وظيفة البقاء

دالة البقاء هي دالة تُعطي احتمال بقاء مريض أو جهاز أو أي شيء آخر محل اهتمام على قيد الحياة بعد فترة زمنية محددة. ^{[ 1 ]} تُعرف دالة البقاء أيضًا بدالة النجاة ^{[ 2 ]} أو دالة الموثوقية . ^{[ 3 ]} يُستخدم مصطلح دالة الموثوقية بشكل شائع في الهندسة، بينما يُستخدم مصطلح دالة البقاء في نطاق أوسع من التطبيقات، بما في ذلك وفيات البشر. دالة البقاء هي دالة التوزيع التراكمي التكميلية للعمر. أحيانًا تُسمى دوال التوزيع التراكمي التكميلية بدوال البقاء بشكل عام.

دع العمر${\displaystyle T}$ليكن متغيرًا عشوائيًا مستمرًا يصف الوقت اللازم للفشل. إذا${\displaystyle T}$لها دالة توزيع تراكمي${\displaystyle F(t)}$ودالة كثافة الاحتمال${\displaystyle f(t)}$على الفترة${\displaystyle [0,\infty )}$إذن، دالة البقاء أو دالة الموثوقية هي:

$${\displaystyle S(t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=\Pr(T>t)=1-F(t)=1-\int _{0}^{t}f(u)\,du}$$

تُظهر الرسوم البيانية أدناه أمثلة على دوال البقاء الافتراضية. يُمثل المحور السيني الزمن، بينما يُمثل المحور الصادي نسبة الأفراد الباقين على قيد الحياة. تُظهر الرسوم البيانية احتمالية بقاء الفرد على قيد الحياة بعد الزمن t .

على سبيل المثال، بالنسبة لدالة البقاء 1، فإن احتمال البقاء على قيد الحياة لأكثر من شهرين هو 0.37 . أي أن 37% من الأفراد يعيشون لأكثر من شهرين.

بالنسبة لدالة البقاء الثانية، فإن احتمال البقاء على قيد الحياة لأكثر من شهرين هو 0.97 . أي أن 97% من الأفراد يعيشون لأكثر من شهرين.

يمكن تحديد متوسط ​​البقاء على قيد الحياة من خلال دالة البقاء: متوسط ​​البقاء على قيد الحياة هو النقطة التي تتقاطع فيها دالة البقاء مع القيمة 0.5 . ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، بالنسبة لدالة البقاء 2، يعيش 50% من الأفراد لمدة 3.72 شهرًا. وبالتالي، فإن متوسط ​​البقاء على قيد الحياة هو 3.72 شهرًا.

لا يمكن دائمًا تحديد متوسط ​​البقاء على قيد الحياة من الرسم البياني وحده. على سبيل المثال، في دالة البقاء على قيد الحياة رقم 4، يعيش أكثر من 50% من الأشخاص لفترة أطول من فترة الملاحظة البالغة 10 أشهر.

تُعدّ دالة البقاء إحدى الطرق العديدة لوصف وعرض بيانات البقاء. ومن الطرق المفيدة الأخرى لعرض البيانات رسم بياني يُظهر توزيع أوقات بقاء الأفراد. يُقدّم أولكين، ^{[ 5 ]} صفحة 426، المثال التالي لبيانات البقاء. تم تسجيل عدد الساعات بين الأعطال المتتالية لنظام تكييف الهواء. كانت الأوقات بالساعات، t ، بين الأعطال المتتالية هي: 1، 3، 5، 7، 11، 11، 11، 12، 14، 14، 14، 16، 16، 20، 21، 23، 42، 47، 52، 62، 71، 71، 87، 90، 95، 120، 120، 225، 246، و261. يبلغ متوسط ​​الوقت بين الأعطال 59.6. يُبيّن الشكل أدناه توزيع الوقت بين الأعطال. تمثل علامات الصح الزرقاء أسفل الرسم البياني الساعات الفعلية بين حالات تعطل مكيف الهواء المتتالية.

في هذا المثال، يتراكب منحنى يمثل التوزيع الأسي على توزيع أوقات تعطل التيار المتردد؛ ويقارب التوزيع الأسي توزيع أوقات تعطل التيار المتردد. ويتم تحديد هذا المنحنى الأسي تحديدًا بواسطة المعامل لامدا، λ .

