذلك لأنه، لأي عدد معين من الخطوات، سيصل عدد متساوٍ تمامًا من المسارات غير المقيدة ذات الوزن الموجب والمسارات غير المقيدة ذات الوزن السالب إلى -1 ؛ فهما متطابقان تمامًا. وبالتالي، فإن هذه المسارات ذات الوزن السالب تلغي تمامًا تلك المسارات ذات الوزن الموجب التي منعها شرطنا الحدودي.

على سبيل المثال، إذا كان عدد الخطوات n = 2 م والموقع النهائي k = 0 ، فإن عدد المسارات المقيدة هو عدد كاتالان.$${\displaystyle C_{m}={\binom {2m}{m}}-{\binom {2m}{m+1}}\,.}$$