المغناطيسية الساكنة

انطلاقاً من معادلات ماكسويل وبافتراض أن الشحنات إما ثابتة أو تتحرك كتيار ثابت${\displaystyle \mathbf {J} }$تنقسم المعادلات إلى معادلتين للمجال الكهربائي (انظر الكهروستاتيكا ) ومعادلتين للمجال المغناطيسي . ^{[ 2 ]} المجالات مستقلة عن الزمن وعن بعضها البعض. تُعرض معادلات المغناطيسية الساكنة، بصيغتيها التفاضلية والتكاملية، في الجدول أدناه.

اسم	استمارة
	التفاضلي	أساسي
قانون جاوس للمغناطيسية	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$
قانون أمبير	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{\mathrm {enc} }}$

حيث تشير ∇ مع النقطة إلى التباعد ، و B هي كثافة التدفق المغناطيسي ، فإن التكامل الأول يكون على سطح${\displaystyle S}$مع عنصر سطح موجه${\displaystyle d\mathbf {S} }$حيث يرمز ∇ مع علامة الضرب إلى الدوران ، وJ هي كثافة التيار و H هي شدة المجال المغناطيسي ، والتكامل الثاني هو تكامل خطي حول حلقة مغلقة${\displaystyle C}$مع عنصر الخط${\displaystyle \mathbf {l} }$التيار المار عبر الحلقة هو${\displaystyle I_{\text{enc}}}$.

يمكن تقدير جودة هذا التقريب بمقارنة المعادلات المذكورة أعلاه مع النسخة الكاملة لمعادلات ماكسويل، مع مراعاة أهمية الحدود التي تم حذفها. وتكتسب مقارنة... أهمية خاصة${\displaystyle \mathbf {J} }$مصطلح ضد${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$مصطلح. إذا كان${\displaystyle \mathbf {J} }$إذا كان الحد أكبر بكثير، فيمكن تجاهل الحد الأصغر دون فقدان كبير في الدقة.

تتمثل إحدى التقنيات الشائعة في حل سلسلة من مسائل المغناطيسية الساكنة بخطوات زمنية متزايدة، ثم استخدام هذه الحلول لتقريب الحد${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$بتطبيق هذه النتيجة في قانون فاراداي ، نحصل على قيمة لـ${\displaystyle \mathbf {E} }$(التي تم تجاهلها سابقًا). هذه الطريقة ليست حلاً حقيقيًا لمعادلات ماكسويل، ولكنها يمكن أن توفر تقريبًا جيدًا للحقول المتغيرة ببطء.

إذا كانت جميع التيارات في النظام معروفة (أي إذا كان هناك وصف كامل لكثافة التيار).${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$إذا كان ذلك متاحًا)، فيمكن تحديد المجال المغناطيسي عند الموضع r من التيارات باستخدام معادلة بيو-سافار : ^{[ 3 ] : 174}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

تُعدّ هذه التقنية فعّالة في المسائل التي يكون فيها الوسط فراغًا أو هواءً أو مادةً مشابهة ذات نفاذية نسبية تساوي 1. ويشمل ذلك المحاثات والمحولات ذات القلب الهوائي . ومن مزايا هذه التقنية أنه في حال كان للملف هندسة معقدة، يُمكن تقسيمه إلى أجزاء وحساب التكامل لكل جزء. ولأن هذه المعادلة تُستخدم أساسًا لحل المسائل الخطية ، يُمكن جمع المساهمات. أما في حالة الهندسة شديدة التعقيد، فيُمكن استخدام التكامل العددي .

في المسائل التي تكون فيها المادة المغناطيسية السائدة عبارة عن قلب مغناطيسي عالي النفاذية مع فجوات هوائية صغيرة نسبيًا، يكون استخدام الدائرة المغناطيسية مفيدًا. عندما تكون الفجوات الهوائية كبيرة مقارنةً بطول الدائرة المغناطيسية ، يصبح التداخل المغناطيسي ملحوظًا، وعادةً ما يتطلب ذلك حسابًا باستخدام طريقة العناصر المحدودة . يستخدم حساب العناصر المحدودة صيغةً معدلةً من معادلات المغناطيسية الساكنة المذكورة أعلاه لحساب الجهد المغناطيسي . قيمة${\displaystyle \mathbf {B} }$يمكن إيجادها من خلال الجهد المغناطيسي.

يمكن اشتقاق المجال المغناطيسي من الكمون الشعاعي . وبما أن تباعد كثافة التدفق المغناطيسي يساوي صفرًا دائمًا، $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ وعلاقة الجهد المتجه بالتيار هي: ^{[ 3 ] : 176}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

تتميز المواد المغناطيسية القوية (مثل المواد المغناطيسية الحديدية ، والمواد المغناطيسية الحديدية المضادة ، والمواد المغناطيسية المسايرة ) بمغناطيسية ناتجة بشكل أساسي عن دوران الإلكترون . في هذه المواد، يجب تضمين المغناطيسية بشكل صريح باستخدام العلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

باستثناء حالة الموصلات، يمكن تجاهل التيارات الكهربائية. عندئذٍ يكون قانون أمبير ببساطة $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

وهذا له الحل العام $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$ أين${\displaystyle \Phi _{M}}$هو جهد قياسي . ^{[ 3 ] : 192} بالتعويض بهذا في قانون جاوس، نحصل على $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

وبالتالي، فإن تباعد المغنطة،${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$يلعب دورًا مشابهًا للشحنة الكهربائية في علم الكهرباء الساكنة ^{[ 4 ]} ، وغالبًا ما يُشار إليه باسم كثافة الشحنة الفعالة.${\displaystyle \rho _{M}}$.

يمكن أيضًا استخدام طريقة الجهد المتجه مع كثافة تيار فعالة $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$