يُعرَّف توزيع أوقات الأعطال بدالة كثافة الاحتمال (PDF)، حيث يمكن أن يأخذ الزمن أي قيمة موجبة. في المعادلات، تُحدد دالة كثافة الاحتمال بالرمز f( _T ). إذا كان الزمن يأخذ قيمًا منفصلة فقط (مثل يوم واحد، يومين، وهكذا)، يُسمى توزيع أوقات الأعطال بدالة كتلة الاحتمال . تفترض معظم طرق تحليل البقاء أن الزمن يمكن أن يأخذ أي قيمة موجبة، وأن f( _T) هي دالة كثافة الاحتمال. إذا تم تقريب الفترة الزمنية بين أعطال التيار المتردد المرصودة باستخدام الدالة الأسية، فإن المنحنى الأسي يُعطي دالة كثافة الاحتمال، f _(T) ، لأوقات أعطال التيار المتردد.

من الطرق المفيدة الأخرى لعرض بيانات البقاء على قيد الحياة رسم بياني يوضح حالات الفشل التراكمية حتى كل نقطة زمنية. يمكن عرض هذه البيانات إما كعدد تراكمي أو كنسبة تراكمية لحالات الفشل حتى كل نقطة زمنية. يوضح الرسم البياني أدناه الاحتمالية التراكمية (أو النسبة) لحالات الفشل في كل نقطة زمنية لنظام تكييف الهواء. يمثل الخط المتدرج باللون الأسود النسبة التراكمية لحالات الفشل. لكل خطوة، توجد علامة زرقاء في أسفل الرسم البياني تشير إلى وقت الفشل المُلاحظ. يمثل الخط الأحمر الأملس المنحنى الأسي المُطابق للبيانات المُلاحظة.

يُطلق على الرسم البياني للاحتمالية التراكمية للفشل حتى كل نقطة زمنية اسم دالة التوزيع التراكمي (CDF). في تحليل البقاء، تُعطي دالة التوزيع التراكمي احتمال أن يكون وقت البقاء أقل من أو يساوي وقتًا محددًا، t .

ليكن T زمن البقاء، وهو أي عدد موجب. يُرمز إلى زمن معين بالحرف الصغير t . دالة التوزيع التراكمي لـ T هي الدالة

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t),}$$

حيث يمثل الطرف الأيمن احتمال أن يكون المتغير العشوائي T أقل من أو يساوي t . إذا كان بإمكان الزمن أن يأخذ أي قيمة موجبة، فإن دالة التوزيع التراكمي F ( t ) هي تكامل دالة كثافة الاحتمال f ( t ) .

بالنسبة لمثال تكييف الهواء، يوضح الرسم البياني لدالة التوزيع التراكمي أدناه أن احتمال أن يكون وقت الفشل أقل من أو يساوي 100 ساعة هو 0.81 ، كما تم تقديره باستخدام منحنى الأسي المناسب للبيانات.

بدلاً من تمثيل احتمال أن يكون وقت العطل أقل من أو يساوي 100 ساعة بيانيًا، يمكن تمثيل احتمال أن يكون وقت العطل أكبر من 100 ساعة بيانيًا. يجب أن يكون احتمال أن يكون وقت العطل أكبر من 100 ساعة مساويًا لـ 1 ناقص احتمال أن يكون وقت العطل أقل من أو يساوي 100 ساعة، لأن مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي 1.

وهذا يعطي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{أوقات الفشل}}>100{\text{ ساعات}})&=1-\Pr({\text{أوقات الفشل}}\leq 100{\text{ ساعات}})\\&=1-0.81=0.19\end{aligned}}}$$

هذه العلاقة قابلة للتعميم على جميع أوقات الفشل:

$${\displaystyle \Pr(T>t)=1-\Pr(T\leq t)={\text{ دالة التوزيع التراكمي.}}}$$

تُظهر الرسوم البيانية أدناه هذه العلاقة. يُمثل الرسم البياني على اليسار دالة التوزيع التراكمي، وهي Pr( T ≤ t ) . أما الرسم البياني على اليمين فيُمثل Pr( T > t ) = 1 − Pr( T ≤ t ) . ويُمثل الرسم البياني على اليمين دالة البقاء، S ( t ). ولأن S ( t ) = 1 – CDF، يُطلق على دالة البقاء أيضًا اسم دالة التوزيع التراكمي التكميلية.

في بعض الحالات، كما في مثال مكيف الهواء، يمكن تقريب توزيع أوقات البقاء بدقة باستخدام دالة مثل التوزيع الأسي. تُستخدم عدة توزيعات بشكل شائع في تحليل البقاء، بما في ذلك التوزيع الأسي، وتوزيع ويبول، وتوزيع غاما، والتوزيع الطبيعي، والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، والتوزيع اللوغاريتمي اللوجستي. ^{[ 3 ] [ 6 ]} تُحدد هذه التوزيعات بواسطة معلمات. على سبيل المثال، يُحدد التوزيع الطبيعي (غاوسي) بواسطة معلمتين: المتوسط ​​والانحراف المعياري. تُسمى دوال البقاء التي تُحدد بواسطة معلمات بالدوال البارامترية.

في الرسوم البيانية الأربعة لدالة البقاء الموضحة أعلاه، يتم تحديد شكل دالة البقاء بواسطة توزيع احتمالي معين: يتم تعريف دالة البقاء 1 بواسطة توزيع أسي، ويتم تعريف 2 بواسطة توزيع ويبول، ويتم تعريف 3 بواسطة توزيع لوغاريتمي لوجستي، ويتم تعريف 4 بواسطة توزيع ويبول آخر.

قد لا يكون استخدام نموذج بارامتري للبقاء ممكنًا أو مرغوبًا فيه. في هذه الحالات، تُعدّ طريقة كابلان-ماير غير البارامترية الطريقة الأكثر شيوعًا لنمذجة دالة البقاء . تتطلب هذه الطريقة بيانات مدى الحياة. يكفي إحصائيًا إجراء تقديرات غير بارامترية لدوال البقاء باستخدام طريقتي الاحتمال الأقصى والمربعات الصغرى، دون الحاجة إلى بيانات مدى الحياة.

• كل وظيفة من وظائف البقاء${\displaystyle S(t)}$يتناقص بشكل رتيب ، أي${\displaystyle S(u)\leq S(t)}$للجميع${\displaystyle u>t}$.
  • إنها خاصية للمتغير العشوائي الذي يربط مجموعة من الأحداث، المرتبطة عادةً بالوفيات أو فشل نظام ما، بالوقت .
• الوقت ،​${\displaystyle t=0}$يمثل الأصل، وعادة ما يكون بداية دراسة أو بداية تشغيل نظام ما.${\displaystyle S(0)}$عادة ما تكون القيمة تساوي واحدًا، ولكن يمكن أن تكون أقل لتمثيل احتمال فشل النظام فور تشغيله.
• بما أن دالة التوزيع التراكمي هي دالة متصلة من اليمين ، فإن دالة البقاء${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$وهي أيضاً متصلة من اليمين.
• يمكن ربط دالة البقاء بدالة كثافة الاحتمال${\displaystyle f(t)}$ووظيفة المخاطر${\displaystyle \lambda (t)}$
  • ${\displaystyle f(t)=-S'(t)}$
  • ${\displaystyle \lambda (t)=-{\frac {d}{dt}}\log S(t)}$

لهذا السبب${\displaystyle S(t)=\exp \left[-\int _{0}^{t}\lambda (t')\,dt'\right]}$

• الوقت المتوقع للبقاء على قيد الحياة${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$

إثبات صيغة وقت البقاء المتوقع

القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي${\displaystyle T\in [0,\infty )}$يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }tf(t)\,dt}$$ أين${\displaystyle f(t)}$هي دالة كثافة الاحتمال . باستخدام العلاقة${\displaystyle f(t)=-S'(t)}$قد يتم تعديل صيغة القيمة المتوقعة: $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=-\int _{0}^{\infty }tS'(t)\,dt}$$ ويمكن تبسيط ذلك أكثر باستخدام التكامل بالتجزئة : $${\displaystyle -\int _{0}^{\infty }tS'(t)\,dt=-tS(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$$ بحسب التعريف،${\displaystyle S(\infty )=0}$وهذا يعني أن الحدود تساوي الصفر تمامًا. لذلك، يمكننا أن نستنتج أن القيمة المتوقعة هي ببساطة تكامل دالة البقاء. $${\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)\,dt}$$

• معدل الفشل
• تكرار التجاوز
• مقدر كابلان-ماير
• متوسط ​​الوقت حتى الفشل
• مدة الإقامة (إحصائيات)
• منحنى البقاء